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Dix-septième colloque GRETSI, Vannes, 13-17 septembre 1999
Performance des egaliseurs a complexite reduite et
application a la norme EDGE
Haf^edh Trigui , Dirk T. M. Slock
Institut EURECOM
2229 route des cr^etes BP. 193, 06904 Sophia Antipolis Cedex, France
[email protected], [email protected]
Resume { Nous analysons les performances des recepteurs, reduisant la memoire du canal de communication, par la borne du
ltre adapte (BFA) qui est une borne superieure (et souvent une bonne approximation) de la detection de sequence basee sur le
critere de maximum de vraisemblance (DSMV). Nous demontrons que les performances varient entre celles d'un egaliseur lineaire
ou avec retour de decisions et celles de la DSMV avec le canal non raccourci.
Abstract { We analyse the performance of receivers using reduced-order channel models by the Matched Filter Bound (MFB)
which is an upper bound (and often a good approximation) of Maximum Likelihood Sequence Estimation (MLSE). We show that
the MFB is lower bounded by the Signal to Noise Ratio (SNR) of a linear or a Decision Feedback Equalizer and upper bounded
by the MFB for MLSE using the actual (non-shortened) channel.
1 Introduction et Borne du Filtre
Adapte (BFA)
Considerons un ltre lineaire (canal de communication)
NX
,1
h(z) = hi z,i excite par des symboles ak decorreles
i=0
et de variance a2 appartenant a un alphabet ni C . Le
signal recu echantillonne a la cadence des symboles peut
s'ecrire comme yk = h(q) ak +vk ou vk est un bruit additif
blanc gaussien de variance v2 et q est l'operateur d'avance
(y k+1 = q yk ). Si K capteurs sont utilises a la reception et
si la frequence d'echantillonnage est egale a Tp ou T est la
duree d'un symbole alors yk , vk et h(z) sont des vecteurs
m 1 et m = pK. Il est a noter que le canal h(z) peut ^etre
considere comme constant pendant la transmission d'un
paquet (de duree 577 s pour GSM ou EDGE). Empilons
M echantillons consecutifs du signal recu
dans un vecteur
T
T
T
Y = T (H )A + V ou Y = yM y1 (et une ecriture
analogue pour V et A), H = [h0 hN ,1 ] et T (H ) est
une matrice (bloc) Tplitz remplie par les ccients du
canal.
Considerons la derivation de la BFA correspondant au
c et supprobleme de la DSMV utilisant un canal estime H
b
posant que la matrice de covariance du bruit est Rvv alors
que sa valeur reelle est Rvv = E[V V H ]. Le probleme de
la DSMV se ramene dans ce cas a la minimisation d'un
critere de moindres carrees pondere
2
c)A
min
(1)
Y , T (H
,1 :
Rb vv
A2CM +N ,1
L'implementation de la DSMV est faite par l'algorithme
de Viterbi dont la complexite est proportionnelle au nombre
d'etats jCjN ,1 ou jCj = 8 pour EDGE alors que jCj = 2
pour GSM. An d'obtenir la BFA, on se concentrera sur
la detection d'un seul symbole ak en supposant que les
autres symboles Ak sont connus (detectes parfaitement)
c)A = Tba ak + Tb A
c)
[9]: T (H
Ak k . Tbak est la colonne de T (H
k
qui est multipliee par le symbole ak , TbAk est la matrice
c) de laquelle la colonne Tba a T (H
ete enlevee, le vecteur
k
Ak contient les symboles passes et futurs au symbole ak .
(Tbak ak et TbAk Ak contiennent respectivement la contribution du symbole ak et des autres symboles dans le paquet).
Si la contribution des symboles connus est enlevee du signal recu, on peut reecrire le critere (1) comme
h
min a 2C k
Y , TbAk Ak
i
2
, Tbak ak Rb ,1 :
vv
(2)
Il admet pour solution
(
^ak = dec fzk g
,1
h
i
f)A
zk = ak + TbaHk Rb ,vv1 Tbak TbaHk Rb ,vv1 V + T (H
(3)
f = H ,H
c , le superscript H est l'op
ou H
erateur transpose
hermitien et decf:g est l'operateur de decision qui choisit
l'element de l'alphabet C le plus proche de son argument.
