Chapitre 2 Applications de la transformation de Laplace

Chapitre 2
Applications de la transformation de
Laplace
On va voir deux applications importantes de la transformation de Laplace : la première est une méthode
de résolution de certaines équations différentielles, la seconde est l’utilisation de la fonction de transfert
d’un système physique linéaire.
1
1.1
Résolution d’équations
Équations différentielles avec conditions initiales
On considère une équation différentielle de la forme
(E) : an y (n) + an−1 y (n−1) + · · · + a1 y 0 + a0 y = g(t).
Dire qu’une fonction f vérifie cette équation signifie donc que l’on a
an f (n) (t) + an−1 f (n−1) (t) + · · · + a1 f 0 (t) + a0 f (t) = g(t)
puis
an f (n) (t) + an−1 f (n−1) (t) + · · · + a1 f 0 (t) + a0 f (t) U(t) = g(t)U(t)
d’où, en appliquant la transformée de Laplace (et dans la mesure où celle-ci est linéaire)
an L f (n) (t)U(t) + an−1 L f (n−1) (t)U(t) + · · · + a1 L f 0 (t)U(t) + a0 L (f (t)U(t) = L g(t)U(t) .
Or on a vu que si on note F (p) = L f (t)U(t) alors, pour tout entier k, on a
L f (k) (t) = pk F (p) − pk−1 f (0+ ) − pk−2 f 0 (0+ ) − · · · − f (k−1) (0+ ).
En utilisant les conditions initiales, on obtient que
L f (k) (t) = pk F (p) + « un polynôme en p de degré k − 1 ».
20
Chapitre 2 - Applications de la transformation de Laplace
D’où finalement
un polynôme en p de degré n × F (p) + un polynôme en p de degré n − 1 = L g(t)U(t)
et on trouve donc l’expression de F (p) puis on obtient f (t)U(t) en prenant l’original de la fonction F
obtenue ci-dessus.
On peut alors conclure grace au théorème d’unicité de la solution que la fonction f obtenue est bien la
solution cherchée.
1.1 Exemples
I On considère l’équation différentielle (avec condition initiale) suivante
0
y = y + tet
y(0) = −1
Soit f la solution de l’équation ci-dessus, on note F (p) = L (f (t)U(t)) alors, d’après la formule
donnant la transformée de Laplace d’une dérivée, on a
L f 0 (t)U(t) = pF (p) − f (0+ ) = pF (p) + 1.
D’autre part, la relation f 0 (t) = f (t) + tet et la linéarité de la transformation de Laplace donnent
L f 0 (t)U(t) = L f (t) + tet U(t) = L (f (t)U(t)) + L tet U(t) = F (p) + L tet U(t) .
1
Or L tU(t) = p12 donc L tet U(t) = (p−1)
2 . Il s’ensuit
L f 0 (t)U(t) = F (p) +
On obtient donc
pF (p) + 1 = F (p) +
i.e.
(p − 1)F (p) =
1
.
(p − 1)2
1
(p − 1)2
1
−1
(p − 1)2
puis
F (p) =
1
1
−
.
3
(p − 1)
p−1
1
Il nous reste à déterminer l’original. Tout d’abord, on sait que p−1
= L et U(t) . De plus, on a
2
1
2 U(t) donc 1 = L t2 U(t) puis
−t t2 U(t) . On a donc finalement
=
L
t
=
L
e
3
3
3
2
2
p
p
(p−1)
t2
f (t)U(t) = et − et U(t)
2
t2
− et .
2
I On considère l’équation différentielle (avec conditions initiales) suivante
 00
0
 y + 2y + y = t + 3
y(0) = 0
 0
y (0) = 3
i.e. la solution du problème est la fonction f donnée par f (t) = et
Soit f la solution de l’équation ci-dessus, on note F (p) = L (f (t)U(t)) alors, d’après la formule
21
1 - Résolution d’équations
donnant la transformée de Laplace d’une dérivée, on a
L f 0 (t)U(t) = pF (p) − f (0+ ) = pF (p).
et
L f 00 (t)U(t) = p2 F (p) − pf (0+ ) − f 0 (0+ ) = p2 F (p) − 3.
