Intervalles de confiance et tests portant sur la moyenne d`une loi

Master de mathématiques
2011/2012
Intervalles de confiance et tests
portant sur la moyenne et la variance
d’une loi gaussienne
Table des matières
A Intervalle de confiance
1
B Intervalles de confiance et tests pour
connue
B.1 Intervalle de confiance bilatéral . . . .
B.2 Intervalles de confiance unilatéraux . .
B.3 Test bilatéral . . . . . . . . . . . . . .
B.4 Tests unilatéraux . . . . . . . . . . .
une moyenne quand la variance est
C Intervalles de confiance et tests pour
connue
C.1 Intervalle de confiance bilatéral . . . .
C.2 Intervalles de confiance unilatéraux . .
C.3 Test bilatéral . . . . . . . . . . . . . .
C.4 Tests unilatéraux . . . . . . . . . . .
C.5 Réalisation avec le logiciel R . . . . .
une moyenne quand la variance est
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1
2
2
2
4
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5
6
6
6
7
8
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8
8
9
9
9
10
10
E Intervalles de confiance obtenus par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
10
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D Intervalle de confiance pour une variance
D.1 Cas où la moyenne est connue . . . . . .
D.2 Cas où la moyenne est inconnue . . . . .
D.2.1 Intervalle de confiance . . . . . . .
D.2.2 Tests unilatéraux . . . . . . . . .
D.2.3 Test bilatéral . . . . . . . . . . . .
D.2.4 Remarque . . . . . . . . . . . . .
1
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(cas
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gaussien)
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A
Intervalle de confiance
X=(X1 ,..,Xn )
Soit (Ω, F, (Pθ )θ∈T ) −−−−−−−→ (S, S, (Qθ )θ∈T ) une structure statistique, où T est
une partie de R et la loi de X sous Pθ est Qθ .
Si α est un élément de ]0, 1[, un intervalle de confiance du paramètre θ de niveau 1 − α est
déterminé par la donnée de deux estimateurs A et B de S dans R vérifiant
a) pour tout s ∈ S A(s) ≤ B(s)
b) ∀θ ∈ T Qθ (A ≤ θ ≤ B) ≥ 1 − α.
Une fois une mesure x = (x1 , .., xn ) effectuée, on dira que l’intervalle [A(x), B(x)] est un
intervalle de confiance de niveau 1 − α du paramètre θ.
B
Intervalles de confiance et tests pour une moyenne quand la variance est
connue
Un phénomène obéit à une loi normale N (m, σ 2 ), où la moyenne m est inconnue. Pour
estimer m on réalise n mesures indépendantes x1 , ..., xn . On pose x = (x1 , ..., xn ) et on note
xn = n1 (x1 + ... + xn ) la moyenne empirique obtenue, qui est une estimation ponctuelle de m.
B.1
Intervalle de confiance bilatéral
Le modèle statistique correspondant est
X=(X1 ,...,Xn )
(Ω, F, (Pm )m∈R ) −−−−−−−−→ (Rn , Bn , N (m, σ 2 )⊗n ),
où σ est un réel > 0 fixé, et où sous Pm la suite X = (X1 , ..., Xn ) est un n-échantillon de
N (m, σ 2 ).
variable aléatoire X n =
Pn Le comportement probabiliste de σx2 n est modélisé par la
X n√
−m
1
i=1 Xi qui suit sous Pm la loi N (m, n ). La variable Z = σ/ n suis donc sous Pm la
n
loi N (0, 1).
On se donne un réel α ∈]0, 1[, et on désire construire un intervalle de confiance de m
de niveau (1 − α) × 100%. On note zα/2 le réel vérifiant
Z +zα/2
1
x2
Pm (−zα/2 ≤ Z ≤ zα/2 ) = √
exp{− }dx = 1 − α,
2
2π −zα/2
i.e. le réel zα/2 tel que −zα/2 soit le quantile d’ordre
Pm (−zα/2 ≤
α
2
de la loi N (0, 1). On peut alors écrire
Xn − m
σ
σ
√ ≤ zα/2 ) = 1 − α ⇐⇒ Pm (X n − zα/2 √ ≤ m ≤ X n + zα/2 √ ) = 1 − α.
