Formulaire - Résistance des matériaux

CPGE TSI - Sciences de l’Ingénieur
TSI2
Résistance des matériaux
Formulaire
À savoir par cœur !
v1.2
Lycée Richelieu – 64, rue George Sand – 92500 Rueil-Malmaison - Académie de Versailles
1
Torseur de cohésion
1.1
Définition
{Tcoh }G(x) = {TS2 →S1 }G(x)
{Tcoh }G(x)




N
M
t


=
Ty Mfy




Tz Mfz
G(x)
−
• N : effort normal d’axe →
x
−
• M t : moment de torsion autour de →
x
−
• Ty : effort tranchant selon l’axe →
y
−
• Mfy : moment de flexion autour de →
y
−
• Tz : effort tranchant selon l’axe →
z
−
• Mfz : moment de flexion autour de →
z
1.2
Détermination du torseur de cohésion
{Tcoh }G(x) = − {Text→S1 }G(x) = {Text→S2 }G(x)
1.3
Identification des sollicitations
Traction
Compression


 N
0


0
G


0 
0


0
Flexion pure


0
 0
0
0


0 Mfz
G





Flexion simple


0
 0
Ty
0


0 Mfz
G





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Cisaillement
Torsion



 0 0 

Ty 0




0
0
G




 0 Mt 
0 0




0
0
G
CPGE TSI2 - S2I
2
Résistance des matériaux
Formulaire
Contraintes, déformations et déplacements
Contrainte
Relation
efforts-contraintes
Relation
contr.-déformat°
Relation
efforts-déformations
Traction
→
−
N
→
−
→
σ = T (M,−
x ). x =
S
σ = E.εx
εx =
Flexion
→
−
Mfz
→
−
→
σ = T (M,−
x ). x = −
y
Iz
-
Mfz = E.Iz .y 00 (x)
Cisaillement
→
−
Ty
→
−
→
τ = T (M,−
x ). y =
S
τ = G.γ
-
Torsion
→
−
Mt
→
−
→
r
τ = T (M,−
x ). y =
IO
-
M t = G.θ(x).IO et α = θ.L
3
N
∆L
=
L0
E.S
Moments quadratiques
Z
• Moment quadratique :
Iz (S) =
Z
2
y .dS
et
Iy (S) =
S
(en mm4 )
S
Z
• Moment quadratique polaire :
z 2 .dS
IO =
r2 .dS
S
• Théorème de Huygens :
4
5
2
IMz (S) = IGz (S) + S.yM
Un peu de vocabulaire...
• σx ou σn : Contrainte normale
• ν : Coefficient de Poisson
• τ : Contrainte tangentielle
• Re : Limite élastique
• ε : Déformation unitaire
• Rpe : Limite pratique à l’extension
• E : Module d’Young
• Rg : Limite élastique au glissement
• G : Module de Coulomb
• Rpg : Résistance pratique au glissement
Quelques valeurs pour l’acier
E = 2.105 MPa,
G = 8.104 MPa,
200MPa < Re < 1400MPa,
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Rg ' 0, 4 à 0.8 Re ,
ν = 0, 3