Première ES DS1 second degré 2014

Première ES
DS1 second degré
2014-2015 S1
Exercice 1 : (3 points)
Soit la parabole
 d’équation y = 25x² - 10x + 1.
On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J).
1) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de
 avec les axes du
repère.
2) Déterminer la position de  par rapport à l’axe des abscisses.
3) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole
.
4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère.
Exercice 2 : Bénéfice d’une entreprise (5 points)
Une entreprise propose des objets que d’autres sociétés peuvent faire personnaliser à
leur nom pour les utiliser comme support publicitaire. Les contraintes de fabrication
imposent une production comprise entre 400 et 1 200 unités.
Le coût de production (exprimé en euro) est donné en fonction du nombre n d’objets
fabriqués par :
C(n) = -0,002n² + 5n + 4 000.
Le prix de vente de n objets (en euros) est donné par la relation :
P(n) = 4n + 3 880.
1) Soit R le résultat pour la vente de n objets.
Montrer que R(n) = 0,002n² - n – 120.
2) Déterminer le nombre d’objets à partir duquel l’entreprise réalise un bénéfice.
Exercice 3 : (2 points)
En augmentant de 5 cm la longueur l du côté d’un carré, on augmente son aire de 44%.
1) Montrer que le problème revient à résoudre l’équation : 0,44l² - 10l - 25 = 0.
2) En déduire la longueur du côté initial.
1
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DS1 second degré
2014-2015 S2
Exercice 1 : (3 points)
Soit la parabole
 d’équation y = -4x² + 11x + 3.
On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J).
1) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de
 avec les axes du
repère.
2) Déterminer la position de  par rapport à l’axe des abscisses.
3) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole
.
4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère.
Exercice 2 : rentabilité d’une production (5 points)
Une entreprise produit des téléviseurs 3D.
Le coût de production C(n), exprimé en milliers d’euros pour n articles, est donné
par la fonction C avec :
C(n) = 0,02n² - 2n + 98
pour n appartenant à l’intervalle [50 ;150].
1) Chaque article étant vendu 1 500 €, calculer le montant V(n), exprimé en milliers
d’euros, pour la vente de n articles.
2) On note B(n) le bénéfice pour n articles vendus.
Montrer que B(n) = -0,02n² + 3,5n – 98.
3) Déterminer l’intervalle des valeurs de n pour lesquelles la production est
rentable.
Exercice 3 : (2 points)
La somme d’un réel x et de son inverse est
58
.
21
Quels sont ces deux réels ?
1) Montrer que le problème se traduit par l’équation : 21x² - 58x + 21 = 0.
2) Résoudre cette équation et donner les deux nombres cherchés.
2
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CORRECTION
2014-2015 S1
Exercice 1 : (3 points)
Soit la parabole
 d’équation y = -4x² + 11x + 3.
On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J).
1) Déterminer les coordonnées des points d’intersection de
 avec les axes du
repère.
2) Déterminer la position de  par rapport à l’axe des abscisses.
3) Déterminer les coordonnées du sommet S de la parabole
.
4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère.
1) Point d’intersection de
 avec l’axe des ordonnées :
Ce point a pour abscisse 0.
Or 250² - 100 + 1 = 11.
Le point d’intersection de
Point(s) d’intersection de
 avec l’axe des ordonnées est A(0 ;1).
 avec l’axe des abscisses
L’abscisse des éventuels points d’intersection de
 avec l’axe des abscisses vérifient
l’équation :
25x² - 10x + 1 = 0
On calcule le discriminant :  = (-10)² - 4251 = 0.
Comme  = 0, cette équation admet une solution :
x0 = -
b 10 1
=
=
2a 50 5
 1 
.
Le point d’intersection de la parabole P avec l’axe des abscisse est B0;
 5 
2) On étudie le signe de 25x² - 10x + 1.
Méthode 1 : (résultat du cours).
Comme  = 0 et a = 25 > 0, alors 25x² - 10x + 1 > 0 pour x 
1
et 25x² - 10x + 1 = 0 pour
5
1
.x = .
5
Donc la parabole  est au dessus de l’axe des abscisses pour x 
l’axe des abscisses pour x =
1
et est tangente à
5
1
(au point B).
5
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CORRECTION
2014-2015 S1
Méthode 2 : on factorise le polynôme du second degré et on fait un tableau de signes.
25x² - 10x + 1 = (5x)² - 25x1 + 1² = (5x – 2)²
Tableau de signes :
x
2
5
–∞
(5x – 2)²
+
0
3) L’abscisse du sommet de la parabole est –
+∞
+
b 1
= .
2a 5
 1 ²
25
1
Son ordonnée est : 25  - 10 + 1 =
-2+1=1–2+1=0
25
5
5
 1 
.
Le sommet S de la parabole est donc aussi le point B0;
 5 
