De nouveaux savoirs en géométrie pour les enseignants

De nouveaux savoirs en géométrie pour les enseignants ?
Catherine HOUDEMENT
IUFM de Haute Normandie, Université de Rouen, France
[email protected]
Résumé
L’enseignant doit maîtriser un certain nombre de savoirs pour optimiser son entrée dans le
métier, mais ni la définition de ces savoirs, ni l’organisation de leur étude dans le cadre de la
formation des enseignants ne sont simples. Ce texte présente l’émergence, à partir de
questions de formation, d’un savoir récent qui vise à une (ré-) organisation de la géométrie
enseignée dans la scolarité obligatoire ; il propose quelques éléments pour des dispositifs de
formation visant son acquisition. Il fournit des arguments contre une vision séparatiste de la
formation qui envisagerait notamment des savoirs académiques d’un coté, des savoirs
didactiques de l’autre.
1.
Introduction
Nous pouvons considérer que les savoirs en jeu dans la formation des futurs enseignants sont
de trois types : savoirs relatifs à la discipline enseignée, comprenant des connaissances sur la
discipline et sur la didactique de cette discipline : savoirs pédagogiques, transversaux aux
disciplines (développement de l’enfant, de l’adolescent, techniques de classe, de gestion de
groupes, culture sociale…) : enfin savoirs institutionnels, auxquels participe la connaissance
des différentes organisations institutionnelles (école, collège, académie, ministère..) dont
relève l’enseignant. Nous nous intéresserons dans ce texte aux savoirs mathématiques et
didactiques relatifs à l’enseignement des mathématiques.
Personne ne contestera la nécessité de connaître des savoirs académiques pour enseigner les
mathématiques, mais diverses recherches contemporaines, menées par des didacticiens
(Briand 1995, Houdement 1995), mais aussi par des mathématiciens (Rogalski 2001, Perrin
2005), aussi bien pour le primaire que pour le secondaire, ont montré que les limites
classiques des savoirs académiques ne contiennent pas tous les savoirs nécessaires à
l’enseignement : les questions d’enseignement débusquent des savoirs complémentaires, qui
nourrissent les mathématiques pour l’enseignant (Cirade 2007, 2009). L’existence de ces
savoirs mathématiques, à la marge des savoirs mathématiques classiques, émergeant de
questions didactiques, confirme la nécessité de ne pas séparer mathématiques et didactique ;
les questions sur l’enseignement et nées de l’enseignement sont une nouvelle occasion de
questionner les mathématiques, leur genèse et leur développement : le mathématique est
partout dense dans le didactique.
Dans cet article, nous nous intéressons plus particulièrement à la question de la géométrie
élémentaire, dans la formation des professeurs des écoles essentiellement.
La formation des professeurs des écoles en France est depuis 1991 prise en charge par les
IUFM1. Cette formation se décompose en deux temps. Une première année, possible en
1
Instituts Universitaires de Formation, créés en 1991, chargés de la formation initiale (et en partie continue) des
professeurs des écoles, collèges et lycées.
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IUFM, arme pour le concours (CERPE, concours externe de recrutement pour les professeurs
des écoles) les étudiants titulaires d’une licence. L’épreuve mathématique du concours
(3 heures, note comptant pour 3/8 du total pour l’admissibilité, 3/14 du total pour l’admission)
comporte deux parties écrites, l’une constituée d’exercices mathématiques, l’autre basée sur
une analyse liée à l’enseignement. Si le candidat est reçu, il intègre l’IUFM, devient
professeur des écoles stagiaire, perçoit un salaire ; la deuxième année alterne stages sur le
terrain (où le stagiaire est successivement responsable de différentes classes) et cours divers à
l’IUFM. Le faible horaire du cours de mathématiques2 amène les formateurs à rivaliser
d’invention pour préparer les étudiants, dès la première année, au concours, mais aussi à
l’enseignement des mathématiques de l’école primaire (enfants de 3 à 11 ans) de toute une
carrière.
2.
Le dilemme des étudiants professeurs des écoles face à la géométrie
La tradition des exercices de géométrie du concours de professeurs des écoles amène les
étudiants à se poser la question de la démonstration, donc d’une justification théorique de
leurs affirmations souvent appuyées sur une analyse perceptive ou instrumentale d’un dessin
associé au texte. Simultanément l’analyse de tâches géométriques et de réponses d’élèves du
primaire offre un prétexte, dont les formateurs devraient absolument se saisir, pour leur faire
prendre conscience de la distance entre ce dont ils se souviennent du contrat géométrique de
leurs années de collège (de 11 à 15 ans) et celui qu’ils doivent instituer avec leurs élèves de
primaire. Le lecteur peut être sensibilisé à cette différence de contrat (école, collège) par
l’étude des deux exercices suivants.
