Conique des neufs points

A propos de la conique des neuf points
J. Parizet
28 mai 2013
Il s’agit d’une généralisation du cercle d’Euler :
Le lieu des centres des coniques passant par quatre points du plan affine, dont
aucun triplet n’est aligné, est une conique si aucune droite contenant deux de ces
points n’est parallèle à celle définie par les deux autres.
Cette conique contient les six milieux des segments définis par les points ainsi que
les trois intersections des droites définies par deux de ces points et les deux autres.
Cette conique n’est autre que le lieu des centres des coniques du faisceau dont les
quatre points donnés sont points de base.
Après un rappel, considérons directement le cas du cercle d’Euler.
Rappel
Une conique Γ dans le plan affine est définie par son équation –dans un repère cartésien ou barycentrique– donnée par une forme quadratique : Φ = 0 de matrice Σ :
Mt ΣM= 0 est l’équation ponctuelle de la conique. Notons que Φ et Σ sont définies
modulo ∼
=.
Supposons la matrice régulière (Γ n’est pas décomposée en une ou deux droites) –
ce qui revient à supposer Σ régulière, d’inverse Σ−1 .
Les coordonnées (homogènes) d’un point du plan sont les coefficients de la colonne M et les coefficients de l’équation d’une droite ceux de la colonne D.
Les coefficients de ΣM sont ceux de l’équation de la polaire de M par rapport à Γ
ou de la tangente si le point est sur la courbe.
Les coefficients de Σ−1 D sont les coordonnées du pôle de D par rapport à Γ ;
Dt ΣD= 0 est l’équation tangentielle de la courbe. Comment interpréter ΣM1 × ΣM2∼
= Σ−1 M1 × M2 ?
−1
−1
Et Σ D1 × Σ D2 ∼
= Σ D1 × D2 ?
1
Par exemple, en complétant le plan affine P par la droite de l’infini, le centre de
la conique est le pôle de la droite de l’infini ; ses coordonnées sont données par la
colonne Σ−1 D∞ où D∞ est la colonne des coefficients d’une équation de la droite
de l’infini dans le repère : (1, 1, 1) dans un repère barycentrique, (0, 0, 1) dans un
repère cartésien. Bien sûr le centre n’existe que si Dt∞ Σ−1 D∞ 6= 0.
Dans un repére barycentrique, la somme des coefficients de chaque ligne (ou colonne car la matrice est symétrique) est coordonnée (homogène) d’ordre correspondant du centre.
Dans un repère cartésien où le point M a pour coordonnées (x, y), pour coordonnées
homogènes (X,Y,Z) ∼
= (x, y, 1), une équation de Γ
2
2ey + f = 0,
ax2 +

