2014_Term_ES_D2

Terminale ES
devoir n°2
Exercice 1 : Répondre sur le sujet
sur 3 points
mardi 15 octobre 2014
Soit f une fonction et (D) sa représentation graphique tracée ci-dessous (les flèches représentent des tangentes à la
courbes)
1. Compléter :
f(0)=……
f(-3)=…..
f’(0)=……
f’(3)=……
2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au
point d’abscisse 0
3. Même question au point d’abscisse -5
Exercice 2 :
sur 6 points
1. Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
2. On note
la courbe représentative de la fonction g. Calculer l’équation de la tangente à cette courbe au
point d’abscisse 1.
3. Dresser les tableaux de signes des fonctions ci-dessous
Exercice 3 :
sur 5.5 points
Une personne décide d’ouvrir un compte épargne le premier janvier 2014 et d’y placer 2000€. Le placement à
intérêts composés est au taux annuel de 3%. Elle verse 150€ sur ce compte tous les 1 er janvier suivants.
Pour tout entier naturel n, on note
versement de 150€. On a
le montant présent sur ce compte au 1er janvier de l’année 2014+n après le
Dans tout l’exercice, les résultats seront arrondis à
près.
Partie A
1. Calculer les termes
de la suite
2. Justifier que pour tout entier naturel n, on a :
3. Pour tout entier n, on pose
Démontrer que la suite
est une suite géométrique de raison 1,03
4. Exprimer
en fonction de n et en déduire que pour tout nombre entier n on a :
5. A partir de quelle année, cette personne aura-t-elle au moins 4000€ sur son compte épargne ? Indiquer la
façon dont la réponse a été trouvée
Partie B
1. L’algorithme ci-contre modélise l’évolution d’un autre
compte épargne, ouvert le 1er janvier 2014, par une seconde
personne.
a. Que représente la variable C dans cet algorithme ?
b. Quel est le taux de ce placement.
c. Quel est le versement annuel fait par cette
personne ?
2. On saisit pour la variable C la valeur 3000.
a. Pour cette valeur de C, en suivant pas à pas l’algorithme précédent, recopier le tableau suivant et le
compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
Valeur de C
3000
Valeur de N
0
Valeur de D
6000
Test C<D
vrai
b. Qu’affiche l’algorithme ? Interpréter ce résultat.
Exercice 4 :
sur 5.5 points
Dans une réserve africaine les observateurs en place ont constaté que la population d’animaux d’une espèce donnée
est en baisse de 10% tous les ans depuis plusieurs années. Actuellement, en 2014, cette population a été évaluée à
500 animaux.
On fait l’hypothèse que cette tendance va se poursuivre dans les années à venir.
On s’intéresse à l’évolution de la population d’animaux à partir de 2014. La situation peut être modélisée par une
suite
, le terme
donnant une estimation du nombre d’animaux dans la réserve l’année 2014+n.
Prévision quant à l’évolution de cette population
1. Exprimer
en fonction de n.
2. Quelle est la limite de
?
3. Déterminer la plus petite valeur de n telle que
et interpréter ce résultat.
Prévision avec une introduction d’animaux dans cette réserve
1. Afin de compenser cette baisse de population, on décide d’introduire dans cette réserve, tous les ans dès
2015, 80 animaux prélevés dans une autre réserve.
Donner, dans un tableau , l’évolution de cette population de 2014 à 2020.
2. On se place dans l’hypothèse d’une disparition de 10% de la population tous les ans et d’une introduction
de 80 animaux nouveaux. Pour tout entier naturel n, on note la population de ces animaux en 2014+n. On
a
Donner l’expression de
en fonction de
3. On considère la suite
définie pour tout entier naturel n par
a. Montrer que
est une suite géométrique de raison 0,9. Préciser
b. En déduire une expression de en fonction de n
c. Peut-on prévoir avec ce modèle une stabilisation de la population ?
Corrigé
Exercice 1 :
1. f(0)= –2
f(-3)= 3
f’(0) = - 1
f’(3)= 3
1.5
2. L’équation de la tangente à la courbe au point d’abscisse 0 est y = – x – 1
0.5
3. Au point d’abscisse -5 :
On lit : f(-5) = -4 ; f’(-5) = 4
D’où : y = 4(x+5) – 4 = 4x + 16
La tangente a pour équation y = 4x + 16
1
Exercice 2 :
1.
0.5
f ( x)  6 x  5
u = 2x -1 ; u’ = 2 ; v = 5x – 3 ; v’ = 5
2(5 x  3)  5(2 x  1) 10 x  6  10 x  5
1
g '( x) 


