Cours 3: Programmation linéaire

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Cours 3: Programmation linéaire
• Position du problème
• Algorithme du simplexe générique
• Dualité.
• Dégénérescence et terminaison de l’algorithme
1-1
Gilles Schaeffer
INF-550-3: Programmation linéaire
• Dualité.
2-1
Gilles Schaeffer
Un problème de programmation linéaire
Donnée: Une matrice réelle A = (ai,j ) de taille m × n,
un vecteur b = (b1 , . . . , bm ) de taille m,
un vecteur c = (c1 , . . . , cn ) de taille n.
Problème: Trouver un point x = (x1 , . . . , xn ) qui
• satisfait les m contraintes ai,1 x1 + . . . + ai,n xn ≤ bi ,
• et maximise le produit c · x = c1 x1 + . . . + cn xn .
3-1
Gilles Schaeffer
Reformulation matricielle: on cherche max(c · x | Ax ≤ b).
3-2
Gilles Schaeffer
Reformulation matricielle: on cherche max(c · x | Ax ≤ b).
Remarque: Les ai,j , bi et ci peuvent être négatifs, on peut donc
modéliser des contraintes ≥ ou = et chercher min au lieu de max.
3-3
Gilles Schaeffer
Un exemple bateau: le fleuriste
Donnée. En stock: 50 lys, 80 roses, 80 jonquilles.
Composition des bouquets au catalogue:
• 10 lys, 10 roses, 20 jonquilles: 4 euros
4-1
Gilles Schaeffer
Problème Quels bouquets préparer si on est assuré de tout vendre ?
4-2
Gilles Schaeffer
x bouquets
y bouquets
4-3
Gilles Schaeffer
x bouquets
y bouquets
Contraintes: sur les lys: 10x + 10y ≤ 50
sur les roses: 10x + 20y ≤ 80
sur les jonquilles: 20x + 10y ≤ 80
4-4
Gilles Schaeffer
x bouquets
y bouquets
x≥0
y≥0
4-5
Gilles Schaeffer
x bouquets
y bouquets
x≥0
y≥0
Fonction économique à maximiser: max(4x + 5y).
4-6
Gilles Schaeffer
x bouquets
y bouquets
y
4
3
2
1
0
x
0 1 2 3 4
x≥0
y≥0
4-7
Gilles Schaeffer
x bouquets
y bouquets
y
4
20
3
23
2
22
1
16
0
x
0 1 2 3 4
x≥0
y≥0
4-8
Gilles Schaeffer
x bouquets
y bouquets
y
4
20
3
23
c
2
22
1
16
0
x
0 1 2 3 4
x≥0
y≥0
4-9
Gilles Schaeffer
x bouquets
y bouquets
y
4
20
3
23
c
2
22
1
16
0
x
0 1 2 3 4
x≥0
y≥0
Lorsqu’on a les contraintes xi ≥ 0 on peut toujours penser en termes
économiques: produits finis, matières premières, bénéfice.
4-10
Gilles Schaeffer
Interprétation géométrique
5-1
Gilles Schaeffer
Chaque équation ai,1 x1 + . . . + ai,n xn ≤ bi coupe l’espace en 2,
le long d’un l’hyperplan normal au vecteur Li = (ai,1 , . . . , ai,n ) .
5-2
Gilles Schaeffer
5-3
Gilles Schaeffer
5-4
Gilles Schaeffer
5-5
Gilles Schaeffer
5-6
Gilles Schaeffer
5-7
Gilles Schaeffer
L’ensemble des x satisfaisant Ax ≤ b
forme un polyhèdre convexe P
5-8
Gilles Schaeffer
éventuellement vide
5-9
Gilles Schaeffer
éventuellement vide
5-10
Gilles Schaeffer
éventuellement vide ou non borné
5-11
Gilles Schaeffer
Le vecteur c indique la direction dans
laquelle on optimise: max(c · x | x ∈ P )
5-12
Gilles Schaeffer
L’optimum peut être à l’infini.
5-13
Gilles Schaeffer
5-14
Gilles Schaeffer
S’il est fini, il est atteint en un sommet.