2bxy + cy + 2dx +

a b d
c f − e2 ed − b f be − cd
de matrice Σ = b c e , d’inverse Σ−1 ∼
= cd − b f a f − c2 bd − ae.
d e f
be − cd bd − ae ac − b2
Le point de coordonnées homogènes (be − cd, bd − ae, ac − b2 ) est
. le point à l’infini de son axe si Γ est une parabole (ac − b2 = 0)
dans la direction du vecteur ~u = (be − cd, bd − ae) dans le repère,
be − cd bd − ae . sinon le centre de Γ est le point Ω
,
.
ac − b2 ac − b2
1, Cercle d’Euler et hyperboles équilatères
• Considérons dans le plan d’Argand-Gauss un triangle (ABC) non rectangle tel
que l’origine du plan soit le centre du cercle circonscrit au triangle.
Les points sont connus par leurs affixes A(a), B(b), C(c), de modules le rayon R du
cercle.
−→
−→
−
→
Soit D le point d’affixe a+b+c. Le vecteur AD a pour affixe b+c : AD = 2OI. donc
la droite (AD), perpendiculaire à (BC) comme (OI), est la hauteur du triangle issue
de A. De même (BD) et (CD) sont les hauteurs issues des autres sommets : D est
l’orthocentre H du triangle.
Soit enfin A1 et Ω les milieux de [A H] et [A1 I], d’affixes (a+(b+c)/2) et ((a+b+c)/2)
−−→
donc l’affixe du vecteur ΩA1 est a/2, de module R/2. Remarquons la relation
A+B+C+H
3G − O
Ω=
, plus classiquement Ω =
4
2
2
A
@
@
@
cA1
@ c
@
@
c
@c
cP
@
P Hr Ωr Gr Or
PP
@
PP
PP
@
PPc
c
PP @
PP@
PP
c
c
@
B
I
H1
C
Le cercle C de centre Ω et de rayon R/2 contient les points A1 ,I, ainsi que les
points B1 ,J,C1 . De plus le pied de la hauteur H1 issue de A est sommet du triangle
rectangle d’hypoténuse [A1 I] appartient au cercle C comme les deux autres pieds
de hauteurs : C, cercle d’Euler, est la conique des neuf points pour (A,B,C,H) ; les
points O,G,Ω et H sont alignés sur la droite d’Euler et le cercle d’Euler est l’homothétique du cercle circonscrit dans l’homothétie de centre G et de rapport -1/2.
Les coniques contenant les points A, B, C et H, sont des hyperboles équilatères,
car dans un repère orthonormé l’équation d’une hyperbole équilatère est caractérisée par des termes en x2 et y2 nuls ou opposés : il y a au plus en général dans
un faisceau une seule hyperbole équilatère, sinon elles le sont toutes. Vérifions le
analytiquement en se plaçant dans un repère orthonormé.
• Dans le repère orthonormé d’origine H1 et d’axes portés par le côté (BC) et la
hauteur issue de A, les points ont pour coordonnées (changeons les notations !)
−→ −→
A(0, a), B(b, 0), C(c, 0) et H(0, h). H est orthocentre du triangle : BH · AC = 0 soit
ah + bc = 0. Une conique du faisceau F (ABCH) a une équation de la forme
(hx + by − bh)(ax + cy − ac) + λ xy = 0
soit en posant t = λ + hc + ba
hax2 + txy + bcy2 − ah(b + c)x − bc(a + h)y − abhc = 0
C’est une hyperbole puisque ha et bc sont opposés. La matrice de son équation
nous donne son centre (en posant k2 = −bcah)
Σ∼
=
2ha
t
−ah(b+c) t
2bc
−bc(a+h) d’où
−ah(b+c) −bc(a+h)
−k2
tbc(a + h) + 2k2 (b + c)
soit Ωt x(t) =
−tbc(a+h)+2k2 (b+c) t
2ha
2bc
t
×
= −tah(b+c)+2k2 (a+h)
−bc(a+h)
−ah(b+c)
−t 2 −4k2
tah(b + c) + 2k2 (a + h) , y(t) =
.
t 2 + 4k2
t 2 + 4k2
2
2
C’est une conique de genre ellipse (t + 4k > 0) passant par les points Ω∞ (0, 0) : H1 et
pour t1 = −2k2 /ah(b + c), y(t1 ) est nul et xt1 = b+c
2 : Ωt1 est le milieu I de [BC]. Puique
l’on peut transposer deux points parmi (A,B,C), la conique passe par les pieds des hauteurs
et les milieux des côtés du triangle : elle contient ces six points –c’est le cercle d’Euler :
le cercle d’Euler du triangle (ABC) est lieu des centres des hyperboles équilatères du faisceau F(ABCH).
3
Exemple
A
@
@
A1
@
@
@
P
P H
PPP
q
B
@
@
q
PP
P
@
@
@
PP
PP q @
PP@
PP
@
C
Considérons dans le repère orthonormé les points A(2,6), B(0,0), C(8,0) et H(2,2). L’hy2
2
perbole équilatère
centre
de
le milieu de [AH] a pour équation : x − y + xy − 8x + 6y = 0,
2 1 −8
∼ 1 2 6 .
de matrice Σ =
0 −4 −8 6 0 2 1 Σ× 0 ∼
= 3 et Σ × 2 ∼
= −2 précisent les tangentes en C et H de l’hyperbole et
2
−4 1 1 0 1.2 1
× −2 ∼
3
= 1.6 donne leur point d’intersection.
0
Avec
2
1
\qbezier(0,0)(1.2,1.6)(2,2),
c de l’hyperbole.
LATEX dessine l’arc de parabole approximant l’arc BH
c (avec un point intermédiaire) et on termine
On procède de même pour dessiner l’arc HC
avec une symétrie de centre A1 . Les points • de l’hyperbole permettent d’apprécier l’approximation.
Plaçons nous maintenant dans le cas plus général d’un faisceau F (ABCD).
2. Coniques passant par ces quatre points, lieu de leurs centres
Dans le repère barycentrique Rb (A,B,C) leurs équations est de la forme
Γt : tβ (γ0 α − α0 γ) + γ(α0 β − β0 α) = 0 ou
α (1 − t)β γ −Sβ0 γα + tγ0 αβ = 0
S 0
en considérant les coniques décomposées (AC) (BD) et (AB) (CD) du faisceau.
Le déterminant de la matrice de l’équation de la conique Γ : aβ γ + bγα + cαβ = 0 est
2abc, celui de l’équation de Γt est 2t(t − 1)α0 β0 γ0 non nul (α0 β0 γ0 6= 0) en excluant les
coniques décomposées du faisceau (t = 0,t = 1 et aussi t = ∞).
Lieu du centre de la conique Γt du faisceau. La matrice de l’équation précédente de Γ
dans Rb est
4