Notons par RSBBFA le rapport signal a bruit (RSB) a
l'entree de l'element de decision. A l'instant k et avec la
f) = Te , on peut notation simpliee Tbak = Tb k et T (H
ecrire
2 b H b ,1 b
RSBBFA (k) = H ,1 a (Tk Rvv Tk ) ,1 : (4)
Tb k Rb vv (a2 Te Te H + Rvv )Rb vv Tb k
Cette valeur peut varier, a cause des eets de bords, selon
la position du symbole dans le paquet. On considerera sa
valeur moyenne par symbole
M
X
1
RSBBFA = M + N , 1
RSBBFA (k) (5)
k=,N +2
2
qui est equivalente asymptotiquement (quand M ! 1)
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au RSBBFA du cas d'une transmission continue:
H
1
dz h^ yS^,1 h^
a2 2j
vv
RSBBFA = H y ,1 z y
; (6)
1
dz h^ S^ (2 he he + Svv )S^,1 h^
vv a
vv
2j
z
Svv (z) est la densite spectrale de puissance (d.s.p.) du
bruit vk et hy (z) = hH (1=z ). Les valeurs estimees sont
notees par S^vv (z) et h^ y (z).
Une borne superieure de la probabilite d'erreur de symboles pour une constellation 8-PSK utilisee par laqnorme
p
EDGE [1] est donnee par Pe = 2Q( BFA) = erfc( BFA
2 )
ou BFA = RSBBFA sin2 8 et erfc(x) est la fonction d'erreur complementaire. An de reduire la complexite de l'algorithme de Viterbi, on va raccourcir la reponse impulsionnelle du canal.
2
2 Raccourcissement par un ltrage
lineaire
2.1 Filtre de forcage a zero
Dans cette section, on considere le probleme de la DSMV
sur le signal scalaire xk (FIG. 1)
xk = f(q)yk = b(q)ak,d + f(q)v k = b(q)ak,d + wk (7)
resultant d'un ltrage du signal recu vectoriel yk par un
ltre f(z) veriant f(z)h(z) = z ,d b(z) ou d est un retard
n
X
et b(z) = biz ,i est le canal raccourci avec n < N , 1 et
i=0
b0 = 1. La densite spectrale de puissance du bruit wk est
u2 ou g(z) =
donnee par Sww (z) = v2 f(z)fy(z) = g(z)g
y (z)
1
X
i=0
gi z ,i est le predicteur d'ordre inni du signal wk et
u2 est la variance de l'erreur de prediction uk = g(q)wk .
Pour le probleme kxk , b(q)ak,d k2Sww
,1 , la relation (6) se
simplie en
a2 I dz hyP y h a2 I dz hyh ;
RSBBFA = 2j
z f
2jv2 z
v2
(8)
yf
y
f
ou Pfy = ffy est la projection orthogonale sur f (z) =
P H i
i f i z . Le ltre f(z) correspond dans le cas n = 0 a
ak
vk
h(z)
+
yk
f(z)
xk
DSMV
a^k
k,d
k
k,d
En pratique, et an de reduire la complexite, un predicteur
l
X
gl (z) = giz ,i d'ordre ni l du signal wk sera utilise.
i=0
Le critere a considerer par la DSMV est alors
X
min
jul;k j2 = a min2C kgl (q) [xk , b(q)ak,d ] k2S^u,1u
a 2C
k,d
k
k,d
l l
(10)
ou S^ul ul est une estimation de la d.s.p du signal ul;k =
gl (q)wk donnee par Sul ul = gl Sww gly . Generalement, on
suppose que le bruit ul;k est blanc et on aura comme performance reduite
h
i2
H
1 H dz hyg gy fyfh
a2 2j
l
a2 dzz hyPfy h
l
z
l
!1
RSBBFA = v2 H dz y y y 2 ,!
