Représentation et analyse des syst`emes linéaires PC 7

Représentation et analyse
des systèmes linéaires
PC 7
Performance des systèmes bouclés
Spécifications fréquentielles de performance
r +
ζ
K(p)
b
+
+
ν
u
−
G(p)
2
y
+
+
w
-
Relation
Relation
Relation
Relation
1
2
3
4
:
:
:
:
y(p) = S(p)G(p)b(p) + T (p)(r(p) − w(p))
ǫ(p) = S(p)r(p) − S(p)G(p)b(p) + T (p)w(p)
u(p) = K(p)S(p)(r(p) − w(p)) − T (p)b(p)
ν(p) = K(p)S(p)(r(p) − w(p)) + S(p)b(p)
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Rejet de perturbation
3
- Pour que b ait peu d’influence sur y : |G(jω)S(jω)| ≪ 1
- Pour que b ait peu d’influence sur ν : |S(jω)| ≪ 1
ω < ωb
|S(jω)| ≪ 1
|K(jω)G(jω)| ≫ 1
|T (jω)| ∼ 1
y ∼ (r − w) et ǫ ∼ w :
ωb < ωh
u ∼ G−1 (r − w) − b et ν ∼ G−1 (r − w) :
ωb < ωco
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Réduction du bruit de mesure
4
- Pour que w ait peu d’influence sur y : |T (jω)| ≪ 1
- Pour que w ait peu d’influence sur ν : |K(jω)S(jω)| ≪ 1
ω > ωh
|S(jω)| ∼ 1
|K(jω)G(jω)| ≪ 1
|T (jω)| ≪ 1
y ∼ Gb et ǫ ∼ r − Gb :
ωco < ωh
u ∼ K(r − w) et ν ∼ b + K(r − w) :
ωb < ωh
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Suivi de référence et précision
5
ω < ωb
|S(jω)| ≪ 1
|K(jω)G(jω)| ≫ 1
|T (jω)| ∼ 1
➥ Erreur :
ǫ(p) = S(p)r(p) =
r(p)
1 + K(p)G(p)
➥ Th. de la valeur finale :
lim ǫ(t) = ǫ(∞) = lim pǫ(p) = lim pS(p)r(p)
t→∞
p→0
p→0
❒ Théorème 1 : règle des intégrateurs
Afin d’annuler l’erreur en régime permanent à une entrée transitoire r(p), la boucle ouverte
doit comprendre au moins autant d’intégrateurs que le signal r(p) en contient
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Modelage de boucle : loopshaping
6
− perturbation b
|L| dB
− suivi de référence
111111111
000000000
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
000000000
111111111
− règle des intégrateurs
ωh
ωb
ωco
Condition de roll-off
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
00000000000000000000
11111111111111111111
0
1
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
− bruit de mesure
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
00000000000000000000
11111111111111111111
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ω rad/s
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Comportement aux pulsations intermédiaires
7
ω ≤ ωb et ω ≥ ωh + pente arbitraire
ωco ≤ ω ≤ ω−180o :
- Impératif de stabilité :
|L(jω−180o )| < 1
- Impératif de rapidité :
ωco et ω−180o grandes
❒ Théorème 2 : condition de roll-off
Une fonction de transfert ayant une pente de −20 dB/dec est dite avoir un roll-off de
1. La condition de roll-off est alors que L(jω) doit avoir un roll-off de 1 dans la région
de ωco et au minimum de 2 au delà de cette pulsation.
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Synthèse par loopshaping
8
1- Spécification du nombre d’intégrateurs dans L(p) par la règle des intégrateurs
2- Spécification de la pente de la courbe de gain en boucle ouverte |L(jω)| sur
certaines plages de fréquence :
- pente de −20 dB/dec autour de ωco pour satisfaire la condition de roll-off
- pente supérieure à −20 dB/dec aux hautes fréquences (ω ≥ ωh ) pour le fitrage
des bruits
- pente aux basses fréquences, (ω ≤ ωb ) définie par le modèle de la perturbation
b(p)
3- Spécification d’une pulsation de coupure ωco pour répondre aux impératifs de
stabilité en termes de marge de phase et de gain
➥ Synthèse par inversion du modèle :
K(p) = L(p)G−1 (p)
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Exemple d’application
9
Bode Diagrams
Gm=7.9588 dB (at 0.41231 rad/sec), Pm=48.448 deg. (at 0.20372 rad/sec)
10
0
3(−2p + 1)
G(p) =
(5p + 1)(10p + 1)
Phase (deg); Magnitude (dB)
−10
−20
−30
−50
−100
−150
−200
−250
−1
0
10
10
Frequency (rad/sec)
- Non minimum de phase, z = 0.5
- Stable en boucle ouverte : p1 = −1/5 et p2 = −1/10 correspondant aux pulsations
de cassure caractéristiques ωp1 = 0.2 rad/s et ωp2 = 0.1 rad/s
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Réponses temporelles non corrigées
10
Réponses temporelles à un échelon sur la perturbation et sur la consigne en b.o.