D’autre part, la relation f 00 (t) + 2f 0 (t) + f (t) = t + 3 et la linéarité de la transformation de Laplace
donnent
L f 00 (t)U(t) + 2L f 0 (t)U(t) + L (f (t)U(t)) = L (tU(t)) + 3L (U(t)) .
Or L (tU(t)) =
1
p2
et L (U(t)) =
1
p
donc
p2 F (p) − 3 + 2pF (p) + F (p) =
i.e.
(p + 1)2 F (p) =
1
3
+
2
p
p
3
1
+ +3
p2 p
puis
F (p) =
p2 (p
1
3
3
3p2 + 3p + 1
+
+
= 2
.
2
2
2
+ 1)
p(p + 1)
(p + 1)
p (p + 1)2
Une décomposition éléments simples donne
F (p) =
3p2 + 3p + 1
1
1
1
1
=
−
+ 2+ .
2
2
2
p (p + 1)
(p + 1)
p+1 p
p
Il nous reste à déterminer l’original. On sait que
L (tU(t)) et
1
p
1
p+1
= L e−t U(t) ,
1
(p+1)2
= L te−t U(t) ,
1
p2
=
= L (U(t)). On a donc finalement
f (t)U(t) = te−t − e−t + t + 1 U(t)
i.e. la solution du problème est la fonction f donnée par f (t) = (t − 1)e−t + t + 1.
1.2
Équations différentielles avec d’autres conditions
On peut également chercher des solutions d’équations différentielles sans connaı̂tre les conditions initiales ; on trouve en fait ces conditions initiales à partir d’autre conditions comme des conditions au
bord par exemple.
1.2 Exemple
L’équation différentielle suivante admet-elle une solution ?
 00
0
 ty + 2y + ty = 0
y(0) = 1

y(π) = 0
Supposons que l’équation ci-dessus admette une solution f sur R et on note F (p) = L (f (t)U(t)). On a
L f 0 (t)U(t) = pF (p) − f (0+ ) = pF (p) − 1.
22
Chapitre 2 - Applications de la transformation de Laplace
et
L f 00 (t)U(t) = p2 F (p) − pf (0+ ) − f 0 (0+ ) = p2 F (p) − p − f 0 (0+ ).
D’autre part, la relation tf 00 (t) + 2f 0 (t) + tf (t) = 0 et la linéarité de la transformation de Laplace
donnent
L tf 00 (t)U(t) + 2L f 0 (t)U(t) + L (tf (t)U(t)) = 0.
D’après la formule donnant la dérivée d’une transformée de Laplace, on a
L (tf (t)U(t)) = −F 0 (p)
et
d 2
L tf 00 (t)U(t) = −
p F (p) − p − f 0 (0+ ) = −p2 F 0 (p) − 2pF (p) + 1.
dp
On obtient donc
−p2 F 0 (p) − 2pF (p) + 1 + 2(pF (p) − 1) − F 0 (p) = 0
i.e.
−(p2 + 1)F 0 (p) = 1
1
= −L (sin(t)U(t)). On en déduit que sin(t) = tf (t).
+1
On vérifie alors aisément que la fonction f définie sur R par
(
sin(t)
si t 6= 0
t
f (t) =
1
si t = 0
d’où F 0 (p) = −
p2
est solution du problème.
1.3
Systèmes différentiels avec conditions initiales
Un système différentiel est la donnée de plusieurs équations différentielles faisant intervenir plusieurs
fonctions inconnues. Par exemple :
(
x0 (t) = x(t) − 2y(t)
y 0 (t) = x(t) + y(t)
On procède comme pour la résolution d’une équation différentielle sauf que l’on considère ici simmultanément la transformée de Laplace X de x et celle Y de y.
1.3 Exemples
I On considère le système différentiel, avec conditions initiales, suivant :
(
(
x0 (t) = x(t) − 2y(t)
x(0) = 1
avec
0
y (t) = x(t) + y(t)
y(0) = 0
On considère deux fonctions x et y et on note X(p) = L x(t)U(t) et Y (p) = L x(t)U(t) . La
formule donnant la transformée de Laplace d’une dérivée permet d’écrire
(
L (x0 (t)U(t)) = pX(p) − x(0+ ) = pX(p) − 1
L (y 0 (t)U(t)) = pY (p) − y(0+ ) = pY (p)
D’autre part, les relations x0 (t) = x(t) − 2y(t) et y 0 (t) = x(t) + y(t) et la linéarité de la transformation
de Laplace donnent
(
L (x0 (t)U(t)) = L (x(t)U(t)) − 2L (y(t)) = X(p) − 2Y (p)
L (y 0 (t)U(t)) = L (x(t)U(t)) + L (y(t)) = X(p) + Y (p)
23
1 - Résolution d’équations
On a donc
(
pX(p) − 1 = X(p) − 2Y (p)
pY (p) = X(p) + Y (p)
(
(p − 1)X(p) + 2Y (p) = 1
X(p) + (1 − p)Y (p) = 0
i.e.