C’est toujours le cas si P est borné.
5-15
Gilles Schaeffer
Par convexité, un sommet est optimum si
et seulement si il est meilleur que ses voisins.
5-16
Gilles Schaeffer
Par convexité, un sommet est optimum si
et seulement si il est meilleur que ses voisins.
optimum local ⇒ optimum global
5-17
Gilles Schaeffer
• Dualité.
6-1
Gilles Schaeffer
Algorithme du simplexe, premier essai
• Initialiser x avec un sommet quelconque de P
7-1
Gilles Schaeffer
• Tant qu’on a pas trouvé une direction infinie où c·x croit,
et qu’il existe x0 voisin de x avec c · x0 > c · x,
faire x := x0 .
7-2
Gilles Schaeffer
faire x := x0 .
Remarques: Glouton...
7-3
Gilles Schaeffer
faire x := x0 .
Qu’est ce qu’un sommet, un voisin ?
7-4
Gilles Schaeffer
faire x := x0 .
Sommet = intersection de n hyperplans,
donné par I = {indices des n équations}
7-5
Gilles Schaeffer
faire x := x0 .
Voisin = partage n − 1 équations
7-6
Gilles Schaeffer
faire x := x0 .
n=2
⇒ un sommet a n(m − n) voisins ?
m=5
7-7
Gilles Schaeffer
faire x := x0 .
n=2
m=5
On veut un voisin qui soit un sommet de P .
7-8
Gilles Schaeffer
faire x := x0 .
n=2
m=5
On veut un voisin qui soit un sommet de P .
Le long d’une arête (I \ {i}), seul le premier
voisin rencontré est dans P : comparer les distances.
7-9
Gilles Schaeffer
Détecter les directions infinies où c · x croı̂t.
Si le polyhèdre n’est pas borné, c · x peut croı̂tre indéfiniment:
Lemme: les 2 cas suivants s’excluent mutuellement:
P
• c s’écrit c = i yi Li avec les yi ≥ 0
• il existe u tq c · u > 0 et Au ≤ 0
8-1
Gilles Schaeffer
P
• c s’écrit c = i yi Li avec les yi ≥ 0
8-2
Gilles Schaeffer
P
• c s’écrit c = i yi Li avec les yi ≥ 0 ⇔ l’optimum est borné
8-3
Gilles Schaeffer
P
8-4
Gilles Schaeffer
P
• il existe u tq c · u > 0 et Au ≤ 0 ⇔ ∞
8-5
Gilles Schaeffer
P
En effet: c = yA ⇒ cu = yAu
donc si y ≥ 0 et Au ≤ 0, on a cu ≤ 0.
8-6
Gilles Schaeffer
P
Application: si au cours de l’exécution
on rencontre une arête de direction u tq
Au ≤ 0 et cu > 0, on a trouvé une direction
de croissance infinie et on peut s’arrêter.
8-7
Gilles Schaeffer
P
Application: si au cours de l’exécution
on rencontre une arête de direction u tq
Au ≤ 0 et cu > 0, on a trouvé une direction
de croissance infinie et onPpeut s’arrêter.
Si au point xI , on a c = i∈I yi Li avec yi ≥ 0,
on a trouvé l’optimum.
8-8
Gilles Schaeffer
Algorithme du simplexe, version générique
Soit xI le sommet courant, solutions des n équations (Lk x = bk )k∈I
9-1
Gilles Schaeffer
P
• Exprimer c dans la base {Lk }k∈I : c = k∈I yk Lk .
9-2
Gilles Schaeffer
P
Si yk ≥ 0 pour tout k ∈ I, on a trouvé l’optimum.
9-3
Gilles Schaeffer
P
• Sinon on choisit i ∈ I tq yi < 0 et on considère l’arête définie
par les équations de I 0 = I \ {i}. Soit u son vecteur directeur
tq Li u = −1 (on s’éloigne): u est une colonne de (AI )−1 .
9-4
Gilles Schaeffer
P
• Calculer la vitesse vers Lj quand on suit u: vj = Lj · u.
9-5
Gilles Schaeffer
P
si vj ≤ 0 on s’éloigne de l’hyperplan Lj : si ∀j, max = ∞.
