Méthode des déplacements simplifiés :

Méthode des déplacements simplifiés
ISA 3
Principe des travaux virtuels :
Introduction :
C'est un outil puissant qui joue le même rôle que le principe fondamental de la statique (ou de
la dynamique), mais qui permet une mise en œuvre des équations plus systématique.
Énoncé :
Dans un référentiel Galliléen et pour tout système matériel, le travail virtuel des quantités
d'accélérations et égal à la somme du travail virtuel des forces extérieures au système et du
travail virtuel des forces intérieures, et ceci que soit le déplacement virtuel considéré.
W*acc = W*ext + W*int
Histoire :
On doit le premier énoncé du « principe des vitesses virtuelles » au mathématicien et
philosophe Jean Le Rond D'alembert (1717-1783)
Calcul des travaux virtuels:
Les déplacements virtuels sont infinitésimaux, le calcul des travaux virtuels se fait avec les
efforts et le moments réels.
Cas d'un déplacement:
 appliqué au point A lors d'un déplacement virtuel du point A
Le travail d'une force F
∗
∗
∗


 ⋅U A
U A est W = F
U∗A

F
Cas d'une rotation:
Les rotations virtuelles étant infinitésimales, les déplacements virtuels correspondants des
points peuvent être calculés comme des vitesses :
A
Le travail d'un moment
C. La Borderie
B
∗
M A d'une rotation virtuelle ∗ est W ∗= M A⋅
Méthode des déplacements simplifiés
ISA 3
Utilisation :
Les champs de déplacements virtuels sont généralement notés par des *, par exemple : U*.
Les travaux virtuels occasionnés par un déplacement virtuel, se calculent simplement et sans
tenir compte d'une éventuelle évolution des efforts appliqués au cours du déplacement virtuel.
On peut imaginer des déplacements virtuels quelconques et en particulier, des déplacements
virtuels qui rompent les liaisons ou les solides.
On choisit généralement des déplacements virtuels qui font travailler une ou plusieurs
inconnues et qui ne génèrent pas de travaux internes, ces champs de déplacements virtuels
respectent les conditions de déplacements de solides indéformables et sont appelés
mouvements rigidifiants.
On peut appliquer le PTV* autant de fois que nécessaire, il faut cependant veiller à obtenir des
équations indépendantes (3 équations en 2D, 6 en 3D).
Exemple :
Y⃗
F Y⃗
a
B
A
⃗
X
C
l
Calcul des actions d'appuis :
C
A
⃗ ∗=U ∗ Y⃗
U
C. La Borderie
B
Le champ de déplacements est une translation
d'axe Y⃗ qui rompt les liaisons en A et B.
W*int=0
⃗ ⋅U ∗ + R⃗ ⋅U⃗∗
W*ext= R⃗ ⋅U⃗∗ + F
A
A
C
B
B
Soit :
W*ext = YA U* + F U* + YB U*
Le PPV* donne alors :
YA U* + F U* + YB U* = 0 ∀ U*
Soit YA + F + YB = 0 ce qui correspond à
l'équation de la résultante en projection / Y
Méthode des déplacements simplifiés
C
B
ω*
A
ISA 3
Le champ de déplacements est une rotation
autour de l'axe A ⃗
Z
W*int=0
W*ext= R A •U * ( A) + F •U * (C ) + RB •U * ( B )


U * ( A) = 0
 *

*
*
Et : U ( B ) = ω Z ∧ AB = lω Y

 *
*
*
U ( C ) = ω Z ∧ AC = aω Y
W*ext = F aω* + YB lω*
Le PTV* donne alors :
F aω* + YB lω* = 0 ∀ ω*
Soit F a + YB l= 0 ce qui correspond à
l'équation du moment en A en projection / Z
On obtient donc : YB = -F a/l et YA = -F (l-a)/l
La troisième équation traditionnellement obtenue à l'aide du PFS (Projection de la résultante/
X ) est obtenue en utilisant comme champ de déplacement virtuel , une translation suivant
l'axe X .
Calcul du moment fléchissant : On écrit l'équilibre de  pour G ∈[ AC ]
Le champ de déplacements virtuel correspond
à une rotation ∗ de [ AG ] autour de
A
l'axe G z pour faire travailler le moment
fléchissant en G. Le déplacement virtuel du
 ∗A=− x ∗ y
point A est alors U

