DEVOIR A LA MAISON N°5. TES2-L.

DEVOIR A LA MAISON N°5.
TES2-L.
Pour le mardi 5 janvier 2016.
I.
Partie A.
Soit la fonction définie sur l’intervalle
par :
1.
Montrer que pour tout x de [0 ; 4] d (x) e x (2,7 3x).
2.
Dresser le tableau de variation de la fonction sur
. (On donnera dans ce tableau des
valeurs arrondies à
près).
3.
En déduire le signe de la fonction sur l’intervalle
.
Partie B.
Soient et les fonctions définies sur
par
et
Une entreprise prévoit de fabriquer et de commercialiser mensuellement entre 1 et 4 tonnes d’un produit
cosmétique (toute la production est vendue).
Pour tonnes de produit fabriqués mensuellement (avec x
), on admet que
désigne le coût de
production par tonne (en centaines de milliers d’euros), et
le prix de vente par tonne (en centaines de
milliers d’euros).
1.
L’entreprise décide de produire 1 tonne par mois. Déterminer, en arrondissant à l’euro près, le
coût de production de la tonne produite, son prix de vente, et le bénéfice mensuel ainsi réalisé.
2.
Exprimer en fonction de x le bénéfice par tonne B(x)(en centaines de milliers d’euros) obtenu
pour la commercialisation de x tonnes de produit.
3.
Montrer que pour tout
( est la fonction étudiée dans la partie A).
4.
Déduire alors de la partie A le tableau de variations de la fonction sur
.
5.
Montrer que l’équation
admet une unique solution dans l’intervalle
. En donner
une valeur approchée à
près.
6.
L’entreprise souhaite réaliser un bénéfice par tonne d’au moins 100 000 euros. Quelles quantités
doit-elle produire pour satisfaire cette contrainte ?
II. Madame Aldana fait un très grand élevage de chats de races. Elle possède des Siamois, des Birmans et
des Abyssins. Le printemps dernier, pratiquement toutes ses femelles ont eu des bébés et Madame Aldana a
mis une annonce pour signaler qu’elle avait une très grande quantité de petits chatons à vendre.
On sait que :
 32 % des chatons sont des Siamois, 54 % des chatons sont des Abyssins et le reste est constitué de
Birmans.
 Parmi les Siamois, 54 % sont des mâles.
 66 % des Abyssins sont des femelles.
 Il y a au total 40,96 % de chatons mâles.
Un petit garçon, Pierre, vient acheter un chaton avec sa mère. Comme ils sont tous adorables et qu’il
n’arrive pas à choisir, Pierre décide de le prendre au hasard. On désigne par S, B, A, M et F les évènements
suivants :
S : « Pierre achète un chaton Siamois ».
B : « Pierre achète un chaton Birman ».
A : « Pierre achète un chaton Abyssin ».
M : « Pierre achète un chaton mâle ».
F : « Pierre achète un chaton femelle ».
1.
Traduire les données de l’énoncé en langage de probabilités (exemple : P(S) = 0,32)).
2.
Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur chaque branche les probabilités
données dans l’énoncé. Les probabilités manquantes seront calculées dans les questions ultérieures.
3.
Déterminer la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois.
4.
Calculer P(MA) et interpréter ce résultat à l’aide d’une phrase.
5.
En déduire que la probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à 0,0532.
6.
Le chaton acheté par Pierre est un Birman. Quelle est la probabilité que ce soit un mâle ?
CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°5.
TES2-L
I.
Partie A.
1.
d est dérivable sur [0 4]. d (x) 3e x (3x 0,3)( e x ) e x (3 3x 0,3) e x (2,7 3x).
2.
On peut construire le tableau suivant :
0
0,9
4
x
signe de e x
+
+
e x > 0 pour tout x de
3x 2,7 0 pour x 0,9
signe de 2,7 3x
+
signe de d (x)
0,08
variations de d
1
1,07
3.
Le maximum de d sur [0 4] est d(0,9) 0 donc d est négative sur [0 4] :
0
4
x
signe de d(x)
Partie B.
1.
Pour x 1 : f(1) 6,3e 1 2,31764. Le coût de production est d environ 231 764€.
g(1) 4,67. Le prix de vente est de 467 000€.
g(1)-f(1) 2,35236. Le bénéfice est d environ 235 236€.
2.
Pour tout x de [0 4], B(x) g(x) f(x)
1,3x (3x 3,3)e x 5,97.
3.
B est dérivable sur [0 4]. B (x)
1,3 [ 3e x (3x 3,3)( e x ) ] 1,3 e x (3 3x 3,3)
1,3 e x ( 3x 0,3) 1,3 (3x 0,3)e x d(x).
4.
On peut construire le tableau suivant :
x
0
4
signe de B (x) d(x)
variations de B
2,67
1
0,49
4.
La fonction B est continue et strictement décroissante sur [0 4] avec B(0) 2,67 et B(4) 0,49.
1 [B(4);B(0)] donc l’équation
admet une unique solution dans l’intervalle
. A la
calculatrice, on obtient f(3,503) 1 et f(3,504) 1 donc
3,50.
5.
D après le tableau de variations, B(x) 1 pour 0 x
. L entreprise doit produire moins de 3,5
tonnes pour réaliser un bénéfice par tonne d’au moins 100 000 euros.
II.
1.
2.
P(S) 0,32 ; P(A) 0,54 ; PS (M) 0,54 ; PA (F) 0,66 et P(M) 0,4096.
On peut construire l arbre :
0,54
M
S
0,32
0,46
F
M
0,14
B
F
0,54
M
A
0,34
0,66
F
3.
P(M S) P(S) PS (M) 0,32 0,54 0,1728.
La probabilité que Pierre achète un chaton mâle Siamois est 0,1728.
4.
P(M A) 0,54 0,34 0,1836. La probabilité que Pierre achète un chaton mâle Abyssin
est 0,0476.
5.
P(M) P(M S) P(M A) P(M B)  0,4096 0,1728 0,1836 P(M B)
 P(M B) 0,0532
La probabilité que Pierre achète un chaton mâle Birman est égale à 0,0532.
P(B M)
0,0532
0,38.
P(B)
1 0,54 0,32
La probabilité que le chaton birman acheté par Pierre soit un mâle est 0,38.
6.
PB (M)