Un processus qui ressemble au pont brownien.

S ÉMINAIRE DE PROBABILITÉS (S TRASBOURG )
P HILIPPE B IANE
J EAN -F RANÇOIS L E G ALL
M ARC YOR
Un processus qui ressemble au pont brownien
Séminaire de probabilités (Strasbourg), tome 21 (1987), p. 270-275.
<http://www.numdam.org/item?id=SPS_1987__21__270_0>
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UN PROCESSUS
Ph.
QUI
RESSEMBLE AU PONT BROWNIEN
YOR(*)
J.F. LE GALL et M.
BIANE,
1. ENONCE DU RESULTAT PRINCIPAL.
.
Soit
temps
(Bt,t >__
0)
0,
et
local
en
ainsi effectuée
que
Tt
=
1)
; u ~
réel,
en
en
0 et
en
X
a
est nul
le mouvement brownien
sur
nul
0. On note
(Qt,t >__
0)
son
t}.
>
(X = 20142014
Le processus
u.
mouvement brownien
suggère
que
Il est alors naturel de chercher à comparer
ce
1,
et la normalisation
pour variation
processus et le
quadrati-
pont brownien
(p (u) ,u 1 ) .
On
a
le
Théorème 1
:
Désignons pan
te
a
temps local de
p,
(1.a)
niveau
au
0,
borélienne,
F ::
Alors, pour toute
et à
1.
.
on a:
~]j
1)] =
2. QUELQUES ENONCES VOISINS.
1, citons d’autres exemples intéressants de "rebrownien, ou de processus de Bessel, qui nous permet-
Avant de démontrer le théorème
normalisation" du mouvement
tront, par la suite, de compléter le théorème 1.
(2.1) Il est bien
(g1
Bug1 ; u ~ 1)
(2. 2)
est un
ChlIDg [2]]
(m(u) ~
On
a
connu
que, si
pont Brownien qui est,
:
Bs
=
0},
alors
outre,> indépendant de
g1.
étudié le méandre brown ien
a
1 1-g1 |Bg1+u (1-g1 )| ;
u ~
1).
le
(2.3~ Considérons maintenant
d - 2(v+1)
>
2
(ou,
ce
qui
est
:
C
( [ 0, J ];IR+)
1]
équivalent,
~IR+, borélienne,
>
on a
03C 2 1 R ]
de dimension 3,,
de
le
11)
où
J=
fonctionnelle
1)] = E[F(Ru ; u ~
E[F(m u) ; u ~
a
en
>
Théorème 2 ([n) :: Pour toute
On
1
g1 = sup{s
de
C.
processus de Bessel de dimension
d’indice v > 0), et L = sup{t :t
0)
Rt =1}.
alors le
(*)) UNIVERSITE PARIS VI - Laboratoire de Probabilités - 4, place Jussieu 3ème Etage - Couloir 56-66 - 75252 PARIS CEDEX 05
Tour 56
271
Théorème 3
Pour toute
:
C(
fonctionnele F :
i
[ 0,1]
R+, borélienne, on a
~
:
E[F(1 L RuL ; u ~ 1)] = E[F(Ru ; u ~ 1) 203BD R21].
L’identité découle de
Démonstration :
-
(R,u
ona :
dt)
_
alors que :1
P(R1
Corollaire 4
:
Pour toute
f
Soit
f :
que,
=
Bt
:
;
ic.i
1J
=
a
même loi que
boré 1 ienne,
on a :
(voir aussi Pitman-Yor [6]),
1}.
.
un
~IR+,
borélienne,
; u ~ 1)
u ‘ >>] -
3,
de
3,
,
0.
et du théorème de retournement de
(B ,u __ T)(d) (1-RL-u
lequel :
1 2R21]
processus de Bessel de
Démonstration : Elle découle du théorème
selon
t,
=
dx.
=
:
[7]
1R,+ ,
Getoor [3]
d’après
fonctionnelle F C ( [0,1 j ;IR)
où
L
dt
E[F(2014 (7 - BuT)
Williams
-~
v 1 v+1 e -l/2t
1 x 2v+1 e -x2/2
=
dx)
T
ce
à
1 ;
Rt =
d’autre part, pour toute fonction
Cette identité découle de
que :
t), conditionnellement
d’une part, le processus
t), conditionnellement à
-
ce
; u ~ L).
