Intersection de trois plans - La taverne de l`Irlandais.

Vestiges d'une terminale S – Intersection de trois plans – Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l'Irlandais(www.tanopah.com)
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2. Les plans P1 , P2 et P3 sont parallèles et non
confondus.
L'intersection des trois plans est l'ensemble vide.
Le système (S) n'admet aucune solution.
Dans ce cas, les vecteurs normaux n1 , n 2 et n 3
des trois plans sont colinéaires.
Seuls les coefficients a1 ; b1 ;c1 , a 2 ; b 2 ;c2 et
Dans ce qui suit, l'espace est rapporté à un repère orthonormé O; i , j, k .
Dans ce repère, on considère les trois plans P1 d'équation a1.x + b1.y + c1.z = d1 ;
P2 d'équation a 2 .x + b 2 .y + c2 .z = d 2 et P3 d'équation a 3 .x + b3 .y + c3 .z = d3 .
a1
a2
Trois vecteurs normaux de ces trois plans sont n1 b1 , n 2 b 2
c1
c2
a3
et n 3 b3 .
c3
Petit rappel sur le parallélisme de plan
Les plans P1 et P2 sont parallèles
leurs vecteurs normaux n1 et n 2 sont colinéaires
les coefficients a1 ; b1;c1 et a 2 ; b 2 ;c 2 sont
proportionnels
Lorsque la proportionnalité s'étend aux quatre coefficients a1 ; b1 ;c1 ;d1 et
a 2 ; b 2 ;c2 ; d 2 , alors nous avons à faire au même plan : P1 et P2 sont confondus.
Un point M appartient aux trois plans P1 , P2 et P3 lorsque et seulement lorsque ses
coordonnées en vérifient les trois équations données précédemment.
Le problème de l'intersection
L'intersection des plans P1 , P2 et P3 est l'ensemble des points de l'espace dont les
coordonnées sont les solutions du système de trois équations à trois inconnues ( 3 × 3) :
P1
P2
P3
a 3 ; b3 ;c3 sont proportionnels car les trois
équations se rapportent à trois plans non confondus.
3. Les plans P1 et P2 sont confondus et, le plan P3 leur est sécant
L'intersection des trois plans est une droite .
Le système (S) admet une infinité de solutions.
Les deux premières équations des
P1 : a1.x + b1.y + c1.z = d1 et
P2 : a 2 .x + b 2 .y + c2 .z = d 2 sont
proportionnelles.
Par contre, les coefficients a 3 ; b3 ;c3 ne sont
1. Les plans P1 , P2 et P3 sont confondus
L'intersection P1 P2 P3 est le plan P1 qui est
aussi le plan P2 ou le plan P3 .
Le système admet une infinité de solutions.
Les trois équations du système sont proportionnelles.
Il s'agit de trois équations d'un même plan.
P1 ou P2
proportionnels ni à a1 ; b1 ;c1 , ni à a 2 ; b 2 ;c2 .
Ceci car le vecteur normal n 3 n'est colinéaire
P3
ni à n1 , ni à n 2 .
a1.x + b1.y + c1.z = d1
(S) a 2 .x + b2 .y + c2 .z = d2
a 3 .x + b3 .y + c3 .z = d3
Résoudre le système ( S ) , c'est savoir ce qu'est l'intersection des plans P1 , P2 et P3 .
Passons en revue tous les cas possibles.
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P1
'
4. Les plans P1 et P2 sont parallèles
distincts et, le plan P3 leur est sécant
L'intersection des trois plans est l'ensemble
vide.
Le système (S) n'admet aucune solution.
On est alors dans la configuration du
théorème dit d'incidence.
Dans ce cas, seuls les vecteurs normaux n1 et
n 2 sont colinéaires.
P2
Seuls les coefficients a1 ; b1 ;c1 et a 2 ; b 2 ;c2
P1 , P2 ou P3
P3
sont proportionnels.
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Dans les cas suivants, il n'y a plus proportionnalité entre les coefficients des
équations en x ; y et z
5. Les plans P1 , P2 et P3 sont sécants suivant une même droite
L'intersection des trois plans est une droite.
Le système (S) admet une infinité de solutions.
On peut voir les choses de la manière suivante :
les plans P1 et P2 sont sécants suivant une droite
P
P
qui est incluse dans le plan P3 .
Dans ce cas, les trois vecteurs normaux n1 , n 2 et
1
Comment établir que trois vecteurs sont coplanaires ?
a1
a2
a3
P3
Les trois vecteurs normaux n1 b1 , n 2 b 2 et n 3 b3
c1
c2
c3
seulement lorsque on peut les loger dans un même plan.
sont coplanaires lorsque et
2
n 3 sont coplanaires sans être colinéaires.
n3
6. Les plans P1 , P2 et P3 sont deux à deux sécants mais suivant trois droites
parallèles distinctes , ', et ''
L'intersection des trois plans est vide.
Le système (S) n'a aucune solution.
On peut voir cette situation de la
manière suivante :
les plans P1 et P2 sont sécants
suivant une droite qui est
P2
P1
parallèle au plan P3 sans y être
incluse.
Cette situation est celle du
''
'
théorème dit du toit.
P3
Dans ce cas, les trois vecteurs
normaux n1 , n 2 et n 3 sont aussi coplanaires sans être colinéaires.
7. Les plans P1 , P2 et P3 sont sécants et leur intersection est un point I
Le système (S) a alors une seule
solution et se résout classiquement
par la méthode du pivot de Gauss
(ou par combinaisons linéaires).
Les trois droites d'intersection , '
et '' sont sécantes en I.
I
P1
P2
Dans ce cas là et seulement dans ce
cas là, les trois vecteurs normaux
n1 , n 2 et n 3 ne sont pas
coplanaires.
'
P3
Page 2 sur 2
''
n2
n1
Pour établir que les trois vecteurs n1 ,
qu'il existe deux réels et tels que :
a3
n 3 = .n1 + .n 2
b3 =
c3
n 2 et n 3 sont coplanaires, il suffit de prouver
a1
a2
b1 + . b 2
a 3 = .a1 + .a 2
b3 = .b1 + .b 2
c1
c3 = .c1 + .c2
c2
Ce système 3×2 d'inconnues
et admet-il des solutions ?
Précisons que deux vecteurs sont toujours coplanaires.
Si sur les trois vecteurs, deux sont colinéaires, alors le trio est coplanaire.