On en déduit que
(
2 + (p − 1)2 X(p) = p − 1
1
X(p)
Y (p) = p−1
i.e.
p−1
(p−1)2 +2
1
(p−1)2 +2
(
X(p) =
Y (p) =
On en déduit que
(
√ x(t) = et cos 2t
√ y(t) = √12 et sin 2t
I On considère le système différentiel, avec conditions initiales, suivant :
(
(
x0 (t) − y 0 (t) + x(t) − y(t) = 2 + 3e2t
x(0) = 4
avec
0
0
2t
y(0) = 1
x (t) + 2y (t) − 3x(t) = −3 + 2e
On considère deux fonctions x et y et on note X(p) = L x(t)U(t) et Y (p) = L x(t)U(t) . La
formule donnant la transformée de Laplace d’une dérivée permet d’écrire
(
L (x0 (t)U(t)) = pX(p) − x(0+ ) = pX(p) − 4
L (y 0 (t)U(t)) = pY (p) − y(0+ ) = pY (p) − 1
D’autre part, les deux équations donnent
(
3
pX(p) − 4 − pY (p) − 1 + X(p) − Y (p) = p2 + p−2
2
pX(p) − 4 + 2 pY (p) − 1 − 3X(p) = − p3 + p−2
i.e.
(
(p + 1)X(p) − (p + 1)Y (p) = 3 +
(p − 3)X(p) + 2pY (p) = 6 −
3
p
+
3
2
p + p−2
2
p−2
On résout ce système linéaire et on obtient
X(p) =
4p2 − 7p + 2
p(p − 1)(p − 2)
puis on décompose en éléments simples :
(
X(p) =
Y (p) =
1
p
et
Y (p) =
1
1
p−1 + p−2
1
1
− p1 + p−1
+ p−2
+
On en déduit que
(
x(t) = t + tet + te2t)
y(t) = −t + tet + te2t
p2 − 2
p(p − 1)(p − 2)
24
Chapitre 2 - Applications de la transformation de Laplace
1.4
Équations intégrales
On peut également résoudre des équations de convolution du type ϕ?y = ψ où y est la fonction inconnue.
1.4 Exemple
On cherche f , nulle pour t < 0, telle que
Z
t
f (t) +
e−x f (t − x)dx = cos(t).
0
On note F (p) = L (f (t)U(t)), on a donc
F (p) + L e−t ? f = L (cos(t)U(t))
i.e.
F (p) + L e−t U(t) × F (p) = L (cos(t)U(t))
d’où
F (p) +
p
1
F (p) = 2
p+1
p +1
On en déduit que
F (p) =
donc pour t > 0, on a
2
p(p + 1)
2 1
3 p
1 1
=
+
−
2
2
(p + 2)(p + 1)
5 p + 2 5 p + 1 5 p2 + 1
2
3
1
f (t) = e−2t + cos(t) − sin(t).
5
5
5
Fonction de transfert d’un système linéaire
2.1
Principe et définition
On considère un système physique linéaire i.e. dont la sortie s(t) et l’entrée e(t) sont liées par une
équation différentielle linéaire à coefficients constants du type
an s(n) + an−1 s(n−1) + · · · + a1 s0 + a0 s = bm e(m) + bm−1 e(m−1) + · · · + b1 e0 + b0 e
avec m 6 n.
On note S(p) = L (s(t)) et E(p) = L (e(t)). En appliquant la transformation de Laplace à l’équation
ci-dessus, on obtient une expression du type
un polynôme de degré 6 n − 1
an pn + an−1 pn−1 + · · · + a1 p + a0 S(p) + déterminé
par les conditions initiales
un polynôme de degré 6 m − 1
bm pm + bm−1 pm−1 + · · · + b1 p + b0 E(p) + déterminé
par les conditions initiales
On en déduit que l’on peut écrire
S(p) =
bm p m + · · · + b 1 p + b 0
N0 (p)
E(p) +
n
n
an p + · · · + a1 p + a0
an p + · · · + a1 p + a0
où N0 est un polynôme de degré 6 n − 1.