3. DEMONSTRATIDN DES THEOREMES 1 et 2.
(~.Z~
En
(théorème 6.1)), les
[1]]
auteurs donnent un résumé des
formules de la théorie des excursions browniennes. En
suivantes ont
nues
w
(3.a))
où
définies
~0
entre mesures
sur un
o-finies
intervalle
0
sur
[0,~(w)]]
particulier,
des fonctions contil’espace
c
v2ïTu
Ps
désigne
la loi du mouvement brownien issu de
Qu
désigne
la loi du
(3.6))
où
lieu,
~0
Ru désigne
principales
les identités
pont brownien de longueur
0,
et arrêté en
u ;
0
la loi du méandre brownien de
longueur
u ;
T
s
;
272
SL a
la loi du processus de Bessel de dimension
désigne
temps de passage
en
(3.2~ Les théorèmes 1
et 2
découlent
; u s
par
E[F( 1 B
03C41 u03C411
ds
0
En faisant le
1)
h(T )]
1)
; u
’
( 3. ~ )
F :
com-
C ( [ 0,1 ]R) -~ lR+, borélienne,
h(u)
=
]’
du
r~0 203C0u
=
de variables
t
v ~
.
à
équivaut
1)
(1.a)
au
niveau
0,
~- uT
E[F(p(v) ;
et
1)]l
1,
temps
1 )
.
gauche,
il vient
1)].
le fait que le
remarqué
et au
v ~
dans le membre de
1
fois
une
,
h(u) E[F( y) ’
=
; u ~ 1)] = 2 03C0
(3.c)
; u ~
(Xu=E 1 B
~
de (3.a) et (3.b).
étant faite en [ 1 ] , montrons
scaling, à :
changement
Cette identité
dernier
.
a, pour toute fonctionnelle
h : lR+ ~ 1R+ borélienne :
qui équivaut,
son
respectivement
on
~0 ds E[F( 1 B
ce
de
partir
(3.a).
ment le théorème 1 découle de
toute fonction
à
a.
La démonstration du théorème 2 à
D’après3 . a ) ,
3, arrêté
est
temps local de
1
.
J-.-
4. QUELQUES REMARQUES RELATIVES AU THEOREME Z.
.
(4.Z) Notons 03BB le temps local
Nous
venons
et au
au
niveau
0,
de remarquer que le temps local de
temps 1
et au
temps 1, du pont brownien.
B
; u 5 1) au niveau 0
1 03C41
(X -
u03C41
_1
est
.
v"T1
On
donc, d’après la formule
borélienne,
R
a
f :
ou
mieux (3.c)
:
pour toute fonction
-~
]
(4.a)
=
E[ n
f ( ~ ) ].
2T1
Or, 1 (d)
,
où
N
~
désigne
une
variable
gaussienne, réelle, centrée,
réduite.
~7
On déduit alors de
;4.b)>
où
~1
et e
x
désigne
une
(4,a) que :
(d) !~!I (g)
la valeur
variable
,
au
1
temps
exponentielle
de
du mouvement
paramètre
1.
brownien complexe
issu de
0,
273
L’identité
loi
en
peut bien sûr être déduite directement de la connaissance
(4.6)
de la loi
conjointe
avec
g1i
et a
indépendantes. Or,
on
avec
g1
et e
indépendantes,
e
de
eB1 ; ~1)
l1 (d)
(4.2)
on
du résultat (2.?)
qui entraîne :
g1.03BB
’
’
et
sait par ailleurs que :
°
variable
de
exponentielle
paramètre
1.
Inversement, ayant remarqué l’identité en loi (4.b), dont (4.a) découle,
une démonstration plus intuitive du théorème
1, que celle, rigouun peu formelle, donnée en (3.2).
effet, il suffit
alors de montrer que :
u __ 1 )
ce
encore
peut donner
reuse, mais
En
bien
ou
qui équivaut,
((B ,u s
où l’on
posé
a
x
=
Or, conditionner par
(4.3)
1)
1)
=
(d)
1)
=
1/a.
(Tx
( (p (u) ~u ~ 1)1I
~ - a 1 )’
d’une part, et par définition de
scaling
par
- a2) (d)
1
p d’autre part, à :
((B ,u s 1)!B~ = 0 ; Q -
revient à conditionner par
Pour
compléter la description
semi-martingale, précisément : X est la
de
X, donnons
sa
x)
B1 = 0 et * 1 =
x.
représentation comme
brownien, et d’un
d’un mouvement
somme
processus à variation bornée.
En
effet, lorsqu’on
brownien
B
dans la filtration
t
0)
avec
en
ainsi
où l’on
Xt =
a
noté :
’*2014
T1’
>
on
+ rtAT
Lu
=
de la filtration du mouvement
(cf : [5], Récapitulatif, par ex.)
ds
*~ + l
mouvement Brownien
t+
obtient
grossie :
J°
t ~~
déduit, par scaling
(4.d)
et
grossissement initial
i
~~ ~ ~
(4.c)
On
fait le
la variable
avec
de rapport
t0
11R
indépendent
T
de
-s
r..