2j v2 :
2j
z h (gl gl f f) h
(11)
La borne superieure de l'expression (8) est toujours atteinte par le probleme de la DSMV optimal (9) dans le
cas multivoie avec n = N , 1 (pas de raccourcissement)
et dans le cas monovoie (m = 1) quelque soit n. Cependant, le choix de f(z) est critique dans ce dernier cas
lorsque le critere simplie (10) est considere avec l = 0 et
S^u,l1ul (z) = w2 . On peut demontrer qu'il faut egaliser les
zeros les plus loins du cercle unite an de maximiser l'expression (11) correspondant a l'approche pratique (10) ou
an de minimiser la propagation d'erreurs dans l'approche
optimale (9).
Dans le cas n = 0, b(z) = 1 et f(z) est un EFZ. L'approche (9) correspond alors a un egaliseur avec retour
de decisions de structure predictive (Predictive DFE) [3].
L'approche sous-optimale de (10) avec gl (z) = 1 (l = 0)
et S^ul ul (z) = w2 (ou donc S^ul ul (z) = 1) correspond a
l'egaliseur lineaire. Pour ce cas, le rapport signal a2bruit
a l'entree de l'element de decision RSBEFZ = v2 Hadz y .
2j z ff
L'inegalite de Cauchy-Schwartz indique que
I
I
1
dz
1
1
y
1 2j z ff 2j dz
z ffy
et par consequent, le RSBEFZ est inferieur au RSBBFA
de l'expression (8) (fh = 1). Le ltre f(z) qui maximise a la
fois RSBBFA et RSBEFZ est, l'EFZ minimisant l'EQM,
f = (hyh),1 hy .
2.2 Filtre minimisant l'erreur quadratique
moyenne (EQM)
1: Raccourcissement de la longueur du canal par un
ltre de forcage a zero.
l'egaliseur de forcage a zero (EFZ). Une strategie possible d'egalisation utilise le canal raccourci b(z) dans l'algorithme de Viterbi. Pour que la prise en compte de la
couleur du bruit Sww n'augmente pas la memoire du canal b(z), il faut ltrer la sequence d'erreur pour chaque
Fig.
chemin survivant par le predicteur g(z). Ainsi, la DSMV
minimise le critere
X
min
jukj2 = a min2C kg(q) [xk , b(q)ak,d ] k2 : (9)
a 2C
Le raccoucissement de la longueur du canal est base
dans cette section sur la methode presentee dans [2] (FIG. 2).
La DSMV opere dans ce cas sur le signal scalaire
xk = f(q)yk = b(q)ak,d+eb(q)ak +f(q)v k
= b(q)ak,d +eb(q)ak +wk ;
(12)
e
b(z) = f(z)h(z) , z ,d b(z) decrit l'erreur d^ue au raccourcissement (ER). Le ltre f(z) maximise,a sa sortie, le rapport
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ak
vk
h(z)
yk
+
xk
f(z)
+
,
Retard
ak,d
DSMV
vk
ak
a^k
h(z)
+
h
yk
y
(z )
cy (z)
xk +
,
zk
DSMV
ek
a^k
c(z)
b(z)
Fig. 3: Raccourcissement de la longueur du canal par un
egaliseur avec retour de decisions.
2: Raccourcissement de la longueur du canal par un
ltre minimisant l'erreur quadratique moyenne.
Fig.
signal a bruit plus ER
a2 kbk2
:
(13)
v2 kf k2 + a2 kebk2
En appliquant la relation (6), on peut verier que la performance du probleme kxk , b(q)ak,d k2Sww
,1 est
RSBER =
2
H
dz byb y
1
a2 2j
z 2 ff
(14)
RSBBFA = 1 H dz byb 2 vH dz byebebyb
a
2j
z v2 ffy + 2j z v4 (ffy)2
et celle du probleme simplie a min2C kxk , b(q)ak,d k2 est
k,d
RSBBFA =
a2kbk4
:
H
a2kebbk2 + 2jv2 dzz byffy b
(15)
de produire des decisions preliminaires par un ERD, de
generer le signal zk et de faire la DSMV. Cependant, les
deux methodes sont equivalentes vis a vis de la BFA.
