MATHEMATIQUES: TRAVAIL ET REVISION DE VACANCES

MATHEMATIQUES: TRAVAIL ET REVISION DE VACANCES
( POUR LES ETUDIANTS DE DEUXIEME ANNEE )
Il peut être très utile pour les étudiants admis en deuxième année de prépaHEC d’effectuer un travail méthodique et régulier pendant les deux mois de
vacances, afin de structurer leurs connaissances et de commencer l’année
scolaire dans des conditions d’efficacité et de rapidité propres à une bonne
assimilation du programme.
Les travaux faire sont les suivants:
• Une révision des chapitres ou parties suivants du cours de première année:
Dénombrement et probabilité, nombres réels, suites, limites et continuité,
dérivées et dérivation, pratique de l’étude des fonctions numériques de la
variable réelle, intégration.
Sur chaque thème, on pourra rédiger une ou deux (au maximum) fiches qui
résument les définitions et les résultats les plus importants, et les mémoriser
pour la rentrée (ces fiches peuvent être beaucoup moins complètes que celles
rédigées pendant l’année). L’intérêt de ce travail est de comprendre et de
mémoriser la structure et l’utilité des résultats des thèmes cités plus haut.
• Effectuer une dizaine d’exercices de chaque chapitre, dans la liste ci-jointe.
Vous devez améliorer votre maîtrise et votre rapidité sur le travail en temps
limité, travail sur lequel vous serez jugé le jour du concours.
• Dans chaque thème, essayer de traiter quelques exercices plus difficiles
extraits d’un recueil d’annales de concours.
POINTS DE REPERE FONDAMENTAUX POUR LE TRAVAIL DE
REVISION
(Une bonne connaissance de chacun des points cités assurera une grande
aisance pour l’abord des parties restantes, plus délicates, du programme)
Ensembles classiques. ` (le raisonnement par récurrence) , ] , _ , \ en
particulier tout ce qui concerne l’ordre - ou les inégalités - dans \ ; les
opérations sur les inégalités doivent être parfaitement assimilées.
Dénombrement et probabilités. Cardinaux, arrangements, permutations,
combinaisons, binômes de Newton. Notions élémentaires sur le calcul des
probabilités: probabilités conditionnelles, variables aléatoires.
Suites de réels. Définitions (suite majorée, minorée, bornée, stationnaire,
croissante, décroissante, périodique). Convergence, divergence, limite +oo
ou -on. Opérations sur les suites convergentes. Limites et ordre: théorèmes
de comparaison, suites monotones. Suites de référence, arithmétiques et
géométriques. Suites définies par récurrence.
Limites et continuité. Diverses notions de limite, continuité. Opérations sur
les limites, sur les fonctions continues. Limite et ordre; théorèmes de
comparaison, fonctions continues et strictement monotones sur un intervalle.
Dérivation. Dérivée et interprétation géométrique du nombre dérivé.
Opérations sur les fonctions dérivables. Dérivées successives. Inégalité des
accroissements finis et applications.
Etude pratique d’une fonction numérique de la variable réelle. Toutes
les propriétés des fonctions de référence ( exp , ln ,puissance x 6 xα ) Plan
d’étude d’une fonction. Réduction du domaine d’étude (parité, périodicité,
axes et centres de symétrie). Prolongement par continuité. Etude des
branches infinies (direction asymptotique, asymptote, branche parabolique).
Calcul Intégral. Primitives. Primitives des fonctions de référence (liens
avec le tableau des dérivées). Définitions et propriétés des intégrales
(linéarité, Chasles, positivité de l’intégrale). Intégration par parties. Sommes
de Riemann. Calculs d’aires. Intégration d’inégalités.
Systèmes d’équations linéaires. Résolution d’un système d’équations
linéaires. Méthode du pivot de Gauss.
Programmation. Il faut avoir une très bonne pratique de votre calculatrice,
en particulier il faut savoir programmer une fonction, une suite définie par
récurrence, la recherche des zéros d’une fonction.
-bonnes vacances
DENONBREMENT
EXERCICE 1 4 garçons et 2 filles veulent s'asseoir sur un banc.Sachant que les 2 filles veulent rester
l'une à côte de l'autre, déterminer le nombre de manières de les disposer sur le banc.
EXERCICE 2 3 garçons et 4 filles veulent s asseoir (gentiment) sur un banc. Déterminer le nombre de
manières de le faire sachant que a) les garçons sont les uns a coté des autres ainsi que les filles, b) les
garçons sont les uns à côte des autres, c) filles et garçons sont alternés.