3
0.25
2.5
0.2
2
0.15
1.5
Amplitude
Amplitude
0.3
0.1
1
0.05
0.5
0
0
−0.05
0
10
20
30
Time (sec)
40
50
60
−0.5
0
10
20
30
40
50
60
Time (sec)
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Exemple d’application
11
Spécifications
➥ Précision :
Le système corrigé ne doit pas présenter d’erreur en régime permanent à une
réponse en échelon de position
➥ Rejet de perturbation :
Le modèle de la perturbation étant un premier ordre donné par :
b(p) = Gb (p)a(p) =
0.5
a(p)
p + 0.5
La sortie doit revenir à zéro le plus rapidement possible si a(p) = 1/p
➥ Filtrage des bruits :
Le bruit de mesure intervenant au delà de 0.5 Hz doit être filtré
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Première spécification
12
Il est nécessaire d’ajouter une intégration dans la boucle ouverte :
80
L(p)
60
40
System: L
Gain (dB): 24.1
Phase (deg):
0.25180
dB
Frequency
0.5 dB(rad/sec): 0.112
3(−2p + 1)
L(p) =
p(5p + 1)(10p + 1)
Gain (dB)
20
G(p)
0 dB
1 dB
−1 dB
3 dB
6 dB
−3 dB
−6 dB
0
−12 dB
−20
−20 dB
−40
−40 dB
−60
−60 dB
−80
−80 dB
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Phase (deg)
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Deuxième spécification
13
- La condition de roll-off aux hautes fréquences est vérifiée
- Pente aux hautes fréquences : ωh = 3 rad/s
Ajout éventuel d’un pôle dont la pulsation de cassure est supérieure à 3 rad/s
- Pente aux basses fréquences :
Actuellement : −20 dB/dec
Analyse de b(p) :
0.5
√
|Gb (jω)| =
0.025 + ω 2
ω = 0.5 rad/s est la pulsation de coupure pour le modèle de perturbation i.e.
pour ω > 0.5 rad/s alors |Gb (jω)| < 0 dB :
ωb = 0.5 rad/s
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Deuxième spécification (suite)
14
- Pente aux pulsations intermédiaires : de −40 dB/dec à −60 dB/dec
Déplacement des deux pôles de G(p) :
L(p) =
K(−2p + 1)
p(αp + 1)(βp + 1)
On choisit α = 2, ωpα = 0.5 rad/s et β = 0.33, ωpβ = 3 rad/s et un roll-off de 2
au delà
−2p + 1
L0 (p) =
p(2p + 1)(0.33p + 1)
MΦ = −52o
ωco = 0.95 rad/s
Kg = −0.44
ω−180o = 0.43 rad/s
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Exemple d’application (suite)
100
80
L(p)
80
60
Magnitude (dB)
60
L(p)
40
L0(p)
20
G(p)
40
0
0 dB
−20
0.25 dB
0.5 L0
dB
System:
1 dB
Gain
(dB): 7.13
Phase (deg): 180
3 dB
Frequency
(rad/sec): 0.437
6 dB
G(p)
−40
20
Gain (dB)
−60
−80
−100
360
270
Phase (deg)
15
L0 (p)
180
90
0
−3
10
−2
10
−1
0
10
10
Pulsations (rad/sec)
1
10
2
10
−1 dB
−3 dB
−6 dB
0
−12 dB
−20
−20 dB
−40
−40 dB
−60
−60 dB
−80
−80 dB
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Phase (deg)
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Troisième spécification
16
➥ Introduction d’un gain : diminution de la pulsation de coupure
K = 0.15
ωco = 0.2 rad/s
➥ Fonction de transfert en boucle ouverte :
0.15(−2p + 1)
Lf (p) =
p(2p + 1)(0.33p + 1)
➥ Marges de phase et de gain :
MΦ = 54o
ωco = 0.15 rad/s
Kg = 2.92
ω−180o = 0.44 rad/s
➥ Correcteur :
K(p) =
0.05(10p + 1)(5p + 1)
p(2p + 1)(0.33p + 1)
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Exemple d’application (suite)
100
80
L(p)
60
60
L0 (p)
Magnitude (dB)
0.25 dB
0.5 dB
1 dB
−1 dB
0
−3 dB
−80
−40
−40 dB
Lf (p)
−60 dB
−60
G(p)
−80 dB
−80
−100 dB
180
Phase (deg)
225
G(p)
−60
−12 dB
−20 dB
135
0
−20
−6 dB
−20
90
20
−40
3 dB
System: Lf
6 dB
Gain (dB): −9.25
Phase (deg): 180
Frequency (rad/sec): 0.431
270
315
360
−100
360
L f(p)
270
Phase (deg)
Gain (dB)
20
45
L(p)
40
0 dB
0
L0 (p)
80
40
−100
17
180
90
0
−3
10
−2
10
−1
10
0
10
1
10
2
10
Pulsations (rad/sec)
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Réponses temporelles
3
0.25
2.5
0.2
2
0.15
1.5
Amplitude
Amplitude
0.3
0.1
1
0.05
0.5
0
0
−0.05
18
−0.5
0
10
20
30
40
50
60
0
10
20
30
40
50
60
Time (sec)
Time (sec)
0.12
1
0.1
0.8
0.08
Amplitude
Amplitude
0.06
0.6
0.04
0.4
0.02
0.2
0
−0.02
0
0
10
20
30
40
50
Time (sec)
60
70
80
90
5
10
15
20
25
30
35
Time (sec)
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