TD 3: systèmes linéaires

TD 3: systèmes linéaires
Institut Galilée. L1, algèbre linéaire
Année 2013-2014, 2ème semestre
Exercice 1. Dans le Plan P muni d’un repère (0,~i, ~j), on considére les deux droites D1 et D2 d’équation
respective : x + 2y − 4 = 0 et 2x − y − 3 = 0. Déterminer les coordonnées du point A intersection des
droites D1 et D2 . Donner la forme générale de l’équation cartésienne d’une droite de P passant par A.
Retrouver cette forme pour les équations de D1 et D2 .
Exercice 2. Le plan P est muni d’un repère (0,~i, ~j).
a) Déterminer une équation de la parabole passant par les points A(−2; 5), B(−1; −4) et C(1; 2).
b) Déterminer la forme générale d’une équation d’une parabole passant par les points A(−2; 5) et C(1; 2).
Exercice 3. Déterminer trois solutions (x, y, z) dans R3 de l’équation x + 2y − 3z = 1. Décrire sous
forme "paramétrique" l’ensemble des solutions de cette équation.
Exercice 4. , Résoudre dans C2 les systèmes linéaires :
(
(
2x + iy = i
x − iy = 2
(a)
(b)
2ix − y = −1.
ix + 2y = −1.
(c)
(1 − i)x +2y
(2 + i)x +3iy
= 1 − 2i
·
=
−i
Exercice 5. Résoudre dans R les systèmes linéaires suivants, d’inconnues x, y et z :

(
(

 −5x − y − z = 0
x+y+z =4
2x + 3y = 1
(a) 5y + 24x + 5z = −3
(b)
(c)

2x + 5y − 2z = 3
7y + 5x = 3

−9x + z = −7



x − 2y + z = 0
2x + 6y − 4z = 40




x
−
y
=
1



 −3x + 7y − z = 44

 −x + 3y − z = 0
(f )
(d) y − z = 1
(e)
 x − 4y + 3z = −41

 −2x + y + 7z = 0





z−x=1


3x − z = 0
x + 5y + z = 2
Exercice 6. Résoudre dans R
système linéaire suivant, d’inconnues x1 , x2 et x3 :
Ple
3
Pour tout j variant de 1 à 3, k=1 (k + j)xk = j.
Matrices, formes réduites
Exercice 7. Donner pour chacune des matrices Aj le système linéaire (Sj ) dont Aj est la matrice
augmentée. La matrice Aj est-elle sous forme échelonnée ? Sous forme échelonnée réduite ? Mettre (si
ce n’est pas le cas) A sous forme échelonnée réduite par des opérations élémentaires sur les lignes, puis
résoudre (Sj ).






1 2 3 2
1 0 −3 −5
1 3 −2
2 3 0
4
A1 =
A2 = 0 2 4 1
A3 = 0 1 2
A4 = 1 2 4 
1 −2 1
0 0 1 3
0 0 1
1
2 5 1






3
6
3
3 −6 −3
1 2 0 −1
1 2 0 −1
4
8
4
4 −8 −4
.
A5 = 0 0 1 2 
A6 =  0 0 1 2 
A7 = 
3
6
0
0 −6 −9
0 0 0 0
0 0 0 1
−3 −6 −3 −4 7
3
1
Exercice 8. Ecrire la matrice augmentée de chacun des systèmes suivants, puis le résoudre à l’aide de
la méthode du pivot.



x+y+z+t=1


4x − 6y + 4z = −1



 x − 3y + 7z = −4
 x + 2y + 3z + 4t = 2

(a)
(c) x + 2y − 3z = 6
(b) −6x + 14y − 11z = 3



x + 3y + 6z + 10t = 0




7x + 4y − z = 22
−x + 3y − 3z = 1

x + 4y + 10z + 20t = 0, 5

(

 −2x − y = 5
2x1 + x2 − 2x3 − x4 = 2
−x − z = −1
(e)
(d)

x1 − 2x2 + 3x3 − 3x4 = −2

2z + y = 1
Exercice 9. Pour chacune des matrices suivantes dire sans aucun calcul si le système dont Aj est la
matrice augmentée a une solution, aucune solution ou une infinité de solutions :