 2

−a
ba
ca
0 c b
Σ = c 0 a d’inverse Σ−1 ∼
=  ab −b2 cb .
b a 0
ac
bc −c2
Si Γ n’est pas une parabole, son centre est
Ω∼
= a(b + c − a), b(c + a − b), c(a + b − c)
En particulier le centre de Γt est le point de coordonnées homogènes
Ωt ∼
), −β0 (α0 −tα0 +tγ0 +β0 ),tγ0 (α0 −tα0 −β0 −tγ0 )
= α0 (1−t)(−β0 +tγ0 −α0 +tα





 0
−α02 − α0 β0
−α0 γ0 − α02
α0 + α02
, V=β0 (α0 − γ0 ), W= −β0 α0 − β 2 .
0
soit Ωt ∼
= Ut 2 +Vt +W avec U= 
0
2
γ0 (α0 − β0 )
−α0 γ0 − γ0
0
Puisque det(U,V,W)= 2α0 β0 γ0 (α0 + β0 )(β0 + γ0 )(γ0 + α0 ) 6= 0 [toute droite joignant D à
l’un des sommets du triangle n’est pas parallèle au côté opposé à ce sommet], le lieu de Ωt
est une conique non décomposée ; plaçons nous dane ce cas et notons Γc cette conique.
Γc est la conique des neuf points .
Cette conique rencontre par exemple le côté (AB) en deux points dont la troisième cordonnée barycentrique est nulle : pour t = 0 et t = t1 = (α0 − β0 )/(α0 + γ0 ). Selon l’expression
de Ωt :
• Ω0 ∼
= α0 (−α0 − β0 ), −β0 (α0 + β0 ), 0 ∼
= (α0 , β0 , 0) : intersection de (AB) et (CD) ;
c’est le sommet d’une conique décomposée du faisceau –son centre. • Ωt1 ∼
= − 2α0 β0 (γ0 + β0 )/(α0 + γ0 ), −2β0 α0 (γ0 + β0 )/(α0 + γ0 ), 0 ∼
= (1, 1, 0) : milieu
de [AB].
D’où les neuf points de Γc :
• les milieux des six segments [AB], [BC], [CA], [AD], [BD],[CD],
T
T
T
• les trois intersections (AB) (CD), (BC) (AD), (BC) (AD) – qui sont les sommets
des coniques décomposées du faisceau Γ0 , Γ1 , Γ∞ .
Si Ω0 et Ωt1 sont confondus, la conique Γc y est tangente au coté (AB) et le point D est sur
la médiane du triangle issue de C.
3. Genre et centre de la conique Γc
• Genre de Γc
La conique est une hyperbole si elle admet deux points distincts à l’infini, une parabole si
elle n’a qu’un point à l’infini, une ellipse si elle n’a pas de points (réels) à l’infini.
Dans le représentation paramétrique de Γc donnée par Ωt = (αt , βt , γt ), ce point est à l’infini pout les racines de l’équation
αt + βt + γt = 0 soit
(α0 + γ0 )2t 2 + 2(α0 − β0 γ0 )t + (α0 + β0 )2 = 0
de discriminant réduit ∆0 = (α0 − β0 γ0 )2 − (α0 + γ0 )2 (α0 + β0 )2 = −4α0 β0 γ0 .
La conique des heuf points n’est pas une parabole car aucun des α0 , β0 , γ0 n’est nul.
C’est une ellipse si α0 β0 γ0 > 0 ; l’un des quatre points est à l’intérieur du triangle de sommets les trois autres, une hyperbole dans lz cas contraire : Γc est une conique à centre.
• Centre de Γc
5
Considérons les milieux A1 , B1 , C1 des segments [A,D], [B,D], [C,D] aini que les milieux
I, J, K de [B,C], [C,A], et [A,B].
Les coordonnées de A1 et I sont A1 =(A+D)/2= (1 + α0 )/2, β0 /2, γ0 /2) et I=(0,1/2,1/2),
le milieu (A1 +I)/2 de [A1 I] a pour coordonnées (1+α0 )/4, (1+β0 )/4, (1+γ0 )/4) : c’est
le point
A+B+C+D
Ω=
équibarycentre des quatre points A, B, C, D.
4
Ce point est le milieu de [A1 I] et celui de [B1 J], comme d’ailleurs celui de de [C1 K]
–trois segments dont les extrémités sont sur Γc : Ω est le centre de Γc puisque qu’il est le
milieu de trois de ses cordes, c’est le pôle de la droite de l’infini car situé sur les polaires
des points à l’infini de ces cordes.
• Cas particuliers.
On peut rapprocher cette démarche de celle de l’étude du cercle d’Euler.
Si la hauteur (AH) est aussi médiane, elle contient le centre du cercle d’Euler qui est alors
tangent en I u côté (BC) – ce qui est un cas partculier d’un cas plus général où deux des
neuf points sont confondus.
Lorsque le triangle (ABC) est équilatéral, son cercle inscrit est son cercle d’Euler. Orthocentre et centre de gravité sont alors confondus.
C’est un cas particulier de la conique de Steiner inscrite dans le triangle.
Car lorsque le point D est le centre de gravité G du triangle (ABC), les neuf points se réduisnt à six. D’après la position de G sur une médiane, G est milieu des segments tel [A1 I]
donc centre de la conique. Puiqu’il ny a qu’une conique de centre G contrnant les points
I,J,K c’est l’ellipse de Steiner inscrite dans le triangle.
A
C
@
C@
C @
A+B+C+G
Ω=
=G
C
@
3
Cb
@
C
@
C
@bJ
b
K a
@
aa
C
aa C G @
r
aC
aa
@
aa
C
@
aa
b
b C
aa@
C
a@
aa
Cb
@
B
I
C
4. Cas singuliers
Le centre de la conique Γt du faisceau est le point Ωt précisé en §2 par Ωt ∼
= Ut 2 + Vt + W
avec det(U,V,W)= 2(α0 + β0 )(β0 + γ0 )(γ0 + α0 ).
6
Si ce déterminant n’est pas nul, le lieu de Ωt est la conique des neuf points.
Lorsque ce déterminant nul, deux des côtés du quadrilataire (ABCD) sont parallèles. Sup−→
−→
posons par exemple α0 + β0 = 0. Posons α0 = d, β0 = −d : D= (d, −d, 1) ou CD = d BA.
Ωt a pour coordonnées homogènes
Ωt
∼
=
∼
=
(d 2 + d)(1 − t)t, (d − d 2 )t, (2d − (d + 1)t)t
(d 2 + d)(1 − t), (d − d 2 ), (2d − (d + 1)t)
car t 6= 0.
 


