le sac a dos - MATh.en.JEANS

La recherche à l'école …
le sac à dos
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principe du sac à dos
Un sac à dos doit nous permettre de connaître
Par Marine Goutefangea et Gwénolé Popp du quels sont les objets qui se trouvent dans le
lycée Jean Jaurès d'Argenteuil [jumelage sac connaissant initialement le poids des
entre les lycées Jean Jaurès d'Argenteuil et objets.
Paul Eluard de Saint Denis]
exemple d'un sac à dos : un sac à dos généré
enseignants : Joseph Cesaro, Alain Huet, par une suite quelconque.
René Veillet
On se donne la suite définie par :
chercheur : Daniel Barsky, Directeur de
Recher che au CNRS, Univer sité de U 1 = 1 et, quel que soit n ≥ 1 :
Villetaneuse
U n+1 = 7.U n + 3.
Les premiers termes de la suite étant :
U 1 = 1 ; U2 = 10 ; U3 = 73 ; U 4 = 3601 ;
U 5 = 25201 ; U6 = 1235314 …
On cherche a tel que la suite définie par
V n = Un + a vérifie Vn+1 = 7.Vn
V n+1 = 7.V n ⇔ Vn+1 = 7.Un + 7 a
⇔ Un+1 + a = 7.Un + 7 a
⇔ 7.Un + 3 + a = 7.Un + 7 a
⇔ 6 a = .3
⇔ a = 1/2.
Donc la suite V est géométrique de raison 7
et de premier terme V1 = 3/2. La suite V
étant géométrique, on a alors :
La suiteV étant une suite géométrique on a alors :
Vn = 3 / 2.( 7)n –1
i= n
∑V =V
i
i =1
1
1− qn
1− q
D'où
i= n
∑ Vi =
i =1
3 1 − 7 n 3 7 n 7n
≤ . ≤
2 1−7
2 6
4
Mon trons que la somm e des n prem iers
termes de la suite U est inférieure au (n+1) ème
terme. De la relation Vn = Un + 1/2, on tire :
i= n
i= n
1 i=n
n 7n n
U
=
(V
−
)
=
V
−
∑ i ∑ i 2 ∑ i 2 ≤ 4 −2
i =1
i =1
i =1
Congrès “MATh.en.JEANS” à l'Ecole Polytechnique les 23, 24, 25, 26 avril 1993
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Estimons la différence entre les n premiers
termes de la suite U et le (n+1)ème :
i=n
∑ Ui − Un +1 ≤
i =1
Or
n
7
n 3
1
− − .7n +
4 2 2
2
7n n 3 n 1
7n
1– n
− − .7 +
= (1 – 3x2 ) +
4 2 2
2
4
2
n
7 1– n
= – 5 +
4
2
i= k
∑ ( n − 1)n i
i= 0
i=k
= (n − 1)∑ n i = (n − 1)
i =1
=n
k +1
1 − n k+1
1− n
−1
et le poids maximal que l'on peut obtenir est
nk+1 - 1.
Obtention de tous les poids :
Montrons par récurrence que tous les poids
nombre qui est, pour tout n, négatif et le compris entre 0 et nk+1 - 1sont réalisables.
résultat est démontré.
— 0 : pas de problème.
La suite définie ci-dessus est un sac à dos où — soit P un poids obtenu, deux cas se présenles objets peuvent se trouver au moins une tent :
fois.
— on peut lui rajouter 1 et c'est fini
un sac à dos parfait : la boite de poids.
— on ne peut pas [NDLC : et ce n'est pas
fini.] (tous les 1 sont utilisés) dans ce cas
Considérons une boite dans laquelle se trouon les enlève TOUS et deux cas se présenvent :
tent :
(n-1) poids de 1
(n-1) poids de n
— on peut ajouter un poids de n et c'est
2
(n-1) poids de n
fini (on a retiré un poids de (n – 1) et
3
(n-1) poids de n
ajouté un poids de n donc on a ajouté
…
1).
k
(n-1) poids de n
— on ne peut pas (tous sont utilisés),
on les enlève TOUS et deux cas se préSomme de tous les poids.
sentent : [NDLC : quand c'est fini-nini-ni-ni, ça recommence.]
* Avec (n-1) poids de 1 on obtient tous les
poids compris entre 0 et (n-1).
— on peut ajouter un poids de n2 et
c'est fini (on a retiré un poids de
* Avec (n-1) poids de n on obtient tous les
(n – 1) + n(n – 1) et rajouté un poids
poids de la forme a.n avec a entier et 0 ≤ a ≤
de n2 donc on a ajouté 1).
(n-1).
— on ne peut pas (tous sont utilisés),
on les enlève TOUS et deux cas se
⇒ la somme de tous les poids de 1 et de n est
présentent :
2
donc : (n-1) + n(n-1) = n - 1.
—…
—…
On généralise :
En conclusion, soit on est arrivé à ajouter 1
k
* Avec (n-1) poids de n on obtient tous les avant les poids de nk, soit tous les poids de nk
poids de la forme a.nk avec
sont utilisés et nous sommes au poids maximum.
a entier et 0 ≤ a ≤ (n-1)
[NDLC : moi, dans mon sac à dos, je mets
⇒ la somme de tous les poids de 1 à nk est des chips, pas des chiffres, et j'essaie d'enledonc …
ver des poids plutôt que d'en ajouter …]
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Unicité et codage.
Soit P un poids, il peut donc s'écrire sous la
forme :
P = ak.nk + ak-1.nk-1+…+ai.ni+…+a1.n+a0
avec 0 ≤ ai ≤ (n-1).
Par division euclidienne de P par n :
* il existe un unique a0 tel que : P = a.n +a0,
d'où l'unicité de a0.
Par division euclidienne de (P – a0)/n par n :
* il existe un unique a0 tel que :
(P – a0)/n = a2.n +a1
d'où l'unicité de a1.
Et en réitérant ce procédé, on montre l'unicité
des ai, donc l'unicité de la décomposition.
Ce qui correspond à l'écriture d'un nombre en
base n et donc chaque sac peut être codé dans
cette base et ce même codage donne directement le contenu exact du sac.
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