σ/ n
n
n
2
Un intervalle de confiance de niveau (1 − α) × 100% de la moyenne m est donc
σ
σ
[xn − zα/2 √ , xn + zα/2 √ ].
n
n
σ
La quantité zα/2 √ est appelée erreur moyenne.
n
B.2
Intervalles de confiance unilatéraux
On peut selon les mêmes principes utilisés plus haut construire des intervalle de confiance
unilatéraux. Si -zα est le quantile d’ordre α de la loi N (0, 1), les intervalles
σ
σ
[xn − zα √ , +∞[ et ] − ∞ , xn + zα √ ]
n
n
sont des intervalle de confiance de la moyenne de niveau (1 − α) × 100%.
B.3
Test bilatéral
On se donne un réel m0 et on désire tester
H0 : m = m0
contre
H1 : m 6= m0 .
Un test se réalise par l’intermédiaire d’une règle de décision, qui doit préciser une
statistique de test et la région de rejet associée à cette statistique. Compte tenu du paragraphe
précédent, il est naturel de prendre pour statistique l’application
a
−
m
n
√ 0 ,
t : Rn → R+ , a = (a1 , ..., an ) → t(a) = σ/ n
P
où an = n1 ni=1 ai .
Si H0 est vraie, on s’attend à observer une valeur de t(x) plus petite que si H1 était vraie.
√ 0 a pour loi N (0, 1).
Sous H0 la variable Xσ/n −m
n
Région de rejet a priori
La région de rejet a priori (i.e. avant d’avoir effectué les mesures) associée à la statistique t
est un intervalle de la forme [c, +∞[,c ≥ 0.
Région de rejet a posteriori
La région de rejet a posteriori est la plus petite région de rejet a priori contenant t(x), c’est
à dire l’intervalle [t(x), +∞[.
P-valeur
3
La p-valeur est la probabilité pour que sous H0 t(X) appartienne à la région de rejet a
posteriori, i.e.
γ = Pm0 (t(X) ∈ [t(x), +∞[)
X n − m0
x −m
√ | ≥ | n √ 0 |)
σ/ n
σ/ n
= N (0, 1)(] − ∞, −t(x)] ∪ [t(x), +∞[)
xn − m0 √ ),
= 2Φ(− σ/ n
= Pm0 (|
où Φ désigne la fonction de répartition de la loi normale N (0, 1).
Test de taille donnée
Soit α ∈]0, 0.5[. Le test de région de rejet l’intervalle [zα/2 , +∞[ est de taille α puisque
Pm0 (|
X n − m0
X −m
X −m
√ | ≥ zα/2 ) = Pm0 ( n √ 0 ≤ −zα/2 )+Pm0 ( n √ 0 ≥ zα/2 ) = 2Φ(−zα/2 ) = α.
σ/ n
σ/ n
σ/ n
On rejette H0 au niveau α si t(x) ≥ zα/2 , et on ne rejette pas H0 si t(x) < zα/2 . Comme
t(x) ≥ zα/2 équivaut à
γ = Pm0 (t(X) ≥ t(x)) ≤ Pm0 (t(X) ≥ zα/2 )) = α,
on voit qu’il est équivalent de rejeter H0 au niveau α si α ≥ γ.
Lien avec l’intervalle de confiance
On établit facilement l’équivalence
σ
σ
t(x) ≤ zα/2 ⇐⇒ m0 ∈ [xn − zα/2 √ , xn + zα/2 √ ].
n
n
B.4
Tests unilatéraux
On se donne un réel m0 et on désire tester
H0 : m = m0 ( ou m ≥ m0 )
contre
H1 : m < m 0 .
La statistique de test est dans ce cas l’application
s : Rn → R+ ,
a = (a1 , ..., an ) → s(a) =
an − m0
√ ,
σ/ n
P
où an = n1 ni=1 ai .
La région de rejet a priori associée à la statistique s est de la forme ] − ∞, c], et la région
n −m
√ 0 ].
de rejet a posteriori est ] − ∞, s(x)] =] − ∞, xσ/
n
4
La p-valeur est
γ = Pm0 (s(X) ≤ s(x))
X n − m0
xn − m0
√
√ )
≤
σ/ n
σ/ n
= N (0, 1)(] − ∞, s(x)])
xn − m0
√ ).