EXERCICE 3 Déterminer le nombre de mains de 8 cartes que l'on peut former avec un jeu de 32
cartes contenant a) exactement 3 piques; b) exactement 2 piques et 2 trèfles; c) exactement 1 roi et 2
trèfles
EXERCICE 4 Déterminer le nombre de mains de 13 cartes que Ion peut former .avec un jeu de 52
cartes contenant a) les 4 rois; b) exactement un roi; c) au moins un roi;d)le roi de trèfle et au moins 4
piques;e) 5 cartes d'une couleur ,4 d'une autre,3 d'une autre et 1 de la dernière
EXERCICE 5 Dans une colonie de vacances 11 y a 55 enfants et 5 moniteurs Cette colonie dispose d’un
mini-bus de 12 places pour faire des excursions Exactement deux moniteurs sont nécessaires pour chaque
excursion 1) Déterminer le nombre de remplissages possibles du mini-bus.
2) Déterminer le nombre de remplissages possibles du mini-bus sachant : a) un seul moniteur connaît le
chemin de l’excursion; b) les moniteurs X et Y ne peuvent monter ensemble (X ≠ Y !!!)
c)deux moniteurs, Z et T ne peuvent que monter ensemble. •
EXERCICE 6 Le jeu d'échecs se joue sur un échiquier barré de 8 lignes et de 8 colonnes Les tours
peuvent prendre toute pièce située dans leur ligne ou leur colonne , k est un élément de l'ensemble
{1, 2,...,8} . Déterminer le nombre de manières de placer k tour(s) itdentique(s) de sorte ou aucune d’elles
ne soit menacée par les autres.
EXERCICE 7 Sur 20 élèves, 10 étudient l'anglais ,8 le russe,3 étudient les deux langues .Déterminer le
nombre de manières de choisir 5 élèves parmi les 20 sachant que. a)les 5 élèves étudient au moins une
langue; b) trois élèves étudient l'anglais et deux le russe , chacun d'eux n'étudiant qu'une langue ; c) trois
d'entre d’ eux ,au moins , étudient l’ anglais ; d) un élève au moins étudie l'anglais.
EXERCICE 8 Sur un bateau on dispose de 4 pavillons: 2 rouges,1 bleu, l vert. Déterminer le nombre de
signaux que l’on peut former en alignant verticalement ces 4 pavillons. Même chose avec 3 rouges,1 bleu,
I vert.Mème chose encore avec 4 rouges,2 bleus,2 verts.
EXERCICE 9. Un damier est constitué par 16 cases blanches On colorie 4 cases en rouge . Déterminer le
nombre de coloriages contenant a) une case rouge exactement par ligne et par colonne;
b) exactement une ligne sans case rouge; c) au moins une ligne sans case rouge; d) exactement une ligne
et une colonne sans case rouge.
EXERCICE 10 On jette 3 fois de suite un dé dont les 6 faces sont numérotées de 1 à 6. Déterminer le
nombre de résultats: a) possibles; b) contenant exactement 2 chiffres différents; c)où la somme des
résultats est 6; d) contenant 3 chiffres différents; e) où la somme des résultats est paire ( resp impaire)
EXERCICE 11 Une urne contient 13 jetons numérotes de 1 à 13.0n tire successivement 3 jetons dans
l'urne avec remise Déterminer le nombre de tirages : a) possibles; b) où les résultats sont en ordre
strictement croissant ; c) ou les résultats sont en ordre croissant; Même chose avec un tirage sans remise.
EXERCICE 12 Déterminer le nombre de sigles ayant au moins 2 lettres et au plus 3 lettres
.
EXERCICE 13 En morse, une lettre de longueur p est un p-uplet formé à partir des deux symboles " "
-
et" ". Déterminer le nombre de lettres de longueur inférieure ou égale à 10.
EXERCICE 14 Déterminer le nombre d’entiers de 5 chiffres que l’on peut former en juxtaposant les
chiffres 1,2,3,4,5 Même chose avec 1,2,2,3,4 ( resp 2,2,3,4,4 )
EXERCICE 15 Soit E un ensemble de 60 personnes Chacune d'entre elles envoie une lettre et une seule
à l'une des 59 autres. Déterminer le nombres de manières différentes d'adresser ces lettres. Une personne
A étant désignée d’ avance .Trouver le nombre de manières de distribuer ces 60 lettres de telle sorte que
A reçoive exactement 9 lettres. Généraliser (n personnes et p lettres).
EXERCICE 16. Déterminer le nombre de numéros de téléphone de 7 chiffres. Déterminer le nombre de
numéros de téléphone de 7 chiffres formés avec a) 2 uns,2 trois et 4 septs, b)deux chiffres distincts et
deux seulement, c) 3 uns et trois seulement
PROBABILITE
EXERCICE 1 Une loterie contient 1000 billets dont 2 billets gagnants. Trouver la probabilité de gagner
au moins un lot en achetant n billets Trouver la valeur minimum de n pour que cette probabilité soit
supérieure ou égale à 0,75.
EXERCICE 2 Un joueur tire successivement 8 cartes sans remise dans un jeu de 32 cartes.
Trouver la probabilité pour que le joueur obtienne : I ) les 4 as ; 2) les 4 as consécutivement ; 3)
2 piques et un roi exactement. Même chose avec remise.
