Luca PACIOLI - IREM de Rennes
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Luca PACIOLI - IREM de Rennes
LUCA PACIOLI La divine proportion LUCA PACIOLI, moine franciscain et théologien est originaire de Borgo San Sepolcro. (env. 1450-1514) comme Piero della Francesca, l’auteur de l’ouvrage « De la perspective en peinture » (traduit et annoté par Jean-Pierre LE GOFF, Éditions IMR). Sa principale œuvre est la "Summa di arithmetica, geometrica, proportione et proportionalita" publiée en 1494. En 1509 la "De Divina Proportione" est imprimée à Venise. Le manuscrit avait été offert à Ludovic le More, Duc de Milan. L'ouvrage, illustré par Léonard de Vinci, est principalement consacrée à l'étude des propriétés de la proportion. Elle est suivie d'un bref traité d'architecture, du tracé d'un alphabet antique, et du "Libellus", suite d'exercices mathématiques portant notamment sur les polyèdres réguliers. Ci-après sont traités deux exercices extraits de la « Divine Proportion » menant à la résolution d’équations du second degré. Du cadre équilatère (carré) dont le diamètre (diagonale) est .6. de plus que son côté, tu dois trouver le côté. Met que son côté soit .1.◊., .1.◊. multiplié par .1.◊. cela fait .1.. lequel doublé fait .2.. et alors tu diras que la diagonale est − − − .1.◊. p .6. et .1.◊. p .6. multiplié par .1.◊. p .6. fait .1.. et .12.◊. et le nombre .36. qui sont égaux à .1.. Restaure les parties, enlève de chaque partie .1.., tu auras .1.. égal à .12. ◊ . et au nombre .36. Les .◊. divisés par deux feront .6. qui multiplié par lui-même fait .36., joint avec le nombre cela fait .72. et la . R .72. − p .6. qui est la moitié des .◊. vaut la .◊. que − nous mettrons être un côté, soit .6. p . R.72. et − la diagonale est .12. p .R .72. Il s’agit de déterminer le côté du carré dont la diagonale a une longueur égale au côté plus 6 unités désigne le côté du carré et désigne le carré de ce côté. Pacioli ne le précise pas, il utilise le fait que l’aire du carré ayant pour côté la diagonale est double de l’aire du carré ou encore que le carré de l’hypoténuse est égal à deux carré du côté de l’angle droit. L’hypoténuse valant x + 6, son carré vaut x2 + 12x + 36 qui est égal 2x2. Une erreur d’impression donne 1x2. Pacioli met en évidence une des formes répertoriées de son époque x2 = ax + b, ici c’est x2 = 12x + 36 puis la résout une des méthodes classiques issues des mathématiques de langue arabe connues par le truchement du Liber Abaci (1202), de LÉONARD de PISE. Voici lediamètre d’uncercle quiest.10., ilestdivisé par un segment dont un côté est .3. et l’autre .4., chercher en combien il divise le diamètre. Par ce qui précède on sait que les segments qui s’interceptent dans un cercle sont tels que la partie d’un segment par son autre partie est égale au produit que font les deux parties de l’autre segment. Tu as une partie du segment qui est .3. et l’autre .4. et .3. multiplié par .4. fait .12. puis divise .12. en deux parties de sorte que l’une multipliée par l’autre fasse .12. et donc qu’une partie soit .1. _ ◊. et l’autre .10. m . 1.◊. et .1.◊. multiplié par _ _ .10. m . 1.◊. seront .10.◊. m . 1.. et tu veux .12. En restaurant les parties tu auras .10.◊. égal à . 1.. et au nombre .12., les choses divisées par deux seront .5. qui multiplié par lui-même fait .25., retranches-en le nombre qui est .12., il reste .13. et R.13. _ Le diamètre de longueur 10 d’un cercle coup une corde en produisant deux segments de longueurs respectives 3 et 4. Il faut déterminer les longueurs des segments déterminés sur le diamètre. Pacioli utilise le fait que si on note [AB] le diamètre [CD] la corde et I le point d’intersection, on a IC × ID = IA × IB. Cela donne donc 3 × 4 = x(10 – x) d’où l’équation 10x = x2 + 12. Il s’agit d’une équation de forme connue x2 + a = bx. La moitié du coefficient de x est 5 dont le carré est 25 duquel on retranche la constante 12, ce qui donne 13. La racine carré de 13 retranchée de la moitié du coefficient de x, cela donne pour solution 5 – 13 , l’autre solution étant 5 + 13 . la moitié m des choses qui est .5. vaut la chose que nous mettons pour être une partie et donc, que du _ diamètre soit retranché .5. m . R. 13. et il _ reste .5. p . R. 13 . Gérard HAMON IREM Rennes