= Φ(
σ/ n
= Pm0 (
On traiterait de façon analogue le test de H0 : m = m0 contre H1 : m > m0 , dont la région
n −m
√ 0 , +∞[ et la p-valeur 1 − Φ( xn −m
√ 0 ).
de rejet a posteriori est [s(x), +∞[= [ xσ/
n
σ/ n
Fonction puissance d’un test de taille donnée
Supposons que µ0 = 10, σ = 3, x = 9, n = 36. Le test bilatéral de taille 0, 05 a pour
région de rejet (relative à la statistique t) l’intervalle [z, +∞[, où z = t0,05 est déterminé par
P10 (t(X) ≥ z) = 0, 05. Le réel z est le quantile d’ordre 1 − 0,05
2 = 0, 975 de la loi N (0, 1).
Ce quantile vaut approximativement 1, 959964. La fonction puissance du test est l’application
de R − {10} dans [0, 1] qui à m associe π(m) = Pm (t(X) ≥ z). Sous Pm X n a pour loi
9
n −10
N (m, 36
) = N (m, 41 ) ; X3/6
a par conséquent pour loi N (2(m − 10), 1). Donc
π(m) = N (2(m − 10), 1)([−z, z]c )
= 1 − N (2(m − 10), 1)([−z, z]
= 1 − N (0, 1)([−z − 2(m − 10), z − 2(m − 10)]).
Remarque 1
Les valeurs les plus utilisées par α et les valeurs approchées correspondantes de zα/2 sont
données dans le tableau ci-dessous.
α
0, 1
0, 05
0, 01
1−α
0, 9
0, 95
0, 99
zα/2
1, 645 1, 96 2, 576
5
y
0.2
0.3
0.4
La figure ci-dessous illustre le cas α = 0, 1.
0.1
1-0,1=0,90
0,1/2=0,05
0.0
0,1/2=0,05
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
C
Intervalles de confiance et tests pour une moyenne quand la variance est
connue
Rappel 2 (Loi de Student)
La loi de Student tn est la loi d’un quotient √U , où U et V sont des variables aléatoires
V /n
réelles indépendantes, U suivant une loi normale N (0, 1) et V une loi du χ2 à n degrés de
liberté. Les densités des lois de Student sont paires.
C.1
Intervalle de confiance bilatéral
Le modèle statistique correspondant est
X
(Ω, F, (P(m,σ) )(m,σ)∈R×R∗+ ) −
→ (Rn , Bn , N (m, σ 2 )⊗n ),
2
où sous P(m,σ) la suite X = (X1 , ..., Xn ) est un n-échantillon
de
N
(m,
σ
).
Pn
1
∗2
2
La variance inconnue est estimée par sn = n−1 i=1 (xi −xn ) , dont la variable aléatoire
Pn
1
2
∗2
associée est Sn∗2 = n−1
i=1 (Xi − X n ) . On rappelle que sous P(m,σ) les variables X n et Sn
6
∗2
sont indépendantes, que la variable Sn∗2 a pour espérance σ 2 , et que la loi de n−1
σ Sn est la loi
de khi-deux à n − 1 degrés de liberté χ2n−1 .
Pour déterminer un intervalle de confiance de la moyenne de niveau (1 − α) on utilise la
variable
√
Xn − m
n(X n − m) Sn∗
√
=
[
]/[ ]
σ
σ
Sn∗ / n
qui sous P(m,σ) suit la loi de Student à n−1 degrés de liberté. On note que P(m,σ) (Sn∗ = 0) = 0.
Soit α ∈]0, 1[ et tα/2 = t(α/2, n − 1) le réel vérifiant tn−1 ([−tα/2 , tα/2 ]) = 1 − α, i.e. le
quantile d’ordre 1 − 12 de la loi tn−1 . L’équivalence
P(m,σ) (−tα/2
Sn∗
Sn∗
Xn − m
≤ ∗ √ ≤ tα/2 ) = 1−α ⇐⇒ P(m,σ) (X n −tα/2 √ ≤ m ≤ X n +tα/2 √ ) = 1−α.