Ces exercices ont été proposés lors d’évaluations nationales, proposées par le Ministère de
l’Education Nationale (MEN 19973) d’élèves de début de 6ème (11-12 ans, première année de
collège), ils nous donnent des indicateurs de performances d’élèves sortant de primaire.
Voici une figure composée d’un carré et d’un cercle.
Vous devez la reproduire, la figure est déjà commencée : deux
côtés du carré sont déjà tracés.
Résultats corrects (1997).
Pour le carré : 94,3%
Pour le cercle : 63,6%
Cet exercice de reproduction sollicite une construction graphique à partir de tracés déjà là. Le tracé du
carré demande la mise en acte de la connaissance « côtés perpendiculaires deux à deux » grâce à
l’instrument équerre ou la connaissance « quatre côtés de même longueur » grâce aux instruments
compas et/ou règle graduée. Le tracé du cercle, instrumenté usuellement par le compas, demande que
soit d’abord repéré son centre. Il est relativement courant que les élèves recherchent à tâtons le centre
du cercle, posant la pointe du compas en zone centrale, contrôlant l’équidistance aux quatre sommets
et rectifiant la position de la pointe si besoin. Pour trouver ce centre sans hésitation et avec plus de
précision, il est nécessaire de marquer des tracés supplémentaires (diagonales du carré, médianes) : le
raisonnement (même implicite) mené à cette occasion est plus complexe que celui qui débouche sur le
tracé du carré, ce qui explique sans doute la différence de réussite.
2
Par exemple, à l’IUFM de Haute Normandie (Rouen) : 80 h en première année (avant le concours) et 48 heures
en seconde année.
3
L’année n’est pas significative, ces deux exercices restent emblématiques.
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On remarquera que pour ce premier exercice, le dessin, trace graphique, est objet d’expérimentation et
de contrôle de la réponse (en effet un calque du modèle appliqué sur la production permet de la valider
ou de l’invalider, bien sûr avec une marge de tolérance)
Considérons maintenant ce deuxième exercice issu de la même évaluation nationale.
Sur ce dessin à main levée, on a représenté un
rectangle ABCD et un cercle de centre A qui
passe par D. Les mesures réelles sont en
centimètres.
Ce cercle coupe le segment [AB] au point E.
Trouve la longueur du segment [EB].
………………………………………
Explique ta réponse :…………………….
…………………………………………
Réponses obtenues
3 ou 3 cm avec ou sans
explication
1,9 ou 2 ou 2,1 cm (longueur
mesurée sur le dessin fourni)
3,5 cm ou 4 cm -plus rare(approche perceptive)
Résultats des élèves
10,3 %
28 %
52 %
Cet exercice est d’une tout autre nature, il est d’ailleurs massivement échoué. Le dessin n’est
plus que le support du raisonnement, il aide à organiser les informations et à trouver la chaîne
déductive qui conduit à la longueur EB. Le dessin ne peut plus contrôler la réponse.
Notons que, dans le document ministériel, cet exercice était accompagné d’un commentaire le
désignant comme relevant de compétences (dites remarquables) déclarées non installées en
début de 6ème, contrairement au précédent exercice.
En formation, les étudiants postulant au professorat des écoles (étudiants niveau licence 1,
appelés PE1) sont aussi entraînés à la résolution d’exercices géométriques en vue du
concours, tel le suivant.
x
C
On donne le triangle ABC rectangle en B tel que AB =
4 cm et BC = 2 cm. La demi-droite [Ax) est
perpendiculaire à la droite (AB). M est un point de la
demi-droite [Ax). Le but de ce problème est d’obtenir
des configurations particulières du triangle AMC.
Question 5.b. Existe-t-il un point M tel que le
triangle ACM soit équilatéral ? Justifiez.