3 4 5
6 −1
2
2 5 −1 6 6
3 −14 − 15
6 0
0 2 −1 9
12 


0
5 3 5 1, 1 4
7
3
2 0
0 0 2
3
1
0 0 0
0 1
1 3, 5 0, 1 1 0
0 0 0 −1 2
Systèmes avec paramètres
Exercice 10. Résoudre les systèmes d’inconnues les nombres réels x, y et z et de paramètre le réel m :


3


 x − (m − 1)y + z = m
 x − my + 2z = m
(m − 1)y − (m − 2)z = 0
(a)
(b) y + (m + 2)z = m2 − 5




2z = 2m − 4
(m − 2)(m − 1)z = m2 − 1
Exercice 11. Résoudre les systèmes d’inconnues les nombres réels x, y et z et de paramètre le réel m :


x + my + (m − 1)z = m + 1


 x + y + (m + 1)z = 2

mx + 2my + mz = m + 1
3x + 2y + mz = 3
(a)
(b)




x + (m + 1)y − 5z = 5
(m − 1)x + my + (m + 1)z = m − 1


 x + my + mz = 1
(c) mx + y + mz = m


mx + my + z = m2
Exercice 12. Résoudre les systèmes linéaires suivants en fonction des paramètres réels a, b et c :



ax + z = 2




 x + 2y + 3z = 4
 ax + by + z = 1
2x + 5y = 1
(a)
(b) 2x + 3y + 4z = 5
(c) ax + aby + z = b






−2x + y + bz = 3
ax + by + cz = 6
x + by + az = 1
Exercice 13. Résoudre le système (non linéaire) d’inconnues les nombres réels x, y, z et t :

tx + y + z − t = 0


x + t(y + 2) + z − 3t = 0


x + y + tz = t
2
Systèmes de Cramer.
Exercice 14. le système ci-dessous de second membre quelconque est-il de Cramer ? Si oui, exprimer la
solution de ce système.

 −x + 2y − 8z = a
3x + y + 3z = b ·

2x + 7z
= c
Exercices à préparer pour le contrôle continue
Exercice 15. Résoudre les systèmes d’équations linéaires :
d’inconnues les nombres réels x1 , x2 et x3 pour les deux cas suivants :


x1 + x2 + x3 = 10

 x1 + 4x2 + x3
2x1 + 4x2 + 8x3 = 1
x1 + 4x2 − x3
(a)
(b)


3x1 + 9x2 + 27x3 = 33
2x1 − x2 + 2x3
d’inconnues les nombres réels x1 , x2 , x3 et

x2 + 2x3 + x4 =



x1 + x2 + x3 + x4 =
(c)
x1 + 2x2 + 2x3 + x4 =



x1 + 3x2 + x3 + x4 =
= 7
= 13
= 5
x4 pour ces deux derniers cas,
4
4
6
6
(d)


4x1 + 3x2 + 4x3 − 6x4
−8x1 − 6x2 + 2x3 − 3x4

−4x1 − 3x2 − 6x3 + 12x4
Exercice 16. Résoudre en fonction des paramètres réels présents, les deux
et trois inconnues réelles x, y et z suivants :


 2mx − my + z
 mx + y + z = m
−3x + 3y − z
x + my + z = m


4x + my + 3z
x + y + mz = m
= 1
= 1
= −3
systèmes de trois équations
=
=
=
0
2m ·
4
Exercice 17. Soient λ et a des paramètres réels. On considère le système d’inconnues réelles x, y et z :

 x + λy − z = a
2x + λy + z = 0
(S)

x + 2y + z = 1
Résoudre (S) et donner en fonction du couple (λ, a) l’ensemble des solutions de (S) .
Exercice 18. le système ci-dessous de second membre quelconque est-il de Cramer ? Si oui, exprimer la
solution de ce système.

 −x + 2y − 8z = a
3x + y + 3z = b ·

2x + 7z
= c
Exercice 19. Soit le système

 x + ay + a2 z
x + by + az

bx + a2 y + a2 bz
=
=
=
1
a
a2 b
de trois équations à trois inconnues réelles x, y et z où a et b sont des paramètres réels.
1. A quelle condition portant sur a et b, ce système est-il de Cramer ?
2. Étudier et discuter les solutions de ce système lorsqu’il n’est pas de Cramer.
3