Exercices d`alg`ebre linéaire: applications linéaires, noyau, image
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Exercices d`alg`ebre linéaire: applications linéaires, noyau, image
Exercices d’algèbre linéaire: applications linéaires, noyau, image Exercice 1 Soit f : R3 → R3 une application linéaire telle que 0 0 1 1 1 1 f 1 = 2 , f 2 = 3 , f 1 = 1 . 0 1 0 0 0 0 1. Quelle est la dimension de ker f ? Et de l’image de f ? 2. Déterminer une base de ker f . 1 3. Calculer f 2. 3 Exercice 2 Montrer qu’il n’existe aucune application linéaire f : R2 → R3 telle que ! 0 ! −1 ! 0 −2 2 1 = 1 . = 1 , f f = 2 , f 2 3 0 0 1 −1 Exercice 3 Soit f : R4 → R2 une application linéaire. Montrer que la dimension de ker f est au moins égale à 2. Donner un exemple où la dimension est exactement 2, exactement 3, exactement 4. Exercice 4 Soit V un R-espace vectoriel. Soit f : V → V une application linéaire telle que f ◦ f = f (à savoir, pour tout v ∈ V on a f ( f (v)) = f (v)). Montrer que V = ker f ⊕ Im f . Indication : on pourra écrire v = f (v) + (v − f (v)). 3 Exercice 5 1. Montrer qu’il n’existe aucune application linéaire f : R → R telle que ker f = 1 1 Vect . 1 1 1 3 1 −1 2. Montrer qu’il existe une unique application linéaire h : R → R telle que ker h = Vect , 1 1 2 x et h 1 = 1. Déterminer 3 nombres réels a, b, c ∈ R tels que h y = ax + by + cz. 1 z 1 Exercice 6 Soit f : R2 → R2 une application linéaire telle que ! ! ! ! 2 1 −1 1 f = , f = 2 −2 −2 1 et soit g : R2 → R2 une application linéaire telle que ! ! ! ! 0 −3 1 −2 g = , g = . 1 1 1 0 1. Montrer que f et g sont surjectives (c’est à dire Im f = Im g = R2 ). 2. Montrer que f et g sont injectives. ! 1 3. Calculer g ◦ f −1 Exercice 7 Soient V1 , V2 , V3 trois espace vectoriels réels, et soient f : V2 → V3 et g : V1 → V2 deux applications linéaires. • Montrer que si f et g sont injectives, alors il en va de même pour f ◦ g. • Montrer que f ◦ g peut être injective même si f n’est pas injective. 2