25
2 - Fonction de transfert d’un système linéaire
2.1 Définition
La fonction H définie par
H(p) =
b m pm + · · · + b 1 p + b 0
an pn + · · · + a1 p + a0
est appelée fonction de transfert du système.
La fonction de transfert vérifie la relation S(p) = H(p)E(p)+F (p) où F (p) est une fraction rationnelle
ne dépendant que des conditions initiales du système.
En particulier, si les conditions initiales sont toutes nulles (i.e. le système part du repos) alors F (p) = 0
et on a donc
S(p) = H(p)E(p).
2.2 Remarques
I Si on associe en série deux systèmes linéaires de fonction de transfert respective H1 et H2 alors le
système équivalent admet H1 H2 pour fonction de transfert.
I Si on associe en parallèle deux systèmes linéaires de fonction de transfert respective H1 et H2 alors
le système équivalent admet H1 + H2 pour fonction de transfert.
I Le nombre H(0) =
b0
a0
est appelé le gain statique du système.
2.3 Exemples
I On considère un système du premier ordre i.e. défini par une équation différentielle
a1 s0 (t) + a0 s(t) = b0 e(t)
alors
H(p) =
où K =
b0
a0
est le gain statique et T =
a1
a0
b0
K
=
a0 + a1 p
1 + Tp
est la constante de temps du système.
I On considère un système du second ordre i.e. défini par une équation différentielle
a2 s00 (t) + a1 s0 (t) + a0 s(t) = b0 e(t)
où les coefficients sont tous strictement positifs, alors
H(p) =
où
b0
K
=
2
ξ
a0 + a1 p + a2 p
1 + 2ωp +
a0
, ω=
K=
b0
r
1 2
p
ω2
a0
a1
et ξ = √
a2
2 a2 a0
sont respectivement le gain, la pulsation propre et le coefficient d’amortissement.
2.2
Analyse temporelle d’un système du premier ordre
On cherche à déterminer la réponse s en fonction de l’entrée e pour un système du premier ordre dont
la fonction de transfert est notée
K
H(p) =
.
1 + Tp
26
Chapitre 2 - Applications de la transformation de Laplace
2.4 Exemple
Si l’entrée est un échelon e(t) = aU(t) alors on a E(p) =
S(p) = H(p)E(p) =
d’où
a
p
d’où
Ka
Ka −KaT
Ka
−Ka
=
+
=
+
(1 + T p)p
p
1 + Tp
p
p + T1
1
t
s(t) = KaU(t) − Kae− T t U(t) = Ka 1 − e− T U(t).
Notons que lim s(t) = Ka et que la tangente au graphe de s à l’origine est non nulle puisque s0 (0) =
t→+∞
Ka
T .
2.5 Exemple
Si l’entrée est une rampe e(t) = atU(t) alors on a E(p) =
S(p) = H(p)E(p) =
d’où
a
p2
d’où
Ka KaT
KaT 2
Ka
−Ka
Ka
=
−
+
=
+
(1 + T p)p2
p2
p
1 + Tp
p
p + T1
1
t
s(t) = KatU(t) − KaT U(t) + KaT e− T t U(t) = Ka t − T + T e− T U(t).
Notons que la tangente au graphe de s à l’origine est nulle. Par ailleurs, le terme exponentiel tend
rapidement vers 0 et on a s(t) ' Ka(t − T ) ; on dit qu’il s’agit de la réponse en régime permanent.
De façon générale, supposons que l’équation du système conduit soit
as0 (t) + bs(t) = e(t) avec a > 0, b > 0
alors on en déduit que
S(p) = H(p)E(p) +
b
s(0)
p + ab
avec H(p) =
1
ap + b
b
d’où s(t) = s1 (t) + s(0)e− a t . Le terme e− a t tend rapidement vers 0 donc le terme s1 (t) détermine la
réponse du système en régime permanent.
2.3
Analyse temporelle d’un système du second ordre
On a vu que la fonction de transfert est de la forme
H(p) =
K
1 + 2 ωξ p +
1 2
p
ω2
=
Kω 2
.