:
T1 ’
ds gn(Xs){1L-s+|Xs -L1-s+|Xs 1-s
03B2t03C41 ; t ~ 1)
uT
1)
1
un nouveau
le
temps local
mouvement
en
brownien.
0
}
de
(Xu,u
~ 1)
’
274
à l’aide de l’identité
Remarquons encore,
t
que, lorsque l’on fait le
T ~ inf{t :
variable
t
=
ds
03B2t -
(cf : Jeulin [4], p. 53,
0), où
t ~
t
S.t
=
sup B ,
la
avec
=
t^T0
Bt
t
Lévy :
grossissement initial de la filtration de B
1}, on obtient, d’après la formule (4.c) :
Bt
(4.e)
loi dûe à P.
(d)
;t>__0)
t
en
{1 -Bs
- 1-Ps T-s}
[5], Récapitulatif,
et
p. 306).
.
5. APPLICATION AUX TEMPS LOCAUX DU PONT BROWNIEN.
(Qt ;
Remarquons que si
mouvement Brownien
-L
(Xu ~
0
D’autre part,
de
2
du
f(Xu)
Ida f(a)La.
=
0)
c’est-à-dire :
borélienne,
le théorème de
a ~
Théorème 5 : Soit (03BBa
est
Ray-Kniaht
sur
les temps locaux
browniens,
carré de processus de Bessel de dimension
un
’
; a 2
.ea
0)
du pont brownien. Alors
0, issu
E[F(03B a ; a ~
0)
où
T
=
2 )l ([1])
désigne
de
famille des densités d’
valeur
:
1) pour toute fonctionnelle
Alors:
est la famille des densités
a = 0. On a le ::
en
~ et
2,
~
1),
; u ~
f : R ~ IR ,
d’après
QTaï~ ;
B
u03C41
pour toute fonction
+
E 1R)
a
;
temps locaux du
du processus
d’occupation
(Ca = Qaï~
la famille des
désigne
11
(L a =
alors
B,
0)
a E
0)] =
F
~ IR+, borélienne,
:C(IR+,IR+)
E[F(1 03C4 Ca03C4 ; a ~
le carré d’un processus de
0)
V’_-]]
de
de
0,
Jfo dadcL C .
C.
.
l
Notons kt = sup{y
(1 2 03BBkt ; t ~
:
1 )1
e-6t
un.
Aa
da.
>
t}
méandre brownien.
1) La première assertion découle de l’identité (1.a)
de Ray-Knight sur les temps locaux browniens,
théorème
le
d’après
Démonstration :
et de ce que,
(Qa ;3
a 2
0)
et
275
(l-a03C41
indépendants.
; a ~
0)
sont deux carrés de processus de Bessel de dimension
2) Posons
ht~
=
sup{y :
~1 -
da
>
0, issus de
1,
t}.
Un calcul élémentaire montre que :
ht.03C4 = t03C4 , où t
db
= sup{z : ~z
z
On
a
alors :
D’après
k
inf{z :
=
les résultats
2 Ck
les
sur
=
T-u
z0 db Cb
processus de Bessel d’indice
Soit
R
le retourné
a
de temps de processus de
Bessel,
on a :
Ru
R
On
> t}.
u}.
changements
avec
et on a :
>
C
To de R ;
en
R
(-1A),
est
un
inf{t :
et
R,~
=
0}
=
T.
processus de Bessel de dimension
3,
-
2
o
Tu
maintenant,
à l’aide de
ces
remarques :
E[F(~ ~ k t ; t ~ 1)] - E F( ~ R0tT ^ ; t 1)2Ton
’
(d’après
le théorème 3)
(d’après
le théorème 2)
=
l
E[F(R~
;
u
=
u s
E[F(m(u) ;
1) ~ R -L~]
2J
R1
2
u s
1
1)]]
REFERENCES :
[1]
Ph. BIANE, M. YOR
Bull. Sciences
:
Valeurs
principales
Mathématiques,
associées
aux
1987.
temps
locaux browniens.
[2]
K.L. CHUNG
[3]
R.K. GETOOR
[4]
grossissement d’une filtration.
Th.
in Maths.
JEULIN : Semi-martingales
Springer (1980).et
Excursions in Brownian motion. Ark. für Math. 14, 155-177 (1976).
:
:
The Brownian escape process. Annals of
Proba, 7,
864-867 (1979).
Lect. Notes
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[5]
Th. JEULIN, M. YOR (eds) : Grossissement
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[6]
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J.W. PITMAN, M. YOR : Bessel processes and infinitely divisible laws.
In : "Stochastic Integrals", ed. D. Williams, Lect. Notes in Maths. 851.
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[7]
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D. WILLIAMS : Path
decomposition
and
continuity
of local times for one28, 738-768 (1974).
dimensional diffusions. Proc. London Math. Soc.(3)