9-6
Gilles Schaeffer
P
• Parmi les voisins sur l’arête, prendre celui qui est dans P .
C’est celui qui est le plus proche parmi ceux du bon côté:
b −L x
donné par un des j tels que vj > 0 qui minimisent j vjj I .
9-7
Gilles Schaeffer
P
• Parmi les voisins sur l’arête, prendre celui qui est dans P .
C’est celui qui est le plus proche parmi ceux du bon côté:
b −L x
donné par un des j tels que vj > 0 qui minimisent j vjj I .
faire I = I \ {i} ∪ {j}, recalculer xI et reprendre.
9-8
Gilles Schaeffer
Algorithme du simplexe, analyse
Si on avance vers le sommet xJ , J = I \ {i} ∪ {j}, alors:
P
• c = k∈I yk Lk , avec yi < 0.
10-1
Gilles Schaeffer
P
Comparons l’objectif c · xI avec c · xJ :
10-2
Gilles Schaeffer
P
bj −Lj xI
vj
bj −Lj xI
vj
u = c · xI +
c·u
• c · xJ = c · xI + c ·
P
or c · u = k∈I yk Lk · u = −yi > 0 puisque u est dans les
hyperplans Lk , k 6= i et Li · u = −1.
10-3
Gilles Schaeffer
P
bj −Lj xI
vj
bj −Lj xI
vj
u = c · xI +
c·u
• c · xJ = c · xI + c ·
P
⇒ comme prévu xJ améliore l’objectif...
10-4
Gilles Schaeffer
P
bj −Lj xI
vj
bj −Lj xI
vj
u = c · xI +
c·u
• c · xJ = c · xI + c ·
P
⇒ comme prévu xJ améliore l’objectif... sauf si bj − Lj x = 0 !
10-5
Gilles Schaeffer
P
bj −Lj xI
vj
bj −Lj xI
vj
u = c · xI +
c·u
• c · xJ = c · xI + c ·
P
Si plus de n hyperplans Lk passent par xI , certaines arêtes dégénèrent
et on peut avoir xJ = xI , l’algorithme risque de boucler.
10-6
Gilles Schaeffer
P
bj −Lj xI
vj
bj −Lj xI
vj
u = c · xI +
c·u
• c · xJ = c · xI + c ·
P
Si plus de n hyperplans Lk passent par xI , certaines arêtes dégénèrent
et on peut avoir xJ = xI , l’algorithme risque de boucler.
Une solution: perturber les bi pour éliminer les dégénérescences.
10-7
Gilles Schaeffer
Algorithme du simplexe, initialisation
Pour démarrer l’algorithme il faut avoir un sommet de P .
11-1
Gilles Schaeffer
On cherche: argmax(cx | Ax ≤ b)
11-2
Gilles Schaeffer
On peut toujours poser
de` variables
double)
`yx
´ i = yi − zi (le`nombre
´
´
et maximiser (c, −c) · z pour (A, −A) yz ≤ b et yz ≥ 0.
11-3
Gilles Schaeffer
de` variables
double)
`yx
´
´
On cherche donc: argmax(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
11-4
Gilles Schaeffer
de` variables
double)
`yx
´
´
Si les bi sont positifs, (0, . . . , 0) est notre sommet initial.
11-5
Gilles Schaeffer
de` variables
double)
`yx
´
´
Sinon on cherche un sommet de P = {x | Ax ≤ b, x ≥ 0}
11-6
Gilles Schaeffer
de` variables
double)
`yx
´
´
On fait cela en cherchant parmi les (x1 , . . . , xn , t) tq
ai,1 x1 + . . . + ai,n xn − t ≤ bi pour tout i,
un point qui minimise t.
11-7
Gilles Schaeffer
de` variables
double)
`yx
´
´
On connait un sommet initial (0, . . . , 0, T ) pour ce problème linéaire.
11-8
Gilles Schaeffer
de` variables
double)
`yx
´
´
On connait un sommet initial (0, . . . , 0, T ) pour ce problème linéaire.
Il existe (et on obtient) un sommet de P ssi t = 0 dans sa solution.