ω 2 + 2ξωp + p2
Le discriminant du dénominateur est 4ξ 2 ω 2 − 4ω 2 = 4ω 2 (ξ 2 − 1). On distingue alors plusieurs cas :
K
(i) si ξ > 1 alors on peut écrire H(p) =
;
(1 + T1 p)(1 + T2 p)
K
(ii) si ξ = 1 alors on peut écrire H(p) =
;
(1 + T p)2
p
(iii) si ξ < 1 alors le H admet deux pôles conjugués −ξω ± jω 1 − ξ 2 et on conserve alors l’écriture
K
de H sous la forme H(p) =
.
ξ
1 + 2 ω p + ω12 p2
27
2 - Fonction de transfert d’un système linéaire
2.6 Exemple
On suppose que ξ > 1 et que l’entrée est un échelon e(t) = aU(t) alors on a E(p) =
S(p) = H(p)E(p) =
a
p
d’où
Ka
α
β
γ
= +
+
(1 + T1 p)(1 + T2 p)p
p
1 + T1 p 1 + T2 p
d’où (après avoir calculé les coefficients)
s(t) = Ka 1 +
T1
T2
− t
− t
e T1 +
e T2 U(t).
T2 − T1
T1 − T2
Notons que la réponse tend vers Ka en régime permanent.
2.7 Exemple
On suppose que ξ = 1 et que l’entrée est un échelon e(t) = aU(t) alors on a E(p) =
S(p) = H(p)E(p) =
a
p
d’où
Ka
α
β
γ
= +
+
2
(1 + T p) p
p
1 + T p (1 + T p)2
d’où (après avoir calculé les coefficients)
t
t
s(t) = Ka 1 −
+ 1 e− T U(t).
T
2.8 Exemple
On suppose que ξ < 1 et que l’entrée est un échelon e(t) = aU(t) alors, on réalise le même type de
calculs que plus haut et on obtient
p
Ka
p + ξω
ω 1 − ξ2
ξ
S(p) =
−
p
p
2 − p
p
1 − ξ 2 (p + ξω)2 + ω 1 − ξ 2 2
(p + ξω)2 + ω 1 − ξ 2
d’où
p
p
ξ
s(t) = Ka 1 − e−ξωt cos ω 1 − ξ 2 t + p
sin ω 1 − ξ 2 t
U(t)
1 − ξ2
i.e.
où ωp = ω
e−ξωt
s(t) = Ka 1 − p
sin ωp t + ϕ U(t)
1 − ξ2
p
2
1 − ξ 2 et ϕ = arctan 1−ξ
ξ .
La réponse tend vers Ka et présente l’aspect d’une sinusoı̈de amortie.
2.9 Exemple
On suppose maintenant que l’entrée est sinusoı̈dale i.e. e(t) = cos Ωt donc E(p) =
p
.
p2 +Ω2
(i) Si ξ 6= 0 alors le dénominateur de H admet deux racines distinctes (réelles ou complexes) donc
S(p) est de la forme
A1
A2
Bp + C
S(p) =
+
+ 2
p − p1 p − p2 p + Ω 2
28
Chapitre 2 - Applications de la transformation de Laplace
et on a donc
s(p) = A1 ep1 t + A2 ep2 t + B cos(Ωt) + C sin(Ωt).
Comme les coefficients de l’équation différentielle sont positifs, on peut montrer que p1 et p2 sont
de partie réelle négative donc que la réponse en régime permanent est sinusoı̈dale.
(ii) Si ξ = 0 alors, cette fois-ci, on obtient
s(p) = (A1 t + A2 )ept + B cos(Ωt) + C sin(Ωt)
avec p < 0
et la réponse en régime permanent est encore sinusoı̈dale.
De façon générale, la réponse en régime permanent est
(
γ = |H(jΩ)|
s(t) ' γ cos(Ωt + Φ) où
Φ = arg H(jΩ)
On dit que γ est le rapport d’amplitude et Φ est l’avance de phase de la réponse permanente.
Notons pour finir que ce dernier exemple se généralise au cas d’un système d’ordre quelconque i.e. régi
par une équation différentielle de degré n > 2. En revanche, il est nécessaire que les pôles de la fonction
de transfert soient tous de partie réelle négative.