G
C
W ∗int = M
⋅∗ z =M fz  ∗
ω*
B
 /
 ∗A=−x Y A  ∗
W ∗ext = X A xY A y ⋅U

x
−
Le PTV* donne alors :
M fz ∗ −x Y A ∗=0 ∀ ∗
Soit Mfz = x YA
C. La Borderie
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Méthode des déplacements simplifiés :
Principe :
Il s'agit, comme nous l'avons fait pour la méthode des forces, de négliger l'énergie due à
l'effort normal et à l'effort tranchant devant l'énergie due au moment fléchissant.
Cette hypothèse se traduit dans la méthode des déplacements en négligeant les déformées dues
aux effort normaux et tranchants.
Conséquences :
Conséquences sur les déplacements :
Si on néglige la déformée due à l'effort normal, on considère alors que la longueur des poutres
est conservée. On dit que la longueur des barres est invariante.
ωij
Déplacement de corps rigide
I
+
Rotation des nœuds
=
déformée de la poutre
Déformée
J
ωji
J
I
uij = uji
Les déplacements des nœuds de la structure sont alors liés et par exemple, dans la structure
suivante :
2
Y
3
u21=u12 Y2=0
u34=u43 Y3=0
u23=u32 X2=X3
X3=X2
Y2=Y3=0
1
4
X
Conséquences sur les équations d'équilibre :
Les équations faisant intervenir l'effort normal ne sont plus valables, seules sont disponibles
les équations de moment. Il manque donc des équations pour résoudre le problème, ces
équations peuvent être obtenues par le principe des travaux virtuels (PTV*)
C. La Borderie
Méthode des déplacements simplifiés
ISA 3
Notations et résultats précédents:
Efforts aux nœuds dans le repère local : actions des nœuds sur
la barre

Yij
Vij
Nij
Mij
J
I

X ij
Vji
Nji
Mji
Déplacements des nœuds dans le repère local

Yij
ω ji
uij
vij
vji
I
J

X ij
uji
ω ij
Attention les valeurs indiquées sont bien les projections sur les axes et par
exemple v ij =U i⋅Y ij est un nombre négatif pour le déplacement représenté sur la
figure. La remarque est la même pour les efforts.
C. La Borderie
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ISA 3
Équations d’équilibre d’un élément de poutre
{
EA
( u −u )+ N 0ij
Lij ij ji
EA
N ji =
(u −u )+ N 0ji
Lij ji ij
N ij =
{
{
4EI
2EI
6EI
ω +
ω +
( v −v )+ M 0ij
Lij ij L ij ji L2ij ij ji
2EI
4EI
6EI
M ji =
ω ij +
ω ji + 2 ( v ij −v ji )+ M 0ji
Lij
Lij
L ij
M ij =
6EI
12EI
ω + ω ji ) + 3 ( v ij −v ji )+V 0ij
2 ( ij
L ij
Lij
6EI
12EI
V ji =− 2 ( ω ij +ω ji ) − 3 ( v ij −v ji )+V 0ji
Lij
Lij
V ij =
• Relations établies en cours en utilisant par exemple la
méthode des forces
• Dans ces équations : i<j.
0
0
0
• Les M ij ,V ij et N ij n'interviennent que sur des poutres
recevant un chargement extérieur en d'autres points que
leurs noeuds, leur valeurs dépendent du type de
chargement.
• Les équations N ij ne sont pas valables dans le cadre de
la méthode des déplacements simplifiés.
C. La Borderie
Méthode des déplacements simplifiés
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Utilisation de la méthode des déplacements simplifiés :
Illustration autour d'un exemple :
A
y
F
L/2
B
D
Portique bi encastré de longueur et de hauteur
L chargé au milieu de la poutre par une force
verticale.
L'inertie de la poutre et du poteau est I, le
module d'élasticité du matériau, E.
On néglige les déformations dues à l'effort
normal et à l'effort tranchant.
L
L
O
C
x
Prise en compte des symétries :
Le problème est symétrique par rapport à D y (géométrie, liaisons et chargement), on traitera
donc la moitié du problème en imposant un déplacement de D nul en projection sur x et une
rotation de D nulle. La sollicitation dans le plan de symétrie est divisée par deux.
A

