Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier

Partie 2 - Séquence 2
Convergence des séries de Fourier
Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
I. Conditions de Dirichlet
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
I. Conditions de Dirichlet
Définition
Soit f une fonction périodique de période T . On dit que f satisfait
aux conditions de Dirichlet si :
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
I. Conditions de Dirichlet
Définition
Soit f une fonction périodique de période T . On dit que f satisfait
aux conditions de Dirichlet si :
Sur une période, sauf éventuellement en un nombre fini de
points, f est définie, continue, dérivable et admet une dérivée
continue.
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
I. Conditions de Dirichlet
Définition
Soit f une fonction périodique de période T . On dit que f satisfait
aux conditions de Dirichlet si :
Sur une période, sauf éventuellement en un nombre fini de
points, f est définie, continue, dérivable et admet une dérivée
continue.
En ces points particuliers, f et f ′ admettent des limites finies
à gauche et à droite.
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
I. Conditions de Dirichlet
Définition
Soit f une fonction périodique de période T . On dit que f satisfait
aux conditions de Dirichlet si :
Sur une période, sauf éventuellement en un nombre fini de
points, f est définie, continue, dérivable et admet une dérivée
continue.
En ces points particuliers, f et f ′ admettent des limites finies
à gauche et à droite.
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple (suite)
y
2
1 •
−3
−2
•
1
−1
−1
2
3
4
5
6
7
x
•
−2
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple (suite)
y
2
1 •
−3
−2
•
1
−1
−1
2
3
4
5
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7
x
•
−2
Cette fonction satisfait aux conditions de Dirichlet, en effet :
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple (suite)
y
2
1 •
−3
−2
•
1
−1
−1
2
3
4
5
6
7
x
•
−2
Cette fonction satisfait aux conditions de Dirichlet, en effet :
Sauf aux points t = kπ, f est une fonction continue, dérivable
(f ′ (t) = 0) et f ′ est bien continue.
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple (suite)
y
2
1 •
−3
−2
•
1
−1
−1
2
3
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5
6
7
x
•
−2
Cette fonction satisfait aux conditions de Dirichlet, en effet :
Sauf aux points t = kπ, f est une fonction continue, dérivable
(f ′ (t) = 0) et f ′ est bien continue.
Aux points t = kπ, f et f ′ admettent des limites finies à
droite et à gauche (1 ou −1 pour f et 0 pour f ′ ).
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
II. Théorème de Dirichlet
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
II. Théorème de Dirichlet
Théorème
Soit f une fonction périodique de période T satisfaitant aux
conditions de Dirichlet, alors :
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
II. Théorème de Dirichlet
Théorème
Soit f une fonction périodique de période T satisfaitant aux
conditions de Dirichlet, alors :
Si f est continue en t0 alors la série de Fourier associée à f
converge en t0 vers f(t0 ).
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
II. Théorème de Dirichlet
Théorème
Soit f une fonction périodique de période T satisfaitant aux
conditions de Dirichlet, alors :
Si f est continue en t0 alors la série de Fourier associée à f
converge en t0 vers f(t0 ).
Si f n’est pas continue en t0 alors la série de Fourier associée
à f converge en t0 vers
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
II. Théorème de Dirichlet
Théorème
Soit f une fonction périodique de période T satisfaitant aux
conditions de Dirichlet, alors :
Si f est continue en t0 alors la série de Fourier associée à f
converge en t0 vers f(t0 ).
Si f n’est pas continue en t0 alors la série de Fourier associée
à f converge en t0 vers
−
f(t+
0 ) + f(t0 )
2
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
II. Théorème de Dirichlet
Théorème
Soit f une fonction périodique de période T satisfaitant aux
conditions de Dirichlet, alors :
Si f est continue en t0 alors la série de Fourier associée à f
converge en t0 vers f(t0 ).
Si f n’est pas continue en t0 alors la série de Fourier associée
à f converge en t0 vers
−
f(t+
0 ) + f(t0 )
2
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
II. Théorème de Dirichlet
Théorème
Soit f une fonction périodique de période T satisfaitant aux
conditions de Dirichlet, alors :
Si f est continue en t0 alors la série de Fourier associée à f
converge en t0 vers f(t0 ).