4) Vérification graphique :
On retrouve bien les points A et B avec les bonnes coordonnées.
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CORRECTION
2014-2015 S1
Exercice 2 : Bénéfice d’une entreprise (5 points)
Une entreprise propose des objets que d’autres sociétés peuvent faire personnaliser à leur
nom pour les utiliser comme support publicitaire. Les contraintes de fabrication imposent
une production comprise entre 400 et 1 200 unités.
Le coût de production (exprimé en euro) est donné en fonction du nombre n d’objets
fabriqués par :
C(n) = -0,002n² + 5n + 4 000.
Le prix de vente de n objets (en euros) est donné par la relation :
P(n) = 4n + 3 880.
1) Soit R le résultat pour la vente de n objets.
Montrer que R(n) = 0,002n² - n – 120.
2) Déterminer le nombre d’objets à partir duquel l’entreprise réalise un bénéfice.
1) On a R(n) = P(n) – C(n) = 4n + 3880 – (-0,002n² + 5n + 4 000)
Soit R(n) = 0,002n² + 4n – 5n + 3880 – 4000 = 0,002n² - n – 120.
2) On résout l’inéquation R(n) > 0.
Soit 0,002n² - n – 120 > 0
Le discriminant de l’équation du second degré associée est :
 = (-1)² - 40,002(-120) = 1 + 0,96 = 1,96 = 1,4².
Les deux solutions de l’équation du second degré associée sont :
n1 =
1 – 1,4
-0,4
1 + 1,4
2,4
=
= - 100 et n2 =
=
= 600
20,002 0,004
20,002 0,004
Comme 0,002 > 0, alors R(n) > 0 si n < -100 ou si n > 600.
Comme n  [400 ;1200], on en conclut que l’entreprise réalise un bénéfice à partir
de 600 objets fabriqués.
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CORRECTION
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Vérification graphique n° 1 :
On trace dans un même repère le segment de droite associée à la fonction affine P
et l’arc de parabole associée à la fonction polynôme du second degré C pour des
valeurs de n comprises entre 400 et 1 200.
On détermine les abscisses des points de la droite qui se situent au dessus de la
parabole.
On retrouve bien l’intervalle ]600 ;1200[.
Vérification graphique n° 2 :
On trace dans un repère l’arc de parabole associé à la fonction polynôme du second
degré R sur l’intervalle [400 ;1200].
Et on lit graphiquement les abscisses des points de la courbe situés au dessus de
l’axe des abscisses.
On retrouve bien l’intervalle ]600 ;1200[.
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DS1 second degré
CORRECTION
2014-2015 S1
Exercice 3 : (2 points)
En augmentant de 5 cm la longueur l du côté d’un carré, on augmente son aire de 44%.
1) Montrer que le problème revient à résoudre l’équation : 0,44l² - 10l - 25 = 0.
2) En déduire la longueur du côté initial.
1) Soit l la longueur du côté du carré initial et S son aire correspondante.
On a S = l²
Une augmentation de 44% correspond à un coefficient multiplicatif de 1 +
44
= 1,44.
100
On a donc : 1,44S = (l + 5)²
Soit 1,44l² = (l + 5)²
Soit : 1,44l² = l² + 10l + 25
Soit 0,44l² - 10l - 25 = 0
2) On calcule le discriminant :  = (-10)² - 40,4425) = 144 = 12²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
10 – 12 -2
=
<0
0.88 0.88
l1 =
et l2 =
10+12
= 25
0.88
Seule la solution positive convient.
Le côté mesurait donc initialement 25 cm.
Vérification :
Aire initiale = 25² = 625 cm²
Aire finale = 30² = 900 cm²
Et
900
= 1,44 soit bien une augmentation de 44%.
625
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DS1 second degré
CORRECTION
2014-2015 S2
Exercice 1 : (3 points)
Soit la parabole
 d’équation y = -4x² + 11x + 3.
On considère cette parabole représentée dans un repère (O ;I,J).
Déterminer :
1) les coordonnées des points d’intersection de
 avec les axes du repère.
2) la position de  par rapport à l’axe des abscisses.
3) Les coordonnées du sommet S de la parabole
.
4) Vérifier vos résultats en traçant la parabole dans un repère.
1) Point d’intersection de
 avec l’axe des ordonnées :
Ce point a pour abscisse 0.
Or -40² + 110 + 3 = 3.
Le point d’intersection de
Point(s) d’intersection de
 avec l’axe des ordonnées est A(0 ;3).
 avec l’axe des abscisses
L’abscisse des éventuels points d’intersection de
 avec l’axe des abscisses vérifient
l’équation :
-4x² + 11x + 3 = 0
On calcule le discriminant :  = (11)² - 4(-4)3 = 121 + 48 = 169 = 13².
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 =
-11 – 13
-11 + 13
2
1
= 3 et x2 =
=- =-8
-8
8
4
 1 
Les points d’intersection de la parabole P avec l’axe des abscisses sont B - ; 0 et
 4 
C(3 ;0).
2) On étudie le signe de -4x² + 11x + 3.
Méthode 1 : (résultat du cours).
1
-4x² + 11x + 3est du signe de -4 sur -  ; -   [3; +  [ et de signe contraire à -4
4