B
A
(extrait de l’épreuve de mathématiques CERPE Amiens 2000)
Un certain nombre de réponses de PE1 à de telles questions ressemblent à la suivante en ce
qui concerne la relation au dessin. (Houdement & Kuzniak 2006)
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Pour savoir si le triangle ACM est équilatéral, on peut essayer de construire ce triangle sur la
figure à l'aide du compas. On place la pointe du compas en A et on prend une ouverture
équivalente à la valeur AC, on trace l'arc de cercle sur la demi-droite [Ax). On procède de la
même manière en mettant la pointe du compas en C. On se rend compte que le sommet n'est
pas sur [Ax) donc le triangle n'est pas équilatéral.
L’étudiant cité s’engage dans la tâche à la façon des élèves de primaire et grâce à une
construction utilisant le compas, répond négativement à la question posée. Mais il n’en reste
pas là : il éprouve le besoin de justifier cette première affirmation. Il développe alors un
raisonnement déductif qui s’appuie sur la seule utilisation d’instruments de mesure, sans
recours à la construction.
Ceci peut s'expliquer par le fait que dans un triangle équilatéral, les angles sont égaux et leur
somme vaut 180°. Chacun vaut 60°. Dans ce cas lorsqu'on mesure grâce à un rapporteur, on
remarque que CÂM est supérieur à 60°, CÂM=64°.
Cette réponse, qui montre un certain souci de justification et des connaissances, ne satisfait
pas le professeur de mathématiques qui attend un raisonnement, détaché au maximum4 du
dessin tel que, par exemple : l’angle BAC a pour tangente ½ ; il n’est donc pas égal à 30°;
l’angle complémentaire CAx n’est donc pas égal à 60°.
Notre expérience nous a montré que la réponse en italique n’est pas éloignée, dans son rapport
au dessin, de réponses d’élèves de collège.
Nous pointons ici un malentendu entre réponse de l’étudiant (ou de l’élève) et attendu du
professeur : l’étudiant essaie de justifier sa réponse en « prenant de la hauteur » par rapport
au dessin, le professeur considère la réponse insuffisamment théorique.
Il est à noter que les enseignants de primaire et de secondaire rencontrent tous deux ces
décalages : le premier entre ce qu’il a à savoir pour le concours et ce qu’il aura à enseigner, le
second entre ce qu’il a à enseigner et ce que lui revoient les élèves, issu de leurs expériences
géométriques d’école.
Comment donc permettre aux futurs enseignants de comprendre et gérer ces décalages qui
semblent exister entre traces de géométrie apprise en collège et révisées à l’IUFM et
géométrie à enseigner à l’école, de construire des réponse adaptées aux diverses institutions
qui les évaluent ? Cette question participe à la définition d’une géométrie élémentaire pour le
professeur des écoles.
3.
Un cadre théorique pour penser la géométrie élémentaire
L’expérience de formateur d’enseignants nourrit en questionnements et observables sur la vie
des connaissances mathématiques dans les différents niveaux de scolarité, formation des
enseignants incluse. Nous (Houdement & Kuzniak 1999, 2006, Houdement 2007a, 2007b)5
faisons l’hypothèse que dans l’enseignement, des paradigmes différents sont englobés sous le
terme unique de géométrie et que cette « duplicité » rend compte de malentendus entre élèves
et professeurs, de la « rupture » dans l’enseignement français entre école primaire et collège..
Les travaux de Gonseth (1945-1952) nous ont fourni une base essentielle pour la recherche
d’une épistémologie sous-tendue par l’idée de paradigme : nous avons défini trois paradigmes
géométriques, dont les deux premiers jouent un rôle essentiel dans la scolarité obligatoire, que
nous avons nommés Géométrie I, Géométrie II, Géométrie III.
4
Par contre, dans les exercices classiques, on peut rarement se détacher complètement du dessin : il est utile ici
d’y lire de quelle demi-droite [Ax) il s’agit.
5
Pour une meilleure compréhension des paradigmes et de l’ETG (Espace de Travail Géométrique), nous
renvoyons aux articles cités, plus détaillés.
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Nous n’en dirons pas plus sur le choix du mot paradigme, si ce n’est que, selon le sens que lui
donne Kuhn (1962) dans son ouvrage sur les révolutions scientifiques, cette expression
associée à l’idée de rupture, concilie deux composantes de la formation d’enseignants : des
croyances à des savoirs partagés par une communauté scientifique et une perspective
d’enseignement du paradigme par référence aux pratiques qui en sont constitutives.