11-9
Gilles Schaeffer
• Dualité.
12-1
Gilles Schaeffer
Primal/dual et théorème de dualité
Théorème (cas inégalités+positivité). Si l’un des 2 problèmes suivant
(P)
max(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
(D)
min(yb | yA ≥ c, y ≥ 0)
admet une solution finie, alors l’autre aussi et on a
min(yb | yA ≥ c, y ≥ 0) = max(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
13-1
Gilles Schaeffer
(P)
max(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
(D)
min(yb | yA ≥ c, y ≥ 0)
Interprétation. Retour au fleuriste.
Primal
max(4x + 5x0 )
10x + 10x0 ≤ 50
10x + 20x0 ≤ 80
20x + 10x0 ≤ 80
x ≥ 0, x0 ≥ 0
13-2
Gilles Schaeffer
(P)
max(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
(D)
min(yb | yA ≥ c, y ≥ 0)
Primal
× max(4x + 5x0 )
y1 10x + 10x0 ≤ 50
y2 10x + 20x0 ≤ 80
y3 20x + 10x0 ≤ 80
x ≥ 0, x0 ≥ 0
13-3
Gilles Schaeffer
(P)
max(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
(D)
min(yb | yA ≥ c, y ≥ 0)
Primal
× max(4x + 5x0 )
y1 10x + 10x0 ≤ 50
y2 10x + 20x0 ≤ 80
y3 20x + 10x0 ≤ 80
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
x ≥ 0, x0 ≥ 0
⇒
13-4
Gilles Schaeffer
(10y1 + 10y2 + 20y3 )x + (10y1 + 20y2 + 10y3 )x0 ≤ 50y1 + 80y2 + 80y3
(P)
max(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
(D)
min(yb | yA ≥ c, y ≥ 0)
Primal
× max(4x + 5x0 )
y1 10x + 10x0 ≤ 50
10y1 + 10y2 + 20y3 ≥ 4
y2 10x + 20x0 ≤ 80
10y1 + 20y2 + 10y3 ≥ 5
y3 20x + 10x0 ≤ 80
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
x ≥ 0, x0 ≥ 0
⇒ 4x + 5x0 ≤ (10y1 + 10y2 + 20y3 )x + (10y1 + 20y2 + 10y3 )x0 ≤ 50y1 + 80y2 + 80y3
13-5
Gilles Schaeffer
(P)
max(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
(D)
min(yb | yA ≥ c, y ≥ 0)
Primal
× max(4x + 5x0 )
min(50y1 + 80y2 + 80y3 )
y1 10x + 10x0 ≤ 50
10y1 + 10y2 + 20y3 ≥ 4
y2 10x + 20x0 ≤ 80
10y1 + 20y2 + 10y3 ≥ 5
y3 20x + 10x0 ≤ 80
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
x ≥ 0, x0 ≥ 0
⇒ 4x + 5x0 ≤ (10y1 + 10y2 + 20y3 )x + (10y1 + 20y2 + 10y3 )x0 ≤ 50y1 + 80y2 + 80y3
13-6
Gilles Schaeffer
(P)
max(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
(D)
min(yb | yA ≥ c, y ≥ 0)
Primal
Dual
× max(4x + 5x0 )
min(50y1 + 80y2 + 80y3 )
y1 10x + 10x0 ≤ 50
10y1 + 10y2 + 20y3 ≥ 4
y2 10x + 20x0 ≤ 80
10y1 + 20y2 + 10y3 ≥ 5
y3 20x + 10x0 ≤ 80
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
x ≥ 0, x0 ≥ 0
⇒ 4x + 5x0 ≤ (10y1 + 10y2 + 20y3 )x + (10y1 + 20y2 + 10y3 )x0 ≤ 50y1 + 80y2 + 80y3
13-7
Gilles Schaeffer
(P)
max(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
(D)
min(yb | yA ≥ c, y ≥ 0)
Le théorème dit
Primal
Dual
× max(4x + 5x0 )
qu’on peut obtenir
min(50y1 + 80y2 + 80y3 )
y1 10x + 10x0 ≤ 50 une borne optimale 10y1 + 10y2 + 20y3 ≥ 4
y2 10x + 20x0 ≤ 80 par multiplicateur. 10y1 + 20y2 + 10y3 ≥ 5
y3 20x + 10x0 ≤ 80
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
x ≥ 0, x0 ≥ 0
⇒ 4x + 5x0 ≤ (10y1 + 10y2 + 20y3 )x + (10y1 + 20y2 + 10y3 )x0 ≤ 50y1 + 80y2 + 80y3
13-8
Gilles Schaeffer
(P)
max(cx | Ax ≤ b, x ≥ 0)
(D)
min(yb | yA ≥ c, y ≥ 0)
Le théorème dit
Primal
Dual
× max(4x + 5x0 )
qu’on peut obtenir
min(50y1 + 80y2 + 80y3 )
y1 10x + 10x0 ≤ 50 une borne optimale 10y1 + 10y2 + 20y3 ≥ 4
y2 10x + 20x0 ≤ 80 par multiplicateur. 10y1 + 20y2 + 10y3 ≥ 5
Si on augmente la
0
y3 20x + 10x ≤ 80 denrée i de ∆i , le gain y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ≥ 0.
