Equations différentielles : Application à des problèmes biologiques

Equations différentielles :
Application à des problèmes biologiques
Problème 1
L’évolution au cours du temps de la fréquence relative en base C ou G, γ(t), dans les
génomes a été modélisée par Sueoka en 1962. Les hypothèses de ce modèle se traduisent
sous la forme d’une équation différentielle :
dγ
= −(u + v)γ + v
dt
où u et v sont des paramètres strictement positifs représentant les taux de mutation des
bases C ou G vers A ou T et des bases A ou T vers C ou G, respectivement :
u
) A ou T
C ou G *
v
dγ
= 0. Exprimer γ ∗ en fonction de u et v.
dt
2) Soit la condition initiale γ0 = γ(0). Donner l’expression de γ(t) en fonction de t, de γ0 ,
de γ ∗ , de u et de v.
1) Soit γ ∗ la valeur de γ(t) telle que
3) Etudier le modèle obtenu en (2). Dans cette étude, on constate en particulier l’existence
des trois cas de figure, selon le sens de la croissance de la fonction γ(t).
4) Les gènes cps nécessaires pour le production d’acide colanique ont été acquis dans le
génome de Escherichia coli par transfert horizontal en provenance de Salmonella enterica.
Sachant que le fréquence relative en bases C ou G de l’ensemble des gènes est de 0.57
chez Escherichia coli, de 0.77 chez Salmonella enterica, et de 0.64 pour les gènes cps chez
Escherichia coli, avec u + v = 3.3 10−8 an−1 , en déduire depuis combien d’années les gènes
cps sont présents dans le génome de Escherichia coli.
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Problème 2
Le poids d’un animal est supposé être une fonction du temps (mesuré à partir de l’instant
de conception de cet animal), fonction définie par l’équation differentielle
e−t
dP
= KP
dt
1 − e−t
où K est un coefficient constant positif, particulier à l’animal considéré. On se propose
d’étudier les variations de P en fonction de t (avec t ≥ 0).
1) En résolvant l’équation différentielle ci-dessus, obtenir l’expression de P en fonction
de t. On précisera notamment le signe de la constante d’intégration intervenant dans
l’expression ainsi établie.
dP
d2 P
et
en fonction de t et de P∞ .
dt
dt2
3) Etudier les variations de P en fonction de t, pour t variant de 0 à +∞. On distinguera
les trois cas : (a) 0 < K < 1, (b) K = 1, et (c) K > 1, et on donnera une représentation
graphique schématique des variations de P dans chacun de ces cas.
2) Exprimer
Problème 3
La croissance pondérale d’un certain organisme est représentée par l’évolution de sa masse
totale, soit x, en fonction du temps, soit t. L’équation différentielle suivante (loi de Johnson
et Schumacher) décrit la relation existant entre la vitesse de croissance de x et le temps :
ab b
dx
= 2 e− t
dt
t
où a et b sont des constantes strictement positives.
1) Exprimer x en fonction de t, pour t > 0. On désignera par x0 la valeur de la masse de
cet organisme à l’instant t = 0.
2) Etudier les variations de x en fonction de t, lorsque t croît de 0 à ∞. Donner une
représentation graphique de ces variations.
3) Exprimer en fonction des constantes a, b et x0 :
- le moment tm où la vitesse de croissance est maximum.
- la valeur de la vitesse de croissance à tm .
- la masse de l’organisme à tm .
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Problème 4
On ne peut pas compter directement le nombre de bactéries présentes dans un prélèvement
de sol supposé homogène. C’est pourquoi on a mis au point la méthode suivante : dans
1 cm3 d’eau distillée on dépose 1 mg de sol contenant x0 bactéries (x0 inconnu). On
suppose que les bactéries présentes dans le prélèvement de sol peuvent passer en solution
et réciproquement, selon le schéma suivant :
k1
* x2
x1 )
k2
où
x1 est le nombre de bactéries (densité) dans le prélèvement, x2 est le nombre de bactéries
(densité) en solution et k1 et k2 sont des constantes (positives) caractéristiques du sol
étudié.
A ce schéma (modèle à compartiment) peut être associé l’équation différentielle suivante :
dx1
= −k1 x1 + k2 x2
dt
avec à t = 0, x1 (0) = x0 et x2 (0) = 0.
1) Exprimer x2 en fonction de x1 et x0 . Exprimer x1 et x2 en fonction du temps (on pourra
k2
poser K =
. Donner le graphe de x1 (t) et x2 (t). Quelle est la limite e1 de x1 à
k1 + k2
l’équilibre (lorsque t tend vers ∞) ?
2) On suppose qu’on est à l’équilibre. On retire alors l’échantillon de la solution et on le
dépose à nouveau dans 1cm3 d’eau distillée, ce qui revient à recommencer l’expérience
avec une nouvelle condition initiale pour x1 (càd à t = 0, x1 = x00 et x2 = 0).
a) Que vaut x00 , nombre de bactéries dans le prélèvement au moment du transfert ?
b) Donner la nouvelle expression de x2 (t). Quelle est la limite e2 lorsque t →
∞?
c) Montrer que, connaissant e1 et e2 , on peut estimer x0 , nombre de bactéries
initialement présentes dans le prélèvement.