Sn / n
n
n
montre que l’intervalle
s∗
s∗
[xn − tα/2 √n , xn + tα/2 √n ]
n
n
est un intervalle de confiance de la moyenne pour la moyenne de niveau (1 − α) × 100%.
C.2
Intervalles de confiance unilatéraux
On peut selon les mêmes principes utilisés plus haut construire des intervalle de confiance
unilatéraux. Si tα est le quantile d’ordre 1 − α de la loi tn−1 , les intervalles
s∗n
s∗n
[xn − tα √ , +∞[ et ] − ∞ , xn + tα √ ]
n
n
sont des intervalle de confiance de niveau (1 − α) × 100%.
C.3
Test bilatéral
On se donne un réel m0 et on désire tester
H0 : m = m0
contre
H1 : m 6= m0 .
Compte tenu du paragraphe précédent, on prend pour statistique de test l’application
an − m 0 n
√ ,
t : R \∆n → R+ , a = (a1 , ..., an ) → t(a) = ∗
σ (a)/ n où
an =
1
n
n
X
i=1
ai ,
v
u
n
u 1 X
∗
t
σ (a) =
(ai − an )2 ,
n − 1 i=1
et
∆n = {(a1 , ..., an ) ∈ Rn : ∀(i, j) ∈ [1..n] ai = aj }.
La région de rejet à priori associée à la statistique t est un intervalle de la forme [c, +∞[.
7
La région de rejet a posteriori une fois observées les valeurs x1 , ..., xn , réels que l’on supposera
xn − m0
non tous égaux, est par conséquent [t(x), +∞[= [| ∗ √ |, +∞[.
sn / n
La p-valeur du test vaut
γ = P(m0 ,σ) (t(X) ∈ [t(x), +∞[)
X n − m0
xn − m0
√
√ |)
|
≥
|
Sn∗ / n
s∗n / n
xn − m0
= 2Ftn−1 (−| ∗ √ |),
sn / n
= P(m0 ,σ) (|
où Ftn−1 désigne la fonction de répartition de la loi de Student à n − 1 degrés de liberté.
Si l’on s’est donné un niveau α ∈]0, 1[, on rejette H0 si α > γ, et on ne rejette pas H0 si
α ≤ γ.
C.4
Tests unilatéraux
H0 : m = m0 (ou m ≥ m0 )
contre
H1 : m < m 0 .
La région de rejet a priori associée à la statistique
s : Rn \∆n → R+ , a = (a1 , ..., an ) → s(a) =
où
an =
1
n
n
X
i=1
ai ,
an − m 0
√ ,
σ ∗ (a)/ n
v
u
n
u 1 X
∗
σ (a) = t
(ai − an )2 ,
n − 1 i=1
et
∆n = {(a1 , ..., an ) ∈ Rn : ∀(i, j) ∈ [1..n] ai = aj },
xn − m0
est de la forme ] − ∞, c], et la région de rejet a posteriori est ] − ∞, ∗ √ ].
sn / n
La p-valeur est
X n − m0
xn − m0
√
√ )
≤
Sn∗ / n
s∗n / n
xn − m0
= Ftn−1 ( ∗ √ )
sn / n
= Ftn−1 (s(x)).
γ = P(m0 ,σ) (
On traiterait de façon analogue le test H0 : m = m0 contre H1 : m > m0 .
8
C.5
Réalisation avec le logiciel R
Si x = (x1 , ..., xn ) est la suite des mesures, 1 − α le niveau de confiance, la commande
√ 0 , la p-valeur
- t.test(x, alt = ”g”, mu = m0 , conf.level = 0.9) fournit l’estimation xsn∗ −m
n/ n
√ 0 , +∞[) = 1 − Ft
√ 0 ) du test de H0 : m = m0 contre H1 : m > m0 , ainsi
( xn −m
tn−1 ([ xsn∗ −m
n−1 s∗ / n
n/ n
n
que l’intervalle de confiance unilatéral de niveau 1 − α = 0, 9
√ 0 , la p-valeur Ft
√ 0 ) du test de
- t.test(x, alt = ”l”, mu = m0 ) fournit l’estimation xsn∗ −m
( xn −m
n−1 s∗ / n
/
n
n
n
H0 : m = m0 contre H1 : m < m0 , ainsi que l’intervalle de confiance unilatéral du niveau
par défaut 95%
xn −m
xn −m
0
0
√
√
- t.test(x, alt = ”t”) fournit l’estimation s∗ / n , la p-valeur 2Ftn−1 (− s∗ / n ) du test bilatéral
n
n
de H0 : m = 0 contre H1 : m 6= 0, ainsi que l’intervalle de confiance bilatéral du niveau par
défaut 95%.