−d
d +1
Mettons Ωt sous la forme Ωt ∼
= Ut + V avec U= (d + 1)  0 , V= d 1 − d .
−1
2
Pour t 6= u, la droite (Ωt Ωu ) a pour coefficients
de
son
équation
dans
le
repère
ceux du
 
1
produit Ut + V × Uu + V ∼
= d(1 − d 2 ) −1.
−d
1. Pour d2 6= 1 Ωt décrit la droite (D) d’équation α − β + dγ = 0.
A
J
J Jc
J
J
J
C c JD
@
J
@ J
c
@
J
@
J
@
J
@
J
(D ’)
c c
@c Jc
@ J
@ J
(D )
@J
@J
@J
c
@
J
B
La droite (D ) passe par les milieux de [AB] et de [CD] ainsi que par les intersections,
sommets de coniques décomposées du faisceau, (AD) ∩ (BC) et (BD) ∩ (AC).
Avec ces quatre points, les cinq autres milieux de [AC], [AD], [BC] et [BD], ainsi que le
point à l’infini de (AB) –sommet de la conique décomposée du faisceau en les parallèles
(AB), (CD)– alignés sur (D0 ), sont les neuf points situés sur la conique décomposée (D) ∪
(D’). Mais seule (D) est lieu des centres des coniques du faisceau.
7
2. Pour d2 = 1 Ωt est fixe.
• Si d = 1
Ωt ∼
= 2(1 − t), 0, 2 − 2t ∼
= (1.0.1)
c’est le milieu de [AC].
• Si d = −1
Ωt ∼
= 0, −2t, −2t ∼
= (0, 1.1)
c’est le milieu de [BC].
D1
@ c
D
C
c
@
PP
−1
@ PP
@
@
@
PP @ 1
@ −1
Ω
Ω
P
@c
P@
@ c
c
c
P
PP @
PP @
@
@
PP@
@
P@
@
P
@c
A
B
@
Quant aux "neuf points" (milieux des segments d’extrémités les points A, B, C ,D) et sommets des coniques décomposées du faisceau –dont deux sont à l’infini), ils sont sur les
droites (D ) et (D ’). Dans le décompte, Ω1 ou Ω−1 joue un rôle triple.
−→ −→
Notons que dans ce cas (ABCD) est un parallélogramme de centre O : dans Rc (AB/2, AC/2, O),
les coniques du faisceau ont pour équations x2 − 1 + t(y2 − 1) = 0 et on conclut.
5. Lorsque l’un des quatre points est à l’infini : parabole des six points
Considérons le cas différent où les quatre points ne sont pas tous dans P. Supposons
d’abord D à l’infini, A,B,C dans P. Il est commode d’utiliser un repère cartésien.
−→
Rapportons le plan au repère d’origine A, de premier vecteur de base AB et de second un
e ; soient (a, b) les coordonnées de C dans ce repère.
vecteur donnant la direction de D
A,B, C ne sont pas alignés : il existe une seule parabole Π passant par ces points et d’axe
e Elle a pour équation y = kx(x − 1) où k = b/a(a − 1).
dans la direction de D.
e
Π appartient au faisceau des quatre points, ainsi que la conique décomposée (AB)∪(CD).
On peut prendre pour équation de la conique Γt du faisceau