y
F
2
D
O

x
Discrétisation :
 On découpe la structure en éléments de façon à ce que les charges concentrées soient
appliquées aux nœuds et que les éléments aient un comportement connu (en général
poutres droites).
 Pour chaque élément.
• On met en place le repère local.
• On écrit les conditions de liaisons aux nœuds.
• On écrit l'invariance de la longueur des barres.
 On dénombre les déplacements et rotations inconnues du problème: ce sont les degrés de
liberté.
C. La Borderie
Méthode des déplacements simplifiés
2
x
F
2
y
ISA 3
2
Élément [1-2]
12
Conditions limites :
u12=Y1=0
v12=-X1=0
ω12=0
Longueurs de barres invariantes :
u21-u12=0 => Y2=0
3
y12 1
Élément [2-3]
x
1
y2 3
3
2
x
23
Conditions limites :
u32=X3=0
ω32=0
Longueurs de barres invariantes :
u23-u32=0 => X2=0
Il reste 2 déplacements/rotation ou degrés de liberté indépendants :
 La rotation du nœud 2 : ω21=ω23=Ω2
 Le déplacement vertical du nœud 3 : v32=Y3
Écriture des équations du PTV* :
On écrit les équations correspondantes aux déplacements générés par les degrés de libertés
indépendants en considérant que les élément de poutre sont rigides et articulés entre eux :
2
Le champ de déplacement virtuel correspond à la rotation du
nœud 2 sans que les éléments [1-2] et [2-3] ne se déplacent.
Seuls les moments M23 et M21 travaillent, les efforts
extérieurs ne travaillent pas.
Ω 2*
3
-M23 Ω2*-M21Ω2*=0
soit
(1)
1
2
Y3
3
1
C. La Borderie
*
M23 +M21=0
L'élément [2-3]tourne autour de 2 de façon à déplacer le
nœud 3 de Y3*.
Y*
La rotation de l'élément est 3
L/2
Le travail des efforts extérieurs est :
Wext*=FY3*/2
Le travail des efforts intérieurs est :
Y*
Wint*=(M23 +M32) 3
L/2
Soit :
(2)
FL + 4(M23 +M32)=0
Méthode des déplacements simplifiés
ISA 3
Équilibre des éléments :
On écrit les valeurs des moments en fonction des déplacements et des rotation à l'aide de la
matrice de rigidité.
{
M ij =
4EI
2EI
6EI
ω ij +
ω ji + 2 ( v ij −v ji )
Lij
Lij
L ij
M ji =
2EI
4EI
6EI
ω ij +
ω ji + 2 ( v ij −v ji )
Lij
L ij
Lij
Elément [1-2]
2 EI

 M 12 = L ω 2

4 EI
 M 21 =
ω2

L
Elément [2-3] (Attention à L/2)
8 EI
24 EI

 M 23 = L ω 2 − L2 Y3

4 EI
24 EI
 M 32 =
ω2 − 2 Y3

L
L
Résolution:
On remplace les valeurs des moments dans les équations données par le PTV*
8EI
24EI
4EI
(1)→
ω2 − 2 Y 3 +
ω 2=0
L
L
L
8 EI
24 EI
4 EI
24 EI
( 2)→ FL+ 4
ω2 − 2 Y 3 +
ω2− 2 Y 3 =0
L
L
L
L
{
{
(
)
12EI
24EI
ω 2− 2 Y 3=0
L
L
12 EI
48 EI
( 2)→ 4
ω 2− 2 Y 3 =−FL
L
L
(1)→
(
)
{
FL3
96 EI
FL2
ω2 =
48 EI
Y 3=
Calcul des efforts et des moments dans les poutres:
On peut alors calculer les moments et efforts tranchants dans les poutres en introduisant la
valeur des degrés de liberté dans les équations d'équilibre des poutres.
Par contre on ne peut pas calculer directement l'effort normal.
C. La Borderie
Méthode des déplacements simplifiés
2 EI
FL

