1 Vecteurs colinéaires

Chapitre 02: Géométrie plane (2,5 semaines)
 Vecteurs colinéaires
 Vecteurs directeurs d'une droite
 Équation cartésienne de droites
 Décomposition d'un vecteur
GEOMETRIE PLANE
1
Vecteurs colinéaires
➢ Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un vecteur.
u et ⃗
v sont colinéaires ⇔ ⃗
u =k ⃗
v avec k ∈ℝ .
⃗
➢ Exemple :
v =−3 ⃗
u
⃗
u −5 et ⃗
v 15 sont colinéaires car ⃗
3
−9
( )
( )
➢ Remarque :
0 est colinéaire à tout vecteur ⃗
0 =0 ⃗
u
u car ⃗
Le vecteur nul ⃗
➢ Dans un repère du plan, les vecteurs ⃗
u x et ⃗
v x' sont colinéaires :
y
y'
Si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles ;
()
( )
Si et seulement si x y'− x' y =0
u et ⃗
v non nuls.
➢ Démonstration : ⃗
u et ⃗
v sont colinéaires alors on a x y' −x' y=0
◦ Démontrons que si ⃗
⃗
u x
y
( ) et ⃗v ( x'y' ) sont colinéaires, donc il existe k réel tel que ⃗u =k ⃗v ,
donc x=kx' et y=ky' , donc xy'− x' y=kx' y' −x' ky=0
u et ⃗
v sont colinéaires.
◦ Démontrons que si x y' −x' y=0 alors ⃗
u =⃗
0 alors ⃗
u et ⃗
v sont colinéaires.
Si ⃗
u ≠⃗
0 , alors l'une de ses coordonnées n'est pas nulle, par exemple x ,
Si ⃗
on a alors x y' −x' y=0 ⇔ y'=
Posons k =
x'
y.
x
x'
v =k ⃗
u , donc ⃗
u et ⃗
v sont colinéaires.
, on a lors y'=ky et x' =kx , donc ⃗
x
➢ Exemple :
Les vecteurs ⃗
u
5−1 et ⃗
sont colinéaires car :
(√−1
) v (√−4
5+ 1)
( √ 5−1 )( √ 5+ 1 )−( −1 )( −4 ) =( 5−1 )−4=0
CD sont
➢ Deux droites ( AB ) et ( CD ) sont parallèles si et seulement si les vecteurs ⃗
AB et ⃗
colinéaires.
➢ Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs ⃗
AB et ⃗
AC sont colinéaires.
➢ Exemple :
α
Les points A ( 5 ;−2 ) , B ( 8 ;2 ) et ⃗u ( β) (−1;−10 ) sont alignés car ⃗
AB 3 et ⃗
AC −6
4
−8
et 3 ( −8 )−4 (−6 ) =0
()
( )
2
Droites
2.1
Vecteur directeur d'une droite
u est un vecteur directeur d'une droite d s'il existe deux points distincts A et B
➢ Un vecteur ⃗
de d tels que ⃗
AB=⃗
u .
➢ Une droite a une infinité de vecteurs directeurs.
➢ Dans le plan muni d'un repère, le vecteur ⃗
u 1 est un vecteur directeur de la droite d
m
d'équation y=m x+ p
()
u un vecteur non nul et d la droite passant par A de vecteur
➢ Soit A un point du plan, ⃗
u .
directeur ⃗
AM et ⃗
u sont
Un point M appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs ⃗
colinéaires.
2.2
Équation cartésienne d'une droite
➢ Dans un repère du plan, toute droite d admet une équation de la forme a x+ b y+ c =0 avec
( a ;b ) ≠ ( 0; 0 )
➢ Cette équation s'appelle l'équation cartésienne de la droite d .
➢ Démonstration :
u (α
Soit A un point de d et ⃗
β ) un vecteur directeur de d .
M ( x ; y ) ∈d ⇔ x−x A et ⃗
u (α
β ) sont colinéaires.
y− y A
(
)
⇔β ( x− x A )−α ( y− y A )=0
⇔β x−α y−β x A+ α y A=0
Cette équation est de la forme a x+ b y+ c=0 avec a=β , b=−α et c=−β x A+ α y A
u ≠⃗
0 on a ( α ;β ) ≠ ( 0 ;0 ) et donc ( a ;b ) ≠ ( 0; 0 ) .
Comme ⃗
➢ Dans un repère du plan, toute équation de la forme a x+ b y+ c=0 avec ( a ;b ) ≠ ( 0; 0 ) est
l'équation d'une droite.
Cette droite a pour vecteur directeur ⃗
u −b .
a
( )
➢ Démonstration :
a x+ b y+ c=0 ⇔+ b y=−a x−c
Si b ≠ 0 alors ⇔ y=−
a
c
x− , c'est l'équation d'une droite de la forme y=m x+ p .
b
b
Si b=0 alors a ≠ 0 et x=−
➢
c
, c'est l'équation d'une droite parallèle à l'axe des ordonnées.
a
d et d ' sont deux droites d'équations cartésiennes respectives a x+ b y+ c=0 et
a' x+ b' y+ c' =0 avec ( a ;b ) ≠ ( 0; 0 ) et ( a' ;b' ) ≠ ( 0; 0 )
Les droites d et d ' sont parallèles si et seulement si a b'−a' b=0
3
Expression d'un vecteur en fonction de deux vecteurs non colinéaires
u et ⃗
v deux vecteurs non colinéaires du plan.
➢ Soit ⃗
w du plan, il existe un unique couple de réels ( a ;b ) tels que
Pour tout vecteur ⃗
w =a ⃗
u + b⃗
v .
⃗
u ;⃗
v ).
w dans la base ( ⃗
Le couple ( a ;b ) est appelé couple des coordonnées du vecteur ⃗
➢ Exemple :
C
3
1
⃗
MN =⃗
MA+ ⃗
AN =⃗
AN −⃗
AM = ⃗
AC − ⃗
AB
4
3
N
MN a bien été exprimé de façon unique en fonction
Le vecteur ⃗
de ⃗
AB et ⃗
AC .
1
−
3
MN a pour coordonnées
Il en résulte que le vecteur ⃗
3
4
⃗
⃗
dans le repère ( A ; AB ; AC ) .
()
A
M
B