EXERCICE 3.X élève d'une classe de 40 élèves s'étonne en constatant que 2 élèves de cette classe ont la
même date d'anniversaire ( ne pas confondre avec la date de naissance) Y prétend que c'est le contraire
qui eut été surprenant Qui a raison ? (On supposera pour simplifier que toutes les années ont 365 jours!)
EXERCICE 4 A et B jouent è pile ou face avec une pièce non truquée Chaque joueur lance la pièce n
fois ( n ∈ `∗ ) Les lancers sont indépendants. Calculer la probabilité pour que A et B obtiennent pile le
même nombre de fois.
EXERCICE 5. Une urne contient n2 boules numérotées de 1 à n2 ( n ∈ `∗ ).On tire simultanément p
boules.Q1. Trouver la probabilité d'avoir : a) une boule et une seule dont le numéro soit un carré ; b) au
moins une boule dont le numéro soit un carré.
Q2. p=2 . Trouver la probabilité pour que la différence des numéros des deux boules soit un
n(n + 1)(2n + 1)
).
carré ( 12 + 22 + ... + n 2 =
6
EXERCICE 6 Une urne contient a boules blanches et b boules noires Deux joueurs tirent l'un après
l’autre une boule de l'urne sans remise. Le gagnant est celui qui tire le premier une boule blanche.Trouver
la probabilité de gain de chacun des joueur.
EXERCICE 7. On lance n fois de suite une pièce truquée ( n ∈ `∗ ) La probabilité d'obtenir pile est p
( 0<p< 1 ), celle d'obtenir face est de 1-p. Trouver la probabilité d'obtenir exactement k fois piles
( k = 0,1, 2,..., n ) Déterminer la "moyenne mathématique" (on parlera d'espérance mathématique)du
nombre de piles obtenus lorsque l'on répète cette expérience un "grand nombre" de fois.
EXERCICE 8 Une urne contient n boules numérotées de 1 à n ( n ≥ 3 ) On tire successivement q boules
dans l'urne avec remise de la boule dans l'urne après chaque tirage ( q ≥ 2 )Pour i = 0,1, 2,..., q , on note xi
le numéro de la ième boule tirée Déterminer la probabilité pour que ;a)x,<x2; b) La somme des numéros
tirés soit q+2, c) Deux numéros exactement soient apparus au cours du tirage.
EXERCICE 9 Une urne contient n boules ( n ∈ `∗ ) x blanches et n-x rouges (0<x<n) On fait des tirages
d’une boule avec remise; on s'arrête lorsque on obtient la première boule blanche.Trouver la probabilité
pk pour que l’on s'arrête après le k-ième tirage.Etudier la limite de la suite ( ( p1 + p2 + ... + pn ) n≥1 . Que peuton en déduire ? Calculer l'espérance.
Reprendre cet exercice avec arrêt lorsque l'on obtient la deuxième boule blanche .
EXERCICE 10 Une urne contient n boules jaunes et n boules vertes ( n ∈ ` ∗ )On tire successivement et
sans remise les 2n boules de l'urne. Trouver la probabilité pour que l'on obtienne les n boules jaunes après
le kième tirage. Faire une vérification.Calculer l'espérance.
EXERCICE 11 Une urne contient n boules ( n ∈ ` ∗ ) x blanches et n-x rouges (0<x<n) On fait des tirages
d’une boule sans remise; on s'arrête lorsque on obtient la première boule blanche Trouver la probabilité pk
pour que l’on s'arrête après le k*eme tirege.Faire une vérificatlon.Calculer l'espérance, (on pourra
commencer à supposer que n=50 et x=8;on généralisera ensuite).
EXERCICE 12. On considère n urnes U1 ,U2,... ,Un ( n ∈ ` ∗ ) L'urne U k contient k boules numérotées
1.2,... ,k .On choisit au hasard une urne et on tire dans cette urne une boule. Trouver la probabilité pour
que l'on obtienne une boule numérotée i ( 1 ≤ i ≤ n ) Faire une vérification .Trouver l'espérance.
EXERCICE 13. Un sac contient n jetons ( n ∈ ` ∗ et n ≥ 3 ) numérotés 1,2,. ,n . On tire simultanément 3
jetons dans le sac Trouver la probabilité pour que le plus grand ( resp.petit) numéro tiré soit k .Faire une
vérification.
EXERCICE 14 Pierre possède un sac contenant initialement 2 pièces de un franc et une pièce d or de
100 francs Jean joue avec Pierre en plusieurs étapes successives de la manière suivante : à chaque étape
Jean ajoute 2 pièces de un franc au contenu du sac puis après que Pierre ait mélangé les pièces du sac.Jean
extrait au hasard l'une des pièces du sac et la garde. Le jeu s'arrête dès que Jean tire la pièce d'or. Trouver
la probabilité pour que Jean gagne de l'argent.