(5 x  3)²
(5 x  3)²
(5 x  3)²
0.75
u = 1 ; u’ = 0 ; v = 2x² + x ; v’ = 4x + 1
h '( x) 
0(2 x ²  x)  (4 x  1)  1
4 x  1

(2 x ²  x)²
(2 x²  x)²
1
1
i '( x)  24 x3  6 x ²  
x² 2 x
0.75
0.5
1
1

2²
4
1
1
1
1 1
1
3
y  g '(1)( x  1)  g (1)    x  1    x     x 
4
2
4
4 2
4
4
2. . g(1) =
1
2
g’(1) =
1
3
La tangente à la courbe représentant g, au point d’abscisse 1, a pour équation : y   x 
x
4
1
3.
C’est un polynôme du second degré.  = 84 ; x1 = – 0.25 ; x2 = 2
x
–
signe de f(x)
-0.25
0
–
2
0
+
0.5
+
–
1
; 2x  6  0  2 x  6  x  3
3
+
9x + 3 = 0  9x = – 3  x = 
x
–
9x+3
-2x+6
k(x)

–
+
–
3
1
3
0
+
+
+
0
1
+
–
–
0
||
4x²-4x+1 :  = 0 ; x1 = 0.25 ; 2x²-3x-2 :  = 25 Deux racines 2 et – 0.5
x
-
4x²-4x+1
2x²-3x-2
i(x)
-0.5
+
+
+
0
||
+
–
–
0.25
0
0
2
+
–
–
0
||
+
+
+
+
1
Exercice 3 :
Partie A
3
 60 ; d’où u1 = 2000 + 60 +150 =2210
100
3
 66.3 d’où u2 = 2210 + 66.3 + 150 = 2426.3
Les intérêts de la deuxième année : 2210 
100
Avec les intérêts le capital est augmenté de 3% donc multiplié par 1.03 et la personne verse
150€. On a donc un+1 = 1.03un + 150
 un = vn – 5000
vn+1 = un+1 + 5000 = 1.03un + 150 + 5000 = 1.03(vn – 5000) + 5150 = 1.03vn – 5150 + 5150
vn+1 = 1.03vn
La suite
est une suite géométrique de raison 1,03
v0 = u0 + 5000 = 7000
vn = v0 × qn = 7000 × 1.03n
d’où un = vn – 5000 = 7000 × 1.03n – 5000
Avec la calculatrice on obtient : u8 = 3867.39 et u9 = 4133.41
2014 + 9 = 2023 : c’est donc à partir de 2023 que cette personne aura au moins 4000€ sur son
compte épargne.
1. Les intérêts de la première année : 2000 
2.
3.
4.
5.
Partie B
1. Dans cet algorithme la variable C représente le capital sur le compte épargne.
Le placement est à 3% car on multiplie par 1.03
Le versement annuel est de 600€ car, dans la formule on lit : + 600.
2. .
Valeur de C 3000 3690 4400.7 5132.72 5886.7 6663.3
Valeur de N
0
1
2
3
4
5
Valeur de D 6000
Test C<D
vrai vrai
vrai
vrai
vrai
faux
L’algorithme affiche 5. Il faudra 5 années à cette personne pour doubler son capital de
départ de cette façon là.
Exercice 4 :
Prévision quant à l’évolution de cette population
1. Diminuer de 10% revient à multiplier par 0.9. La suite (un) est donc géométrique de raison 0.9.
De plus, u0 est la population de la réserve en 2014 donc u0 = 500.
un = u0 × qn = 500× 0.9n
2. Comme 0.9 ]0,1[ on a lim un  0
n 
3. Avec la calculatrice on obtient : u58  1.1 et u59  0.998. La plus petite valeur de n telle
que
est n = 59.
Dans 59 ans, il restera au maximum un animal dans cette réserve.
Prévision avec une introduction d’animaux dans cette réserve
1.
Années
2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
Population 500 530 557 581 603 623 641
2. on a : vn+1 = 0.9vn + 80
3. wn1  vn1  800  0.9vn  80  800  0.9(wn  800)  720  0.9wn : la suite (wn) est géométrique
de raison 0.9. w0 = v0 – 800 = – 300
wn  w0  0.9n  300  0.9n donc vn  wn  800  300  0.9n  800
Comme 0.9 ]0,1[ on a lim vn  0 et donc lim wn  800 . La population finira par se stabiliser
n 
à 800 animaux.
n 
0.5
0.5
1
0.75
0.75
0.25
0.25
0.25
0.5
0.75
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
1
0.75
0.75