La Géométrie I ou « géométrie naturelle »
La Géométrie I a pour source de validation la réalité, le sensible. Le qualificatif de
« naturelle » que nous lui avons attribué à la suite de Gonseth veut refléter l’existence d’une
relation au réel, mais en aucun cas il ne comporte de référence à l’idée de nature opposée à
celle de culture. La Géométrie I correspond déjà à un effort d’abstraction du réel, dans la
mesure où la pensée sélectionne pour s’exercer certains aspects des objets s’ils sont matériels
ou les traduit en schémas épurés (par exemple les figures simples, cercles, carrés...).
L’intuition, l’expérience, mais aussi le raisonnement déductif (comme dans le premier
exercice d’évaluation) s’exercent sur des objets matériels, ou matérialisés, grâce à la
perception ou la mise en œuvre d’expériences mécaniques réelles comme le pliage, le
découpage, l’utilisation d’instruments ou leur pendant virtuel. En ce sens la géométrie
d'Euclide n'est pas de la Géométrie I ; il s'agit plutôt de celle de la première partie du traité de
Clairaut où la déduction peut être liée à une expérience mécanique et où l’esprit doit se libérer
de la démonstration de choses évidentes. Cette Géométrie relève d’une technologie de
l’espace.
La Géométrie II ou « géométrie axiomatique naturelle »
Dans cette Géométrie, la validation se fonde sur les lois hypothético-déductives dans un
système axiomatique aussi précis que possible. La relation avec la réalité subsiste dans le
choix des axiomes, cette géométrie s’est en effet constituée pour organiser (créer un ordre
partiel sur) les connaissances géométriques issues de problèmes spatiaux. L’axiomatisation
proposée est certes une formalisation, mais elle n’est pas formelle car ici la syntaxe n’est pas
coupée de la sémantique qui renvoie à la réalité. D’où la conservation du qualificatif de
« naturelle ». La Géométrie II s’appuie sur une axiomatisation partielle, voire des îlots
d’axiomatisation. Les objets de la Géométrie II sont idéels et aspirent au conceptuel (au sens
de Bunge 1983)
La Géométrie III ou « géométrie axiomatique formelle »
Nous en dirons peu sur ce paradigme. Ses objets sont conceptuels (Bunge 1983) : ils ne sont
définis que par la théorie dans laquelle ils s’insèrent. Le raisonnement hypothético-déductif
est le moteur et la source des nouvelles connaissances. Au contraire de la Géométrie II, les
axiomes de base ont coupé le cordon avec la réalité et l’axiomatisation vise à être complète.
La Géométrie III a émergé avec la naissance des géométries non euclidiennes. Elle est
culturellement peu convoquée, stricto sensu, dans les savoirs de l’école obligatoire.
Les différences entre Géométrie I et Géométrie II sont résumées dans le tableau suivant :
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Mesurage
Statut du
dessin
Preuve
Géométrie I
Licite et producteur de
connaissances
Objet d’étude et de validation
Evidence, contrôle par instrument
(dont la fonction « drag6 » des
logiciels dynamiques)
ou construction effective avec
raisonnement
Géométrie II
Illicite pour la production, licite
pour l’heuristique
Outil heuristique, support du
raisonnement.
Axiomatisation partielle.
Propriétés, théorèmes et « îlots de
démonstration »
Le lecteur aura pointé que le premier exercice cité relève sans ambiguïté de la Géométrie I,
alors que le second relève de la Géométrie II, notamment grâce à l’indication sur le statut du
dessin fourni (à main levée). Le dernier exemple (extrait du CERPE) ne porte pas de trace
explicite de Géométrie II : seule une certaine connaissance du contrat de l’institution dans
laquelle cet exercice est proposé permet d’adapter la réponse à l’attendu de cette institution :
si cet exercice est posé en tout début de collège (11-12 ans), la réponse citée en italique de
l’étudiant offre maintes qualités ; s’il est proposé au-delà de la quatrième (13-14 ans),
l’attendu est un texte de type « petite démonstration » relevant de Géométrie II et la réponse
citée n’est plus appropriée. C’est d’ailleurs le cas de la plupart des exercices « classiques » de
géométrie : le paradigme n’est jamais donné, il est à inférer des contextes d’étude, de contrats
(souvent implicites, liés à certains expressions, par exemple calculer) lié au paradigme licite.