−2k
t
k
0
1 − at 
y − kx(x − 1) + ty(x − a) = 0, de matrice Σ ∼
= t
k
1 − at
0
La dernière colonne de Σ−1 –qui est modulo ∼
= le produit en croix des deux premiéres
colonnes
de
Σ–
donne
les
coordonnées
homogènes
cartésiennes de Ωt dans le repère :
Xt = t(1 − at),Yt = kt + 2k(1 − at), Zt = −t 2 , (xt = (at − 1)/t, yt = 2k(at − 1)/t 2 − k/t.
C’est la parabole Pc d’équation, avec 1/t = a − xt : y = k(a − x)(2x − 1)
Elle passe par le milieu K de [AB] ainsi que par la trace (a, 0) de (CD) sur (AB) : la conique des neuf point devient ici parabole des six points : les milieux des côtés du triangle
8
e – on peut
et les projections de ses sommets sur les côtés opposés dans la direction de D
e
considérer que le point D compte triple.
D’après Σ, P0 est la seule parabole du faisceau.
Pc et P0 sont homothétiques dans l’homothétie de centre le centre de gravité du triangle et
de rapport −2 : la première passe par les milieux des côtés du triangle dont les sommets
sont sur la seconde et leurs axes sont parallèles – on conclut car les données précédentes
définissent les paraboles.
(Pc )
(P)
a
Bq
a
Gq
a
a
A
q
e
D
a
e
D
a
e
D
q
C
e
D
Supposons maintenant deux des quatre points à l’infini, C et D par exemple
Notons O le milieu de [AB]. Toute conique du faisceau est de genre hyperbole : le diamètre passant par O et le diamètre parallèle à (AB) sont conjugués par rapport aux symptotes ; ainsi le diamètre passant par O ne dépend pas du choix de l’hyperbole du faisceau.
Cette droite est le lieu de leurs centres.
Vérifions le en prenant O pour origine du repère cartésien dont le premier vecteur est dans
−→
la direction de C, et le second OA. p étant la pente d’une droite contenant D, le faisceau
des coniques Γt passant par les quatre points est de la forme
(y − 1 − px)(y +
1) + tx = 0 ou y2 −
pxy + (t − p)x − 1 = 0
0
−p t − p
2
0  on déduit par le produit en croix de
De la matrice de la forme Σ ∼
=  −p
t−p 0
−2
ses deux premières colonnes des coordonnées homogènes du centre de Γt
Ωt : (2(t − p), p(t − p), p2 )
Ce point décrit la droite d’équation px − 2y = 0, passant par les sommets des coniques
décomposées du faisceau dans P (Γ p et Γ−p ), la troisième Γ∞ étant décomposée en (Ab)
jointe à la droite de l’infini.
Que penser d’un faisceau de cercles ?
9
D∞
Γp
Γ−p
(D c )
rA
a
Ω−1
O
rB
b
b
Γ−1
C∞
N.B. Une propriété de la parabole
A,B,D,C sont les sommets d’un parallélogramme, les points A,B et C étant sur une parabole. La parallèle à l’axe` de celle-ci issue de D et la parallèle à la diagonale (AC) issue de
B concourent sur la parabole.
B
Ap
`
p
C
`
D
p`
D0
− − · · − · − · − · ··
10