Les huits formules basiques Cos(x), sin(x) et tan(x) en fonction de t

TRIGONOMETRIE
En utilisant un cercle trigonométrique, on peut retrouver les formules suivantes:
cos(– α) = cos(α)
sin(– α) = – sin(α)
cos(π + α ) = – cos(α)
sin(π + α) = – sin(α)
cos(π –α) = – cos(α)
sin(π–α) = sin(α)
$!
'
" # ) = sin(α)
%2
(
cos %
#!
&
+ " ( = – sin(α)
$2
'
$!
'
" # ) = cos(α)
%2
(
sin %
cos &
#!
&
+ " ( = cos(α)
$2
'
sin &
Les huits formules basiques
cos2(α) + sin2(α) = 1
(1)
1
(en divisant par cos2(α))
1 + tan2(α) =
(en divisant par sin2(α))
1 + cotan2(α) =
sin(a + b) = sin(a).cos(b) + sin(b).cos(a) (3)
cos(a + b) = cos(a).cos(b) – sin(a).sin(b) (4)
cos 2 (! )
(2)
1
sin (! )
2
sin(a – b) = sin(a).cos(b) – sin(b).cos(a) (5)
cos(a – b) = cos(a).cos(b) + sin(a).sin(b) (6)
Avec a = b dans (3) et (4) et en utilisant (1)
sin(2a) = 2.sin(a).cos(a) (7)
cos(2a) = cos2(a) – sin2(a) = 2. cos2(a) – 1 = 1 – 2.sin2(a) (8)
cos2(a) =
1 + cos(2a)
sin2(a) =
2
1 ! cos(2a)
2
x
Cos(x), sin(x) et tan(x) en fonction de t = tan !# $&
" 2%
(7) ⇒ sin(x) = 2.sin(x/2).cos(x/2) ⇒ sin( x) = 2.
sin(x / 2)
cos(x / 2)
(8) ⇒ cos(x) = 2.cos2(x/2) – 1 ⇒ (avec (2)) cos(x) = 2.
tan(x) =
sin(x)
cos(x)
2t
1+ t2
1! t2
cos(x) =
1+ t2
2t
tan(x) =
1! t2
.cos 2 (x / 2) ⇒ (avec (2)) sin(x) =
1
1 + tan 2 (x / 2)
!1⇒
donc
Transformations de sommes en produits
Pour obtenir sin(p) + sin(q) :
• On ajoute (3) et (5): sin(a + b) + sin(a – b) = 2.sin(a).cos(b) (*)
p+q
p!q
"p = a + b
• On pose #
donc, par addition et soustraction de ces égalités: a =
et b =
2
2
$q = a ! b
! p + q$
! p ' q$
&% cos #"
&
2
2 %
• (*) s'écrit alors: sin(p) + sin(q) = 2.sin #
"
Méthode analogue pour sin(p) – sin(q), cos(p) + cos(q) et pour cos(p) – cos(q)
Linéarisations
Pour linéariser sin(a)cos(b), on ajoute (3) et (5): sin(a + b) + sin(a – b) = 2.sin(a).cos(b)
Pour linéariser cosn(α) ou sinn(α), on utilise les formules d'Euler et la formule du binôme:
n
n
# ei! + e" i! &
# ei! " e" i! &
n
cos (! ) = %
(' = ... et sin (! ) = %$ 2i (' = ...
$
2
n
Equations usuelles
cos(a) = cos(b) ssi a = b + 2.k.π. ou a = –b + 2.k.π
sin(a) = sin(b) ssi a = b + 2.k.π ou a = π – b + 2.k.π
tan(a) = tan(b) ssi a = b + k.π
cos(u) = 0 ssi u = π/2 + k.π
sin(v) = 0 ssi v = k.π
Transformation usuelle
C.cos(x) + D.sin(x) =
!
C 2 + D2 .#
C
" C +D
2
2
cos(x) +
$
D
C +D
2
2
=
C + D .[ cos(! ) cos(x) + sin(! )sin(x)]
=
C 2 + D 2 .cos(x ! " )
2
2
sin(x) &
%