Chemin faisant, le lecteur aura compris que les paradigmes précités ne peuvent fournir qu’un
« horizon de travail » géométrique : en effet le résolveur expert du dernier exercice peut tout à
fait utiliser le rapporteur pour obtenir une idée du résultat _ là il travaille en Géométrie I_
mais produire un texte hypothético-déductif _ là c’est la Géométrie II qui pilote sa réponse.
L’expert sait toujours de quel paradigme relève chaque étape du travail géométrique
(expérimentation et déduction à partir du dessin ET construction de l’argumentation) et adapte
sa réponse au paradigme choisi comme horizon par l’institution (ce que n’a pas réussi
l’étudiant cité en italique). Ainsi les deux paradigmes nourrissent le travail géométrique, l’un
ne disparaît pas au profit de l’autre : mais dans le contrat du collège comme dans celui de la
géométrie du CERPE, c’est la Géométrie II qui pilote le travail géométrique.
C’est pour décrire ce « jeu de paradigmes » que nous (Houdement & Kuzniak 2006,
Houdement 2007a, Houdement 2007b) avons introduit un autre concept, celui d’Espace de
Travail Géométrique (ETG) qui prend en charge la recomposition des paradigmes avec les
objets en jeu et les instruments (matériels, virtuels ou intellectuels).
L’Espace de Travail Géométrique
La notion d’espace est à prendre naïvement au sens d’espace de pensée : s’y insèrent des
objets, des artefacts et un horizon pour le travail géométrique, le paradigme qui pilote in fine
le travail. Le travail consiste en l’établissement d’un rapport entre objets empiriques et
théoriques, il ne doit pas nécessairement déboucher sur la production d’objets concrets.
6
La fonction « drag », en donnant la possibilité de « tirer » sur certains points, de « dé-former » des dessins,
teste le caractère général voire générique des propriétés visibles (ou déclarées par le logiciel) de la trace
graphique obtenue sur l’écran..
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Référentiel théorique
Objets de l’espace local
Espace de Travail
Géométrique
Artefacts
(informatiques ou classiques)
Les objets sont un constituant essentiel de l'espace de travail géométrique et les différents
points de vue sur leur nature exacte dépendent du modèle théorique qui les définit. En
Géométrie II, ce sont les points, droites et plans et autres sous parties de l’espace (les
configurations) ; leurs définitions s’appuient sur notre perception de l’espace environnant et
nous permettent d’utiliser notre intuition perceptive pour les étudier. En Géométrie I, les
objets d’étude sont les dessins ou les maquettes sur lesquelles s’exerce notamment la
visualisation. L’espace est ici un espace de réalité (Malafosse 2002).
Les artefacts sont une composante déterminante de l’espace de travail : dans la géométrie
enseignée, ils constituent pour les élèves la face la plus visible et la plus prégnante.
Cohabitent deux sortes d’artefacts : les instruments géométriques usuels (règle graduée ou
non, équerre, compas) ou moins usuels (calque, ficelle, gabarits….), mais aussi des
instruments intellectuels, notamment les règles théoriques qui régissent le fonctionnement du
système hypothético-déductif. Les seconds concourent à la preuve en Géométrie II, ce sont en
effet les seuls instruments licites de la validation en Géométrie II. Les premiers concourent à
la preuve en Géométrie I (ils aident à clore le problème), nourrissent l’heuristique en
Géométrie II. Les mêmes artefacts peuvent avoir des fonctions différentes sur les mêmes
traces graphiques. L’instrumentalisation (usages de l’artefact, Rabardel 1995) des instruments
de la géométrie diffère selon le paradigme visé.
Le référentiel théorique précise la nature des objets et des artefacts grâce à des définitions et
des relations entre ces objets. La Géométrie II a ainsi émergé d’une organisation théorique des
relations entre des modélisations de différents objets spatiaux. Dans son usage élémentaire, la
Géométrie I est détachée de tout modèle théorique.
L’ETG7 est un concept qui aide à comparer la nature du travail géométrique des différents
niveaux d’action (programmes, professeurs, élèves) dans une institution par rapport à celui
d’un expert.
4.
Des situations de formation
Nous faisons l’hypothèse qu’une connaissance de cette interprétation de la géométrie
élémentaire en différents paradigmes cohérents, simultanés et non hiérarchisés (Houdement &
Kuzniak 2006, Houdement 2007b) permettra aux futurs enseignants de comprendre
l’adaptation de leur réponse à l’attendu d’un exercice géométrique (notamment pour le
concours), de mettre rétrospectivement de la cohérence sur les différentes étapes de leur
7
Pour une analyse plus fine de ce concept, voir Kuzniak (à paraître)
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curriculum géométrique, d’assumer les horizons géométriques des différents cycles
d’enseignement, de choisir l’ETG adapté aux contraintes portant sur la qualité de la réponse.