1
sur - ; 3.
 4 
Méthode 2 : on factorise le polynôme du second degré et on fait un tableau de
signes.
8
Première ES
DS1 second degré
CORRECTION

-4x² + 11x + 3 = -4x +

2014-2015 S2
1
(x – 3)
4
Tableau de signes :
1
4
–
–∞
x
-4x² + 11x +3
Donc la parabole
-
0
+∞
3
+
0
1
 est en dessous de l’axe des abscisses si x  -  ; - 4   [3 ; + [


1
et au dessus de l’axe des abscisses si x  - ; 3 .
 4

3) L’abscisse du sommet de la parabole est –
b 11
= .
2a 8
11²
-121 242 48 169
11
121 121
Son ordonnée est : -4  + 11 + 3 = -4
+
+3=
+
+
=
8
16
16
16 16
8
64
8
11 169
.
Les coordonnées de S sont donc  ; 8 16 
4)
On retrouve bien les points A ; B, C et S avec les bonnes coordonnées.
 169

= -10,5625
 16

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Première ES
DS1 second degré
CORRECTION
2014-2015 S2
Exercice 2 : rentabilité d’une production (5 points)
Une entreprise produit des téléviseurs 3D.
Le coût de production C(n), exprimé en milliers d’euros pour n articles, est donné
par la fonction C avec :
C(n) = 0,02n² - 2n + 98
pour n appartenant à l’intervalle [50 ;150].
1) Chaque article étant vendu 1 500 €, calculer le montant V(n), exprimé en milliers
d’euros, pour la vente de n articles.
2) On note B(n) le bénéfice pour n articles vendus.
Montrer que B(n) = -0,02n² + 3,5n – 98.
3) Déterminer l’intervalle des valeurs de n pour lesquelles la production est
rentable.
1) Comme 1500 = 1,5 milliers, on a V(n) = 1,5n
2) B(n) = V(n) – C(n) = 1,5n – (0,02n² - 2n + 98) = -0,02n² + 2n + 1,5n – 98
Soit B(n) = -0,02n² + 3,5n – 98
3) On résout l’inéquation B(n) > 0.
B(n) > 0

-0,02n² + 3,5n – 98 > 0
Le discriminant de l’équation du second degré associée est :
 = 3,5² - 4(-0,02)(-98) = 4,41 = 2,1².
Les deux solutions de l’équation du second degré associée sont :
n1 =
-3,5 – 2,1 -5,6
-3,5 + 2,1
-1,4
=
= 140 et n2 =
=
= 35
2(-0,02) -0,04
2(-0,02) -0,04
Comme -0,02 < 0, alors B(n) > 0 si 35 < n < 140
Comme n  [50 ;150], on en conclut que l’entreprise réalise un bénéfice pour un
nombre d’articles produits entre 50 et 140.
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Première ES
DS1 second degré
CORRECTION
2014-2015 S2
Vérification graphique n° 1 :
On trace dans un même repère le segment de droite associée à la fonction linéaire V et
l’arc de parabole associée à la fonction polynôme du second degré B pour des valeurs de
n comprises entre 50 et 150.
On détermine les abscisses des points de la droite qui se situent au dessus de la
parabole.
On retrouve l’intervalle [50 ;140].
Vérification graphique n° 2 :
On trace dans un repère l’arc de parabole associé à la fonction polynôme du second
degré B sur l’intervalle [50 ;150].
Et on lit graphiquement les abscisses des points de la courbe situés au dessus de l’axe
des abscisses.
On retrouve l’intervalle [50 ;140].
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Première ES
DS1 second degré
CORRECTION
La somme d’un réel x et de son inverse est
2014-2015 S2
58
.
21
Quels sont ces deux réels ?
1) Montrer que le problème se traduit par l’équation : 21x² - 58x + 21 = 0.
2) Résoudre cette équation et donner les deux nombres cherchés.
Soit x le réel cherché.
On a x +
Soit
1 58
=
x 21
x² + 1 58
=
x
21
Soit 21(x² + 1) = 58x
(avec un produit en croix).
On résout cette équation de degré 2.
21(x² + 1) = 58x

21x² - 58x + 21 = 0
On calcule le discriminant :  = (-58)² - 42121 = 1600 = 40²
Comme  > 0, cette équation admet deux solutions distinctes :
x1 =
58 – 40 18 3
=
=
42
42 7
Les deux nombres cherchés sont donc
et x2 =
58 + 40 98 7
=
=
42
42 3
3
7
et .
7
3
Vérification :
3 7 33 + 77 9 + 49 58
+ =
=
=
7 3
21
21
21
12