D
Intervalle de confiance pour une variance (cas gaussien)
Un phénomène obéit à une loi normale N (m, σ 2 ), où la variance σ 2 est inconnue. Pour
estimer σ 2 on réalise n mesures indépendantes x1 , ..., xn .
D.1
Cas où la moyenne est connue
P
P
On estime σ 2 par s2n = n1 ni=1 (xi −m)2 ; la variable associée est Sn2 = n1 ni=1 (Xi −m)2 .
2
2
n
On sait que la variable nS
2
σ suit la loi du khi-deux à n degrés de liberté χn .
Etant donné α ∈]0, 1[ on détermine les réels k1 (α) et k2 (α) vérifiant
χ2n ([0, k1 (α)]) =
α
2
χ2n ([k2 (α), +∞[) =
et
α
.
2
2
n
On a alors χ2n ([k1 (α), k2 (α)]) = 1 − α, et de façon équivalente Pσ2 (k1 (α) ≤ nS
σ 2 ≤ k2 (α)) =
1 − α,
2
nSn2
2
n
soit encore Pσ2 ( knS
≤
σ
≤
k1 (α) ) = 1 − α.
2 (α)
Un intervalle de confiance de niveau (1 − α) × 100% de la variance σ 2 est par conséquent
ns2n ns2n
[
,
].
k2 (α) k1 (α)
9
D.2
Cas où la moyenne est inconnue
D.2.1
Intervalle de confiance
Pn
Pn
1
1
2
∗2
=
x
et
la
variance
par
s
i
n
i=1
i=1 (xi −xn ) ,
n
n−1
Pn
(n−1)Sn∗2
1
2
Sn∗2 = n−1
a pour
i=1 (Xi − X n ) . La variable
σ2
La moyenne est estimée par xn =
dont la variable aléatoire associée est
loi χ2n−1 . Si k1 (α) et k2 (α) sont les réels vérifiant
α
α
χ2n−1 ([0, k1 (α)]) =
et χ2n−1 ([k2 (α), +∞[) = ,
2
2
on voit comme ci-dessus que l’intervalle
∗2
(n − 1)s∗2
n (n − 1)sn
[
,
]
k2 (α)
k1 (α)
est un intervalle de confiance de niveau (1 − α) × 100% de la variance σ 2 .
D.2.2
Tests unilatéraux
On se donne un réel σ0 > 0 et on désire tester
contre
H1 : σ 2 > σ02 .
H0 : σ 2 = σ02
Le test se réalise par l’intermédiaire de la statistique n−1
S ∗2 , qui suit sous H0 la loi
σ02 n
χ2n−1 . La région de rejet à priori qui de la forme [c, +∞[. La région de rejet a posteriori associée
aux mesures indépendantes x1 , ..., xn est par conséquent [ n−1
s∗2 , +∞[.
σ02 n
La p-valeur du test vaut
n−1
n − 1 ∗2
n − 1 ∗2
2
γ = P(m,σ02 ) ( 2 Sn∗2 ≥
s
s , +∞[).
)
=
χ
([
n−1
σ0
σ02 n
σ02 n
Si l’on s’est donné un niveau α ∈]0, 1[, on rejette H0 si α ≥ γ, et on ne rejette pas H0 si
α < γ.
Le test H0 : σ 2 ≤ σ02 contre H1 : σ 2 > σ02 possède la même p-valeur.
D.2.3
Test bilatéral
Du fait de la dissymétrie de la loi χ2n−1 il est impossible de préciser une région de rejet
a priori pour le test de
H0 : σ 2 = σ02
contre
H1 : σ 2 6= σ02 .
