Correction au format pdf - XMaths

CORRECTION
Exercice supplémentaire n° 16
1°) a) 32 % des chatons sont des Siamois, donc :
p(S) = 32% = 0,32 .
54 % des chatons sont des Abyssins, donc :
p(A) = 54% = 0,54 .
Parmi les Siamois, 54 % sont des mâles, donc :
pS(M) = 54% = 0,54 .
66 % des Abyssins sont des femelles, donc :
pA(F) = 66% = 0,66 .
Il y a au total 40,96 % de chatons mâles, donc :
p(M) = 40,96% = 0,4096 .
b) On peut alors construire l'arbre ci-dessous :
0,54
M
S
F
0,32
M
B
F
0,54
M
A
0,66
F
La donnée p(M) = 0,4096 ne peut pas figurer directement sur l'arbre.
2°) a) La probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois est p(S∩M).
D'après la formule des probabilités conditionnelles, on peut écrire p(S∩M) = p(S) x pS(M) = 0,32 x 0,54
Donc :
p(S∩M) = 0,1728 .
b) On peut écrire : p(M∩A) = p(A) x pA(M) = p(A) x (1 - pA(F)) = 0,54 x (1 - 0,66) = 0,54 x 0,34
Donc : p(M∩A) = 0,1836 .
La probabilité que Pierre achète un chaton mâle Abyssin est 0,1836 .
c) D'après la formule des probabilités totales, on a : p(M) = p(M∩S) + p(M∩B) + p(M∩A) .
On sait d'après le texte que p(M) = 0,4096 et on a trouvé p(M∩A) = 0,1836 et p(M∩S) = 0,1728 .
On en déduit que p(M∩B) = 0,4096 - 0,1836 - 0,1728
donc :
p(M∩B) = 0,0532 .
La probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à 0,0532 .
d) La probabilité que le chaton soit un mâle en sachant que c'est un Birman est : pB(M) .
D'après la formule des probabilités conditionnelles, on a : pB(M) = p(M∩B) .
p(B)
On sait que p(S) + p(B) + p(A) = 1 donc p(B) = 1 - p(S) - p(A) = 1 - 0,32 - 0,54 = 0,14 .
Donc pB(M) = 0,0532
0,14
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c'est-à-dire :
pB(M) = 0,38 .
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3°) Les achats étant assimilés à des tirages successifs avec remise, on peut considérer qu'il s'agit d'un
schéma de Bernoulli.
Pour chaque chaton, la probabilité de l'événement X : « c'est un mâle Birman » est 0,0532.

On a donc : p( X ) = 1 - 0,0532 = 0,9468 .
L'événement « il y a, parmi les trois chatons, exactement deux mâles Birmans » correspond à l'un des



choix :
(X,X, X ) ; (X, X ,X) ; ( X ,X,X)
Chacun de ces événement a une probabilité égale à : 0,0532 x 0,0532 x 0,9468 .
La probabilité qu’il y ait, parmi les trois chatons, exactement deux mâles Birmans est donc :
p = 3 x 0,0532 x 0,0532 x 0,9468 ≈ 0,008 .
On pourrait pour cette dernière question utiliser un arbre pondéré comme ci-dessous :
0,0532
0,9468
0,0532
X
0,9468

0,0532
X
0,9468

X
X
0,0532
0,0532

X
0,0532
X
X
0,9468

0,0532
X
0,9468

X
0,9468

X
0,9468
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X
X

X
X
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