x ≥ 0, x0 ≥ 0
augmente de ∆i yi .
⇒ 4x + 5x0 ≤ (10y1 + 10y2 + 20y3 )x + (10y1 + 20y2 + 10y3 )x0 ≤ 50y1 + 80y2 + 80y3
13-9
Gilles Schaeffer
Primal / Dual, cas général. Le théorème s’applique aux paires:
Primal
Dual
max(c1 x1 + . . . + cn xn )
min(b1 y1 + . . . + bm ym )
ai1 x1 + . . . ain xn ≤ bi pour i ∈ I a1j y1 + . . . amj ym ≥ cj pour j ∈ P
ai1 x1 + . . . ain xn = bi pour i ∈ E a1j y1 + . . . amj ym = cj pour j ∈ N
xj ≥ 0 pour j ∈ P .
yi ≥ 0 pour i ∈ I.
où m = |I| + |E| et n = |P | + |N |
14-1
Gilles Schaeffer
Primal
Dual
max(c1 x1 + . . . + cn xn )
min(b1 y1 + . . . + bm ym )
où m = |I| + |E| et n = |P | + |N |
Les inégalité donnent dans le dual des variables contraintes à être positives,
les égalités des variables quelconques (penser à l’interprétation des variables
duales comme multiplicateurs).
14-2
Gilles Schaeffer
Primal
Dual
max(c1 x1 + . . . + cn xn )
min(b1 y1 + . . . + bm ym )
où m = |I| + |E| et n = |P | + |N |
Les inégalité donnent dans le dual des variables contraintes à être positives,
les égalités des variables quelconques (penser à l’interprétation des variables
duales comme multiplicateurs).
En TD: le théorème de dualité ⇒ maxflow = mincut
14-3
Gilles Schaeffer
• Dualité.
15-1
Gilles Schaeffer
Dégénérescence et risque de bouclage
Dégénérescence: un sommet appartient à plus de n hyperplans.
Il n’est pas forcément acceptable de perturber.
16-1
Gilles Schaeffer
Parmi les voisins de x{2,3} il y a
x{1,3} , x{1,4} , x{1,2} , x{2,4} .
16-2
Gilles Schaeffer
1
2
x{1,3} , x{1,4} , x{1,2} , x{2,4} .
Ce sont même ses plus proches voisins...
3
4
16-3
Gilles Schaeffer
1
2
x{1,3} , x{1,4} , x{1,2} , x{2,4} .
3
4
En dimension supérieure il peut être nécessaire
de changer plusieurs lignes pour trouver un vrai voisin dans P .
Il peut y avoir un nombre exponentiel de faux voisins.
16-4
Gilles Schaeffer
1
2
x{1,3} , x{1,4} , x{1,2} , x{2,4} .
3
4
En dimension supérieure il peut être nécessaire
de changer plusieurs lignes pour trouver un vrai voisin dans P .
Il peut y avoir un nombre exponentiel de faux voisins.