Se pose donc la question de la formation d’adultes à cette connaissance. Donnons l’exemple
de deux dispositifs de formation, l’un pour les enseignants de primaire, l’autre pour ceux du
secondaire.
L’objectif simultané de la formation géométrique des enseignants de primaire est de revoir et
stabiliser des connaissances géométriques et de diffuser la vision paradigmatique de la
géométrie élémentaire.
Le premier dispositif consiste à proposer aux adultes des exercices d’apparence classiques,
mais suffisamment « provocateurs » pour amener à une réflexion nouvelle ; ce que nous
(Houdement & Kuzniak 2002) avons appelés « Petites provocations didactiques » (PPD). Les
PPD peuvent s’appuyer sur un problème mathématique ou une question d’enseignement : ils
doivent poser question aux adultes dans la mesure : par exemple leur apparence usuelle peut
faire croire que la réponse sera facile à trouver ou qu’il y aura consensus des pairs, ce qui
n’est pas le cas. Le lecteur verra sans doute une analogie avec les situations de débat sur le
savoir mathématique initialisées par Legrand (Legrand 1991), ce savoir étant ici les
mathématiques pour l’enseignant.
Voici l’exemple d’un tel exercice, proposé à des étudiants postulant au professorat des écoles,
de première année d’IUFM. Cet exercice est extrait de
Construire un trapèze convexe dont les côtés mesurent 8 cm 7 cm 5 cm et 2 cm
Combien y a t-il de solutions ? Justifiez
Faisons en l’analyse mathématique, appuyée sur un dessin à main levée. L’exercice comprend
deux volets : constructibilité : existe il un tel trapèze ? Et construction effective : comment
obtenir une trace graphique ? Il est nécessaire de convoquer des théorèmes de constructibilité,
notamment celui du triangle. Il est alors commode de faire apparaître des triangles, technique
de travail sur le dessin pointée par Duval (cf. approche opératoire de Duval 1994). Au moins
deux approches opératoires sont possibles : un triangle sous-figure ou un triangle sur-figure
du trapèze à obtenir. Le lecteur trouvera en annexe 3 la résolution complète.
Il y a 3 solutions à une isométrie près (positive ou négative) qui correspondent aux couples de
mesures des longueurs de côtés parallèles suivants (8,2) ; (7,2) et (5,2).
Reprenons l’étude en termes d’ETG. Le problème posé de produire des trapèzes sous
contraintes peut être regardé, en l’absence de contexte, comme un problème de Géométrie I
ou de Géométrie II. Dans la culture des PE, il se pose souvent en Géométrie I, il s’agit
d’exhiber l’objet répondant aux contraintes, les artefacts sont les instruments géométriques
usuels, le contrat du concours privilégiant in fine règle graduée et compas. Or rester en
Géométrie I, comme le font les étudiants au début, souvent, ne suffit pas à le résoudre ou du
moins pas de façon reproductible (en particulier quand les instruments de tracé sont imposés).
Devant les limites des réponses directement instrumentales, l’utilisation d’un dessin à main
levée permet au résolveur de mobiliser son regard, il peut questionner la constructibilité, donc
évoquer des triangles, des quadrilatères particuliers. L’approche opératoire qui consiste à
rechercher dans le dessin des figures constructibles relève de Géométrie I ; encore faut il que
les longueurs des triangles et quadrilatères puissent se déduire, en Géométrie II, des
longueurs données. Ce raisonnement se fait donc appuyé sur la trace graphique (donc
Géométrie I), mais il est contrôlé en permanence par la Géométrie II, qui est le paradigme
choisi comme horizon. L’objet dessin aide à produire le cheminement argumentatif, mais le
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texte de solution reposera sur les lois hypothético-déductives. Le dessin est objet d’étude pour
le travail heuristique (Géométrie I), mais l’objet considéré dans la démonstration
(Géométrie II), est la figure (toute nouvelle longueur introduite est déductible de celles
données par le texte)… Le dessin « clignote » différemment selon le paradigme considéré
dans l’étape de résolution.