Si f n’est pas continue en t0 alors la série de Fourier associée
à f converge en t0 vers
−
f(t+
0 ) + f(t0 )
2
avec f(t−
0 ) = lim− f(t)
t→t0
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
II. Théorème de Dirichlet
Théorème
Soit f une fonction périodique de période T satisfaitant aux
conditions de Dirichlet, alors :
Si f est continue en t0 alors la série de Fourier associée à f
converge en t0 vers f(t0 ).
Si f n’est pas continue en t0 alors la série de Fourier associée
à f converge en t0 vers
−
f(t+
0 ) + f(t0 )
2
+
avec f(t−
0 ) = lim− f(t) et f(t0 ) = lim+ f(t).
t→t0
t→t0
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a vu que f satisfait les conditions de Dirichlet, donc d’après le
théorème de Dirichlet :
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a vu que f satisfait les conditions de Dirichlet, donc d’après le
théorème de Dirichlet :
Si t 6= kπ alors la série de Fourier de f converge vers f et on peut
alors écrire :
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a vu que f satisfait les conditions de Dirichlet, donc d’après le
théorème de Dirichlet :
Si t 6= kπ alors la série de Fourier de f converge vers f et on peut
alors écrire :
f(t) =
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a vu que f satisfait les conditions de Dirichlet, donc d’après le
théorème de Dirichlet :
Si t 6= kπ alors la série de Fourier de f converge vers f et on peut
alors écrire :
f(t) =
+∞
X
4
sin((2p + 1)t)
(2p
+
1)π
p=0
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a vu que f satisfait les conditions de Dirichlet, donc d’après le
théorème de Dirichlet :
Si t 6= kπ alors la série de Fourier de f converge vers f et on peut
alors écrire :
+∞
X
4
sin(3t)
4
f(t) =
sin(t) +
sin((2p + 1)t) =
+ ...
(2p + 1)π
π
3
p=0
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a vu que f satisfait les conditions de Dirichlet, donc d’après le
théorème de Dirichlet :
Si t 6= kπ alors la série de Fourier de f converge vers f et on peut
alors écrire :
+∞
X
4
sin(3t)
4
f(t) =
sin(t) +
sin((2p + 1)t) =
+ ...
(2p + 1)π
π
3
p=0
Si t = kπ alors f est discontinue donc d’après le théorème de
Dirichlet, la série de Fourier associée à f converge vers
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a vu que f satisfait les conditions de Dirichlet, donc d’après le
théorème de Dirichlet :
Si t 6= kπ alors la série de Fourier de f converge vers f et on peut
alors écrire :
+∞
X
4
sin(3t)
4
f(t) =
sin(t) +
sin((2p + 1)t) =
+ ...
(2p + 1)π
π
3
p=0
Si t = kπ alors f est discontinue donc d’après le théorème de
Dirichlet, la série de Fourier associée à f converge vers
−
f(t+
0 ) + f(t0 )
2
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a vu que f satisfait les conditions de Dirichlet, donc d’après le
théorème de Dirichlet :
Si t 6= kπ alors la série de Fourier de f converge vers f et on peut
alors écrire :
+∞
X
4
sin(3t)
4
f(t) =
sin(t) +
sin((2p + 1)t) =
+ ...
(2p + 1)π
π
3
p=0
Si t = kπ alors f est discontinue donc d’après le théorème de
Dirichlet, la série de Fourier associée à f converge vers
−
1 + (−1)
f(t+
0 ) + f(t0 )
=
2
2
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple
Soit f la fonction de période 2π définie par
1 sur [0; π[
f(x) =
−1 sur [π; 2π[
On a vu que f satisfait les conditions de Dirichlet, donc d’après le
théorème de Dirichlet :
Si t 6= kπ alors la série de Fourier de f converge vers f et on peut
alors écrire :
+∞
X
4
sin(3t)
4
f(t) =
sin(t) +
sin((2p + 1)t) =
+ ...