Notre algorithme du simplexe prend un voisin le plus proche: il faut bien le
choisir pour ne pas risquer de boucler indéfiniment en changeant I sans
changer xI : x{2,3} → x{1,3} → x{1,2} → x{2,3} .
16-5
Gilles Schaeffer
Algorithme du simplexe, version finale
P
• Sinon on choisit le plus petit i ∈ I tq yi < 0 et on considère
l’arête définie par les équations de I 0 = I \ {i}. Soit u son
vecteur directeur tq Li u = −1 (c’est une colonne de (AI )−1 ).
• Parmi les voisins sur l’arête, prendre celui qui est dans P ,
c’est celui qui est le plus proche parmi ceux du bon côté:
b −L x
le plus petit parmi les j tels que vj > 0 qui minimisent j vjj I .
faire I = I \ {i} ∪ {j}, recalculer xI et reprendre.
17-1
Gilles Schaeffer
Algorithme du simplexe, preuve de terminaison
Si l’algo boucle c’est qu’on est revenu au même I, sans changer c · xI
(c · xI croı̂t). On observe l’évolution des indices présents dans I.
18-1
Gilles Schaeffer
I
18-2
Gilles Schaeffer
I
inchangé
r
I
I0
I 00
I
Soit r le plus grand indice qui sort ou entre durant la boucle, et soient
I 0 et I 00 les ensembles d’indices à des temps de sortie et d’entrée de r.
18-3
Gilles Schaeffer
inchangé
r
I
I0
I 00
I
P
0
Comme r sort de I : c = i∈I 0 yi Li , avec yi ≥ 0 pour i < r, et yr < 0.
18-4
Gilles Schaeffer
inchangé
r
I
I0
I 00
I
P
0
Soit u la direction de l’arête sélectionnée lors du traitement de I 00 :
alors Li u = 0 pour i ∈ I 00 \ {r} et, comme r entre dans I 00 , on a Lj u ≤ 0
pour tout j < r avec bj − Lj u = 0. C’est le cas pour tout j ∈ I 0 \ I 00 .
18-5
Gilles Schaeffer
inchangé
r
I
I0
I 00
I
P
0
P
P
D’où cu = i∈I 0 yi Li u = i<r, i∈I 0 yi Li u + yr Lr u < 0.
18-6
Gilles Schaeffer
inchangé
r
I
I0
I 00
I
P
0
P
P
D’où cu = i∈I 0 yi Li u = i<r, i∈I 0 yi Li u + yr Lr u < 0.
Ceci contredit le choix de u pour améliorer l’objectif: (cu > 0).
18-7
Gilles Schaeffer
Algorithme du simplexe, complexité
Puisque le nombre de voisins d’un sommet est n(m − 1) au plus,
chaque étape a un coût polynomial.
`m´
Le nombre de sommets peut être exponentiel (jusqu’à n ) en m et n,
et il existe des exemples pour lesquels le simplexe visite effectivement
un nombre exponentiel de sommets... (Worst case analysis).
On constate que cela ne se produit quasiment jamais en pratique...
On peut montrer qu’en moyenne sur des problèmes aléatoires
l’algorithme est polynomial (Average case analysis).
Mieux on peut montrer que si on perturbe aléatoirement des données
arbitraires, l’algorithme reste polynomial (Smooth analysis).
19-1
Gilles Schaeffer
Programmation linéaire, algorithmes polynomiaux.
Le simplexe n’est pas polynomial mais presque...
De fait il existe des algorithmes polynomiaux pour la programmation
linéaire: notamment les méthodes de l’ellipsoide et du point intérieur.
Attention toutefois: il y a des algorithmes polynomiaux si on cherche
les optimaux à coordonnées dans R.
On verra que, contrairement à ce qui se passe pour les problèmes de
flots, le problème devient dur si on veut des solutions entières.
20-1
Gilles Schaeffer
• Dualité.
Retenir: - Il existe d’excellentes boites noires pour résoudre les LP.
- Modélisation par LP (en PC). Thm Primal-Dual.
21-1
Gilles Schaeffer

Cours 3: Programmation linéaire

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