L’Espace de Travail est un concept qui cherche à rendre compte de cette recomposition des
divers éléments en jeu, plutôt des différents statuts des éléments en jeu tout au long du travail.
Les jeux de paradigmes nécessaires pour le travail géométrique permettent aussi peut-être
d’expliquer la non disponibilité a priori du changement de cadre (géométrique versus
numérique) qui fait passer de la constructibilité (pratique) à l’inégalité triangulaire.
Voici donc quelques éléments stables8 du déroulement du travail des étudiants professeurs des
écoles en première année (PE1)
Les étudiants visent délibérément la construction effective aux instruments. Le choix des
mesures des longueurs amène un certain nombre de PE1 à ne pas réussir à obtenir un seul
trapèze, quels que soient les instruments utilisés. Quelques-uns concluent avec certitude que
certains trapèzes n’existent pas. Par exemple, ils tracent un premier segment, de longueur
8 cm, puis deux cercles dont les centres sont les extrémités de ce segment et les rayons les
deux autres longueurs données (par exemple 5 cm et 2 cm) ; ils utilisent ensuite un gabarit du
dernier segment (ici 7 cm) qu’ils font glisser parallèlement au premier segment et constatent
qu’il ne « touche » jamais exactement les deux cercles. D’autres découvrent ainsi « par
hasard » comme ils le disent eux mêmes, un trapèze solution.
Si nécessaire, le professeur relance alors le questionnement : pourquoi tel trapèze est possible
et tel autre ne l’est pas ? Pourrait-on prévoir la faisabilité du trapèze pressenti ?
Le regard sur l’objet à construire change alors : l’objet doit être anticipé, il devient idéel.
La stratégie précédente, constructive, est calculable : il s’agit de déterminer quelle est la
longueur maximale du dernier segment (côté parallèle) fermant le trapèze. Mais l’entrée dans
ce calcul reste complexe. Nous préférons entraîner les étudiants vers une stratégie analytique.
Il est important alors de se figurer l’objet fini9 : le « dessin à main levée » est introduit comme
outil d’analyse, il oriente le questionnement sur les longueurs et l’inférence de connaissances
de constructibilité. Quelles figures sait-on construire a priori ? Les PE1 pensent spontanément
à un rectangle qu’ils tentent de plaquer sur le dessin à main levée, mais cette approche
n’aboutit pas car les nouvelles longueurs ne sont pas déductibles des longueurs connues. Se
construit alors la nécessité de faire apparaître des figures constructibles avec des longueurs
déductibles des longueurs données.
Les deux procédures signalées en annexe apparaissent avec d’abord une prédominance d’un
triangle comme sur-figure et une certaine difficulté à utiliser à bon escient le théorème de
Thalès, puis une sorte de repli vers la procédure de découpage en parallélogramme et triangle.
La recherche de la constructibilité du trapèze se poursuit, soit dans un cadre géométrique, en
testant effectivement la construction des triangles obtenus, soit dans un cadre numérique
grâce à l’inégalité triangulaire.
L’analyse des différentes positions nécessaires ou occupées au cours de la résolution de cet
exercice permet au professeur de donner sens aux paradigmes géométriques Géométrie I et
Géométrie II et de préciser leurs caractéristiques. Si l’exercice semble relever a priori de la
Géométrie I, il est nécessaire de changer de paradigme pour avancer : la condition d’existence
8
9
Cet exercice a été expérimenté plusieurs années dans plusieurs groupes de PE1.
L’entrée dans une démarche analyse-synthèse est en général déclenchée par le formateur.
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du triangle en fonction de ses longueurs est une connaissance de Géométrie II qui peut
s’opérationnaliser en Géométrie I. Le travail géométrique à fournir pour résoudre cet exercice
nécessite ainsi une synthèse entre des connaissances de Géométrie I (notamment l’approche
opératoire du dessin) et des connaissances de Géométrie II. Il peut aussi donner corps à une
connaissance de Géométrie II, l’inégalité triangulaire (au sens large) et son versant
Géométrie I, la forme plus ou moins aplatie du triangle.
Sont donc en jeu dans cet exercice Géométrie I et Géométrie II, avec des spécificités qu’il est
possible de pointer. Ici la Géométrie II joue le rôle de technologie (au sens de Chevallard)
pour la Géométrie I, ce qui est une des raisons de son enseignement en formation. Ce n’est
pas toujours le cas, notamment dans certaines pratiques professionnelles (métiers d’art ou du
bâtiment).
