Feuille d`exercices 11

UNIVERSITÉ LOUIS PASTEUR
Licence de mathématiques
Groupe Mathématiques-Economie 2
Année 2006/2007
Algèbre S1
Feuille d’exercices 11
A rendre lundi 18 décembre 2006.
Exercice 1
a) Pour m ∈ Q arbitraire, on considère la matrice M ∈ M3 K suivante


1
−1
2
2m − 2 
M = m 1−m
2
m
−3m − 1
Pour quelles valeurs de m est-ce que la matrice est inversible ? Dans ces cas,
calculer son inverse.
b) Soit A ∈ M3 Q la matrice définie par

2
1
A =  −1 2
−1 1

−1
1 .
2
Pour quelles valeurs de λ ∈ Q est-ce que la matrice A − λI3 est inversible ?
Dans ce cas, calculer l’inverse de A − λI3 .
c) Soit λ ∈ Q tel que A − λI3 n’est pas inversible. Trouver tous les vecteurs
X ∈ Q3 tels que
AX = λX.
Exercice 2
Soit A = (ai,j )i,j=1,...,n ∈ Mn (R) une matrice n × n à coefficients réels. On
appelle la trace de A la somme des coéfficients diagonaux de M et la note tr A.
Plus précisement on définit
n
X
tr A :=
ai,i .
i=1
a) On suppose que A est une matrice triangulaire supérieure. Calculer les coefficients diagonaux de A2 en fonction des coefficients de A.
1
b) Supposons maintenant que A est triangulaire supérieure et que A2 = A.
Montrer que si tr A = n, alors A est inversible. En déduire que si tr A = n, alors
A = In .
c) Posons B := In − A ∈ Mn (R). Montrer que l’on a B 2 = B si et seulement si
A2 = A. Montrer que si trA = 0, alors A = 0.
Exercice 3
Soit a ∈ R arbitraire. Pour quelles valeurs de a est-ce que le systéme suivant a
une solution unique dans R3 ?
x + 2y + z
2x + (a + 3)y + 3z
= 1
= 2
x + (3 − a)y + (a − 2)z
= 3
Dans ces cas, calculer la solution à l’aide de la formule de Kramer.
Exercice 4
a
Soit A =
c
b
d
une matrice de M2 (R).
a) Montrer que si A2 = −I2 , alors tr A = 0 (la définition de la trace se trouve
dans l’exercice 2).
b) Montrer qu’on a A2 = −I2 si et seulement tr A = 0 et det A = 1.
c) Trouver une matrice B ∈ M2 (R) telle que B 2 = −I2
d) Trouver une matrice C ∈ M2 (C) telle que C 2 = −I2 et tr C 6= 0.
e) Montrer qu’il n’existe pas de matrice A ∈ M3 (R) tel que A2 = −I3 . Trouver
et démontrer une généralisation de cet énoncé.
2