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Problème 5
L’étude d’une épidémie dans une population donnée nous conduit à nous intéresser aux
deux quantités suivantes, fonctions du temps t mesuré (en jours) à partir du début de
l’étude :
p(t) = proportion des individus qui, à l’instant t, sont porteurs de germes
s(t) = proportion des individus qui, à l’instant t, n’ont pas été atteint pas la
maladie
Les conditions d’hygiène ce cette population conduisent à supposer que ces deux fonctions
satisfont les relations suivantes :
dp(t)
= −bp(t)
dt
ds(t)
= −ap(t)s(t)
dt
où a et b sont des constantes positives
On supposera qu’à t = 0, on a p(0) = p0 et s(0) = s0 .
1) Exprimer p(t) en fonction de t et étudier ses variations, pour t ≥ 0.
2) Exprimer ln s(t) en fonction de t et étudier ses variations, pour t ≥ 0.
3) Exprimer en fonction de a, b, p0 , s0 , la limite vers laquelle tend s(t) quant t augmente.
En déduire la proportion d’individus qui auront été malades, au cours de l’épidémie.
Quelle est la valeur numérique de cette limite dans le cas où a = 3, 65, b = 1, p0 = 5% et
s0 = 90%.
4) Dans les mêmes conditions numériques que ci-dessus, déterminer l’instant où la proportion des individus ayant contracté la maladie atteindra 22%.
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Problème 6
Une réaction enzymatique peut se symboliser par le schéma suivant
k1
k2
) C→E+P
E+S *
k−1
qui se lit le substrat S est transformé par l’enzyme E en produit P. Quantitativement,
on décrit l’évolution d’une telle réaction par sa cinétique exprimée en terme de vitesse de
réaction. Cette vitesse est :
v=−
dx
dy
=
dt
dt
où
x représente la concentration du milieut réactionnel en substrat (S)
y représente la concentration du milieut réactionnel en produit (P)
Pour la réaction enzymatique considérée ici, on admettra que la vitesse est bien représentée
par l’expression (équation de Michaelis-Menten) :
v=
Ax
B+x
A et B sont des constantes positives.
On suppopsera verifiées les conditions suivantes : à t = 0, on a x(0) = x0 et y(0) = 0, et
pour tout t ≥ 0, x + y = x0 .
1) Exprimer t en fonction de x.
2) Exprimer t en fonction de y.
3) Pour t ≥ 0 dessiner les graphes t = f (x) et t = g(y).
4) En déduire les graphes de x = f −1 (t) et y = g −1 (t).
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Problème 7
On pratique une expérience de radiologie sur des insectes. On admet que chaque insecte
comporte N éléments sensibles appelées cibles, et que, pour que le rayonnement auquel
est soumis l’insecte soit mortel pour lui, il faut que les N cibles soient toutes atteintes par
le rayonnement.
Au cours de cette expérience, on est amené à considérer l’équation différentielle suivante
dy
e−kt
= Nky
dt
1 − e−kt
liant la variable t, durée de l’irradiation et la variable y, proportion de morts dans la
population d’insectes après une irradiation de durée t. Les paramètres N et k sont des
constantes strictement positives, avec N entier).
1) Résoudre cette équation différentielle, de façon à exprimer y en fonction de t.
Pour rappel :
Z
f 0 (x)
dx = ln(f (x))
f (x)
2) Etudier les variations de cette fonction dans le cas où N=3 et k=0.02 sachant que
pour une irradiation de très longue durée, la proportion de morts attribuable aux effets
de cette irradiation se stabilise autour de la valeur constante 0.8.
3) Toujours pour N = 3 et k = 0.02, quelle durée d’irradiation faut-il appliquer pour que
50% d’insectes survivent ?
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Problème 8
On étudie la croissance du crabe violoniste mâle (Uca pugnax) dont on désigne par y le
poids de la grande pince et par x le poids du reste du corps.
Les poids x et y sont tous deux fonctions du temps, mesuré à partir d’une origine arbitraire
(poids en mg, temps en mois). On observe que le taux de croissance relatifs de chacun de
ces deux caractères, est constant, soit :
1 dx
=a
x dt
1 dy
=b
y dt
1) Exprimer l’évolution de x et l’évolution de y en fonction du temps t. Dans ces expressions, on notera x0 et y0 respectivement les valeurs de x et y au temps t = 0.
2) Sur un même graphique, représenter schématiquement les courbes d’évolution de x et
y en fonction du temps (on supposera x0 > y0 ). A quelle conditions ces deux courbes se
coupent-elles ? Lorsque qu’elles se coupent, à quels moment tc ?
3) Exprimer le rapport z = y/x en fonction de t. Vérifier que, a priori, il existe trois types
possibles d’évolution de z en fonction des valeurs de a et b. Donner une représentation
graphique de l’évolution de z en fonction de t dans chacun des trois cas.
4) Etablir que, quelle que soit la valeur du temps t, les poids x et y sont liés entre eux
par une relation de la forme y = kxp (relation d’allométrie), où k et p sont des constantes
que l’on exprimera en fonction de x0 , y0 , a et b.
5) Application numérique : x0 = 60 mg, y0 = 6 mg, a = 0.05, b = 0.081. Déterminer k,
p, ainsi que le moment auquel le poids de la pince est égal au poids du reste du corps.
Quelle est alors la valeur de ces poids ?
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