Extraire une famille libre

Algèbre linéaire
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
Méthodes et techniques des exercices
Extraire une famille libre
Soit E un espace vectoriel et S = {v1 , v2 , ...., vn } une famille de vecteurs de E. Il
est souvent utile d’extraire de cette famille une famille libre L de sorte que l’espace
engendré par L soit identique à l’espace engendré par S. Voici une technique pour faire
cela. On construit par récurrence des systèmes libres Lp de la façon suivante :
L1 = {v1 }.
Si Lp ∪ {vp+1} est un système libre, on pose Lp+1 = Lp ∪ {vp+1 } ; sinon on pose
Lp+1 = Lp .
Finalement L = Ln .
Exemple 1 : Dans l’espace vectoriel sur R des polynômes à une indéterminée à
coefficient réels, on veut extraire une famille libre de la famille S = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
où : v1 = x2 + 1, v2 = 4x2 + 4, v3 = x3 + 2, v4 = 2x3 + 4x2 + 8, v5 = x3 + x2 + 5.
On pose L1 = {v1 }. Comme v2 = 4v1 , on pose L2 = L1 . Comme v3 n’est pas
proportionnel à v1 , on pose L3 = {v1 , v3 }. On constate que v4 = 2v3 + 4v1 ; on pose
donc L4 = L3 . Enfin on s’assure, par exemple par la méthode de Gauss, que v5
n’est pas une combinaison linéaire de v1 et v3 et on pose L5 = {v1 , v3 , v5 }. C’est le
système libre cherché.
Pour cette construction, on peut appliquer la méthode de Gauss en échelonnant
la famille S. Le nombre de vecteurs non nuls ainsi obtenus est le nombre de vecteurs
de L et à chaque vecteur nul correspond une relation linéaire entre les vecteurs de
S.
On examine, alors, l’un après l’autre les vecteurs vp . Si, parmi les relations
obtenues dans l’échelonnement, il en existe une qui permet d’écrire vp comme combinaison linéaire des vi avec i < p, on rejette vp . Sinon, on le garde.
Exemple 2 : Traitons l’exemple ci-dessus par cette méthode en choisissant pour
base la base canonique. La famille S se présente initialement de la manière suivante :
v1
v2
v3
v4
v5
 
1
0
 
1
0
 
4
0
 
4
0
 
2
0
 
0
1
 
8
0
 
4
2
 
5
0
 
1
1
1
Algèbre linéaire
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise)
La première composante de v1 va servir de pivot. On obtient alors la famille
{v1 , v2′ , v3′ , v4′ , v5′ } avec
v1
v2′ = v2 − 4v1 v3′ = v3 − 2v1 v4′ = v4 − 8v1 v5′ = v5 − 5v1

0
0
 
−4
2


0
0
 
−2
1

 
0
0
 
0
0
 
1
0
 
1
0

0
0
 
−4
1

Comme v2′ est nul, on le place à la fin et on choisit comme pivot la troisième
composante de v3′ . On obtient :
v3′
v1
 
1
0
 
1
0

0
0
 
−2
1

v3′′ = v4′ − 2v3′ v4′′ = v5′ − 2v3′

0
0
 
0
−1

 
0
0
 
0
0
v2′
 
0
0
 
0
0
L’échelonnement s’achève en échangeant v3′′ et v4′′ .
On a obtenu 2 vecteurs nuls et les relations correspondantes sont :
0 = v2′ = v2 − v1
0 = v3′′ = v4′ − 2v3′ = v4 − 8v1 − 2(v3 − 2v1 ) = −4v1 − 2v3 + v4
Ces deux relations nous conduisent à garder v1 , à rejeter v2 , à garder v3 , à rejeter
v4 et à garder v5 .
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