C’est aussi l’occasion de définir le contrat implicite du concours : le candidat PE au concours
est évalué en Géométrie II (validée par la référence à des propriétés arrêtées et textuelles dans
un cadre axiomatique) bien que son rôle de professeur des écoles consiste à faire travailler les
élèves essentiellement en Géométrie I (validée par le réel contingent et les instruments).
Il est cependant important de préciser, en formation, que les deux paradigmes participent au
travail géométrique dans la géométrie enseignée (exercices de collège et au-delà) : l’expert
sait à tout moment quel horizon il assigne à son travail, à l’étudiant PE de se forger une même
attitude.
La provocation faite aux étudiants à l’occasion de cet exercice résulte dans l’apparence
impossibilité à construire alors qu’une intuition contraire les pousse à croire à l’existence de
tels trapèzes. Les étudiants sont alors amenés à convoquer tous les savoir-faire instrumentaux
classiques, à développer d’autres pratiques, comme peuvent le faire des élèves de primaire
(faire glisser une règle), puis à s’interroger sur le rôle des instruments (instruments matériels
et intellectuels).
Le second dispositif, que nous allons décrire brièvement, concerne les professeurs du
secondaire. Il a été mis au point par notre collègue J.C.Rauscher (Kuzniak & Rauscher 2004)
de l’IUFM de Strasbourg. Il consiste dans une première phase à proposer un exercice à ETG
ambigu10, extrait d’un manuel scolaire, à une population d’élèves de collège, recueillir leurs
réponses écrites, trier parmi les réponses quatre réponses à ETG différents ; dans une seconde
phase de demander à des adultes futurs enseignants ou enseignants en formation continue, par
écrit, de faire cet exercice, de soulever les difficultés susceptibles d’être rencontrées par les
élèves, puis d’évaluer les quatre réponses d’élèves, de choisir celle la plus proche de leur
propre réponse et de soulever les questions que leur suggère cette demande. Ce dispositif
permet d’une part de pointer les diverses facettes de la géométrie, stigmatisées en paradigmes
Géométrie I / Géométrie II et sollicitées dans tout travail géométrique, de révéler les ETG
personnels et de les positionner par rapport aux ETG institutionnels.
5.
Conclusion
Les enseignants chercheurs en IUFM (France) ont une double fonction : d’une part
didacticiens des mathématiques, ils contribuent à l’enrichissement des savoirs savants de la
didactique dont les observables sont tous les faits d’enseignement. D’autre part formateurs
d’enseignants, ils construisent des dispositifs transpositifs de ces savoirs savants, sur lesquels
10
On parlera d’un exercice à ETG ambigu quand l’énoncé de l’exercice ne permet pas de décider quel est
l’horizon paradigmatique.
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ils peuvent aussi mener des recherches. Cet article montre différents aspects de cette
articulation, concernant la géométrie élémentaire.
Nos recherches sur la formation des professeurs des écoles nous ont conduit à construire un
cadre d’essence épistémologique pour analyser les ruptures entre géométrie du primaire et
géométrie du secondaire. Ce cadre est une approche paradigmatique de la géométrie
élémentaire enseignée, essentiellement en deux paradigmes, non hiérarchisés, tous deux
cohérents et efficaces. Il est apparu que les paradigmes servaient aussi à décrire l’activité
cognitive du sujet, fixant le référent théorique de son travail géométrique : l’espace de travail
géométrique décrit cette recomposition ternaire (objets, instruments, référent théorique).
C’est une facette du travail de didacticien : prendre une certaine distance face à l’orthodoxie
savante pour construire une nouvelle épistémologie plus apte à rendre cohérent
l’enseignement. Ces savoirs, nouveaux par rapport à ceux du mathématicien, et pourtant
mathématiques, font partie des savoirs du professeur.
En tant que formateur d’enseignants, nous avons construit des situations de formations
dispensant ces nouveaux savoirs. Nous avons stabilisé un type d’approche que nous avons
décrit sous le terme de PPD (Petite Provocation Didactique) ; situations relativement proches
de la pratique ordinaire de l’enseignant suscitant un débat sur des mathématiques pour
l’enseignant, qu’elles soient savoirs académiques revisités ou savoirs mathématiques
nouveaux débusqués par la didactique. C’est la deuxième facette de notre travail d’enseignant
chercheur.
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