On se fixe donc au préalable un niveau α ∈]0, 1[, puis on détermine ensuite les réels χ1 et
χ2 vérifiant
α
α
χ2n−1 ([0, χ1 ]) =
et χ2n−1 ([χ2 , +∞[) = .
2
2
Comme alors sous H0
n−1
P(m,σ02 ) ( 2 Sn∗2 ∈ [χ1 , χ2 ]) = χ2n−1 ([χ1 , χ2 ]) = 1 − α,
σ0
l’ensemble [χ1 , χ2 ]c est une région de rejet du test pour le niveau α.
10
D.2.4
Remarque
Les résultats de la partie D restent valables pour de grands échantillons ( n ≥ 30)
dans le cas de variables indépendantes et de même loi admettant un moment d’ordre deux
∗2
fini. Ceux de la partie C ne s’appliquent qu’au cas gaussien car la loi de la variable n−1
σ 2 Sn
peut s’écarter nettement de la loi χ2n−1 lorsque les variables Xn ne sont pas gaussiennes, même
∗2
lorsque n est grand (on dira que la distribution d’échantillonnage de la variable n−1
σ 2 Sn est
peu robuste vis-à-vis de l’hypothèse gaussienne).
Plus précisément si (Xn )n≥ est une suite indépendante de variables aléatoires
réelles de
P
n
1
même loi admettant un moment d’ordre 4, et si comme ci-dessus Sn∗2 = n−1 i=1 (Xi − X n )2 ,
√
la suite n(Sn∗2 − σ 2 ) converge en loi vers une loi normale N (0, µ4 − σ 4 ), où µ4 est le moment
centré d’ordre 4 E(X1 − EX1 )4 . Si les variables Xn suivent une loi normale, µ4 = 3σ 4 , et
donc µ4 − σ 4 = 2σ 4 . Les tests de la partie C restent par conséquent valides pour une loi pour
laquelle µ4 = 3σ 4 .
E
Intervalles de confiance obtenus par l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Quand l’approximation normale n’est pas valide, on peut utiliser l’inégalité de BienayméTchebychev pour obtenir intervalle de confiance .
Un phénomène obéit à une loi P sur R, de moyenne m, dont la variance σ 2 est connue.
Pour estimer m on réalise n mesures indépendantes x1 , ..., xn et l’on note xn = n1 (x1 + ... + xn )
la moyenne empirique qui est une estimation ponctuelle de m.
Si (X1 , ..., Xn ) est un n-échantillon de P , on a pour tout réel t > 0 l’inégalité
√ 1 √
1
P ( n (X n − m)/σ ≥ t) ≤ 2 V [ n(X n − m)/σ] = 2 ,
t
t
d’où
√
1
P ( n(X n − m)/σ ≤ t) ≥ 1 − 2 .
t
√
Soit α ∈]0, 1[ et soit lα = 1/ α. On a
√
P ( n(X n − m)/σ ≤ lα ) ≥ 1 − α,
ce qui s’écrit encore
σ
σ
P (X n − lα √ ≤ m ≤ X n + lα √ ) ≥ 1 − α.
n
n
L’intervalle
σ
σ
[xn − lα √ ≤ m ≤ xn + lα √ ]
n
n
est un intervalle de confiance de niveau au moins égal à 1 − α.
Exemple
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On reprend les données utilisée dans la section B (variance connue), i.e. on suppose que
P a pour écart-type σ = 3, et que la moyenne empirique est x = 9, la taille de l’échantillon
étant n = 36. Si α = 0, 1, on a
1 3
1 3
σ
σ
' 7.42 et xn − lα √ = 9 − √
' 10.58,
xn − lα √ = 9 − √
n
n
0, 1 6
0, 1 6
si bien que l’intervalle de confiance de niveau supérieur ou égal à 0, 90 est [7.42 , 10.58], à
comparer à l’intervalle [8.178, 9.822] obtenu dans le cas gaussien.
Compléments
On pourra consulter le site
http://www.stat.sc.edu/~west/javahtml/ConfidenceInterval.html
ainsi que le chapitre 18 du site
http://stat-www.berkeley.edu/users/stark/SticiGui/index.htm.
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