References

Cours fondamental Master 2, 2013/14, 1er semestre
Johannes Huebschmann : Initiation à la géométrie algébrique
La géométrie algébrique remonte aux Grècs. C’est une des branches classiques en mathématiques
pures; elle étudie les ensembles décrits par des équations polynômiales. Parmi ceux-ci, les plus
simples sont les courbes planes, une courbe plane étant décrite par une équation polynômiale de
la forme f (x, y) = 0 (courbe affine), où f (x, y) est un polynôme de degré d; ajouter les points
à l’infini (courbe projective) et travailler sur un corps algébriquement clos comme les nombres
complexes simplifie la théorie. Par exemple une courbe projective complexe plane de degré d
lisse est homéomorphe à une surface réelle orientée compacte de genre g = (d − 1)(d − 2)/2
(tore avec g trous). En particulier cela signifie qu’une cubique lisse, telle que celle décrite
par l’équation x3 + y 3 = 1, regardée sur les nombres complexes, est homéomorphe à un tore.
La géométrie algébrique est une branche mathématique très active et en forte interaction avec
d’autres domaines, y compris la physique et même la musicologie. Dans la pratique, on s’en
sert, par exemple, pour simplifier des calculs sur ordinateur.
Programme
1. Un peu de géométrie algébrique classique: La concoı̈de de Nicomède, le théorème de
Pappus, le théorème de l’hexagone de Pascal
2. Discussion élémentaire des courbes
3. Variétés affines
4. Variétés projectives
5. Morphismes
6. Morphismes rationnels
7. Singularités et variétés non singulières
8. Éclatements
9. Courbes non singulières
10. Multiplicité d’intersection, théorème de Bézout
11. Éventuellement: Remarques sur les surfaces
References
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