M 12 =
ω2 =

L
24

4 EI
FL
ω2 =
 M 21 =
L
12


8 EI
24 EI
FL
 M 23 =
ω 2 − 2 Y3 = −
L
L
12


4EI
24 EI
FL
ω2 − 2 Y3 = −
 M 32 =

L
L
6
Le moment fléchissant dans l'élément [I-J] de
longueur Lij est linéaire (élément non chargé)
et vaut en fonction de l'abscisse locale xij :
 Au point I : M(0)=-Mij
 Au point J : M(L)=Mji
xij M ji − ( Lij − x ij ) M ij
Soit : M ( xij ) =
Lij
ISA 3
FL/12
-FL/6
-FL/24
Diagramme des moments fléchissants
On peut utiliser les équations d'équilibre
donnant l'effort tranchant :
{
F/2
6EI
12EI
ω +ω ji ) + 3 (v ij−v ji )
2 ( ij
L ij
L ij
6EI
12EI
V ji =− 2 ( ωij +ω ji ) − 3 ( v ij −v ji )
Lij
Lij
V ij =
-F/8
Diagramme des efforts tranchants
Ce qui donne :
F
V12 = = −V21
8
F
V23 = − = −V32
2
L'effort tranchant dans l'élément [I-J] est
constant (élément non chargé) et vaut
V=Vji=-Vij
C. La Borderie
Méthode des déplacements simplifiés
ISA 3
Pour obtenir l'effort normal, il suffit d'écrire
l'équilibre du nœud 2 :
−V 23 y23
−V 21 y12
F/8
−N 23 x23
−N 21 x12
F/2

F[ 1−2 ]/ 2
F [ 2−3 ]/ 2= 0
−N 21 
x 12 −V 21 
y 12 −N 23 
x 23−V 23 
y 23 = 0
−N 21 Y V 21 
X −N 23 
X−V 23 Y =0
F
F
N 21=−V 23 =
N 23 =V 21=−
2
8
On a comme précédemment :N=Nji=-Nij
Diagramme des efforts normaux
Cas d'un élément chargé :
On utilise la superposition : La solution d'un problème correspondant à une poutre [I-J]
sollicitée par :
 Des déplacements et rotations à ses extrémités.
 Une charge extérieure.
Est la superposition des problèmes suivants :
1. Poutre soumise seulement aux déplacements et rotations imposés aux nœuds.
2. Poutre à la quelle on impose des déplacements et rotations nuls aux nœuds sollicitée par la
charge extérieure.
Le premier problème est déjà connu, le second correspond à une poutre bi-encastrée sollicitée
par la charge extérieure.

y ij
f  x  yij

x ij
I
J
La solution du problème est donnée par les actions de liaison exercées par les nœud I et J sur
la poutre [I-J]
0
0
0
0


 N ij xij + Vij yij 

 N ji xij + V ji yij 

{FI /[IJ ] } = 
 { FJ [ IJ ] } = 

0
0
M ij z
M ji z





I

J
Les équations d'équilibre de la poutre deviennent :
4 EI
2 EI
6EI

0
 M ij = L ω ij + L ω ji + L2 (vij − v ji ) + M ij

2 EI
4 EI
6 EI
 M ji =
ω ij +
ω ji + 2 ( vij − v ji ) + M 0ji

L
L
L
C. La Borderie
Méthode des déplacements simplifiés
ISA 3
6 EI
12 EI

0
 Vij = L2 (ω ij + ω ji ) + L3 (vij − v ji ) + Vij

6 EI
12 EI
V ji = − 2 (ω ij + ω ji ) − 3 (vij − v ji ) + V ji0

L
L
Charge uniformément répartie.
Soit à résoudre le problème suivant :

y ij
f
y ij

x ij
I
J
On peut résoudre ce problème par la méthode des forces :
− fL
− fL
− fL 2
Vij0 =
V ji0 =
M ij0 =
2
2
12
C. La Borderie
M 0ji =
fL 2
12