(2p + 1)π
π
3
p=0
Si t = kπ alors f est discontinue donc d’après le théorème de
Dirichlet, la série de Fourier associée à f converge vers
−
1 + (−1)
f(t+
0 ) + f(t0 )
=
=0
2
2
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
Exemple (suite)
y
2
1•
−1
−1
•
1
2
3
•
4
5
6
7 x
−2
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Exemple (suite)
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•
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−2
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Exemple (suite)
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Exemple (suite)
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1•
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−1
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•
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•
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Exemple (suite)
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•
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1•
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Exemple (suite)
y
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y
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1•
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•
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y
2
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−1
•
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•
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•
4
5
6
7 x
−2
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
III. Application au calcul de sommes
Exemple
On a vu que pour la fonction f étudiée précedemment, si t 6= kπ alors :
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
III. Application au calcul de sommes
Exemple
On a vu que pour la fonction f étudiée précedemment, si t 6= kπ alors :
sin(3t)
4
sin(t) +
+ ...
f(t) =
π
3
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
III. Application au calcul de sommes
Exemple
On a vu que pour la fonction f étudiée précedemment, si t 6= kπ alors :
sin(3t)
4
sin(t) +
+ ...
f(t) =
π
3
Et donc en prenant par exemple t =
π
2,
on obtient :
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
III. Application au calcul de sommes
Exemple
On a vu que pour la fonction f étudiée précedemment, si t 6= kπ alors :
sin(3t)
4
sin(t) +
+ ...
f(t) =
π
3
Et donc en prenant par exemple t =
f
π
2
π
2,
on obtient :
=
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
III. Application au calcul de sommes
Exemple
On a vu que pour la fonction f étudiée précedemment, si t 6= kπ alors :
sin(3t)
4
sin(t) +
+ ...
f(t) =
π
3
Et donc en prenant par exemple t =
f
π
2
4
=
π
sin
π
2
+
π
2,
sin
on obtient :
3π
2
3
+
sin
5π
2
5
+ ...
!
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
III. Application au calcul de sommes
Exemple
On a vu que pour la fonction f étudiée précedemment, si t 6= kπ alors :
sin(3t)
4
sin(t) +
+ ...
f(t) =
π
3
Et donc en prenant par exemple t =
f
π
2
4
=
π
sin
π
2
+
π
2,
sin
on obtient :
3π
2
3
+
sin
5π
2
5
+ ...
!
On en déduit :
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
III. Application au calcul de sommes
Exemple
On a vu que pour la fonction f étudiée précedemment, si t 6= kπ alors :
sin(3t)
4
sin(t) +
+ ...
f(t) =
π
3
Et donc en prenant par exemple t =
f
π
2
4
=
π
sin
On en déduit :
1=
4
π
π
2
+
1−
π
2,
sin
on obtient :
3π
2
3
+
5π
2
sin
1 1 1
+ − + ...
3 5 7
5
+ ...
!
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
III. Application au calcul de sommes
Exemple
On a vu que pour la fonction f étudiée précedemment, si t 6= kπ alors :
sin(3t)
4
sin(t) +
+ ...
f(t) =
π
3
Et donc en prenant par exemple t =
f
π
2
4
=
π
sin
On en déduit :
1=
4
π
π
2
+
1−
π
2,
sin
on obtient :
3π
2
3
+
5π
2
sin
1 1 1
+ − + ...
3 5 7
5
+ ...
!
Et donc :
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
III. Application au calcul de sommes
Exemple
On a vu que pour la fonction f étudiée précedemment, si t 6= kπ alors :
sin(3t)
4
sin(t) +
+ ...
f(t) =
π
3
Et donc en prenant par exemple t =
f
π
2
4
=
π
sin
On en déduit :
1=
4
π
π
2
+
1−
π
2,
sin
on obtient :
3π
2
3
+
5π
2
sin
1 1 1
+ − + ...
3 5 7
5
+ ...
!
Et donc :
1−
1 1 1
π
+ − + ... =
3 5 7
4
Partie 2 - Séquence 2 Convergence des séries de Fourier
III. Application au calcul de sommes
Exemple
On a vu que pour la fonction f étudiée précedemment, si t 6= kπ alors :
sin(3t)
4
sin(t) +
+ ...
f(t) =
π
3
Et donc en prenant par exemple t =
f
π
2
4
=
π
sin
On en déduit :
1=
4
π
π
2
+
1−
π
2,
sin
on obtient :
3π
2
3
+
5π
2
sin
1 1 1
+ − + ...
3 5 7
5
+ ...
!
Et donc :
1−
1 1 1
π
+ − + ... =
3 5 7
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