4 Simulations
On considere des environnements de propagation typiques pour EDGE: rural (RU), urbain (TU) et urbain difcile (BU). Pour ces environnements, on considere des canaux statistiques ayant 6 impulsions species par ETSI [6].
On montre des courbes de probabilite d'erreur moyennees
sur 100 realisations independentes des canaux en fonction
de l'ordre du canal raccourci (soit par un ltrage lineaire
soit en utilisant un egaliseur avec retour des decisions).
Un seul capteur est utilise a la reception et le facteur de
surechantillonnage etant egal 2a p =2 2. Le rapport signal a
bruit est deni par RSB = a kHv2 k et il est xe a 20dB.
Le ltre de transmission etant la modulation GMSK li-
3 Raccourcissement par un egaliseur avec retour de decisions
n
X
Probabilite’ d’erreur de symboles
An d'emp^echer l'amplication du bruit inherente aux
(pre-)egaliseurs lineaires, le raccourcissement de la longueur du canal par un egaliseur avec retour de decisions
(ERD) a ete propose dans [5]. Le signal recu yk yest ltre tout d'abord par un ltre adapte passe-tout hcy((zz)) ou
cy (z) est le facteur spectral a phase maximalede hy(z)h(z);
hy(z)h(z) = cy(z)c(z) et c0 = 1, > 0. Le bruit nk
(FIG. 3) a la sortie
du ltre avant reste blanc et aura
2
pour variance v . Decomposons le ltre monique c(z) en
NX
,1
c(z) = ci z ,i et c(z) =
ci z ,i et retranchons du
i=0
i=n+1
signal xk pour chaque chemin survivant la contribution induite par c(z). Ainsi, la DSMV est
eectuee sur le signal
2
v
zk = c(z)ak + nk ou Snn (z) = . De nouveau, on peut
appliquer le resultat de la premiere section pour evaluer
le
n
,1
2X
2N
2 I dz
X
a
a
a
2
2
RSBBFA = 2
jcij 2
jcij = 2j z hyh
v i=0
v i=0
(16)
Il est a remarquer que l'ERD utilise est celui de forcage
a zero avec minimisation de l'erreur quadratique moyenne
[4]. An d'enlever la complexite lineaire resultante du ltrage de tous les chemins survivants, il a ete propose [8]
Filtrage Lineaire avant la DSMV ,1capteur, p=2 ,100 realisations
−1
10
snrEQM
snrEQMblc
bfaEQM
bfaEQMblc
snrFZ
snrFZblc
bfaFZ
bfaFZblc
−2
10
−3
10
−4
10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
ordre du canal raccourci
1.4
1.6
1.8
2
4: Probabilite d'erreur en fonction de l'ordre du canal raccourci par un ltrage lineaire pour l'environnement
urbain (TU).
Fig.
nearisee par moindres carrees [10] alors que le ltre de
reception est un ltre passe-bas ideal (pour p 2: Nyquist est satisfait) de moitie de largeur de bande 2pT . La
gure 4 illustre des courbes de probabilite d'erreur correspondant au raccourcissement de la longueur du canal par
un egaliseur de forcage a zero ou minimisant l'erreur quadratique moyenne a sa sortie. Des abbreviations du type
FZ ou EQM appara^ssent, selon le cas, dans la legende.
Si le ltre f(z) est choisi de telle sorte qu'il maximise
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le RSB a sa sortie alors rsb est utilise dans la legende.
Par contre bfa correspond au cas ou le ltre f(z) maximise la BFA. L'abbreviation blc (blanc) correspond au
cas ou on ignore la couleur du bruit, c'est a dire que les
bornes du ltre adapte sont donnees par les expressions
(11) et (15) alors que les valeurs optimales (si la couleur
du bruit a ete prise en compte correctement dans le critere de la DSMV) sont celles des expressions (8) et (14).
Dans la gure 5, le raccourcissement de la longueur du canal par un egaliseur avec retour de decisions est considere.
On montre des courbes de probabilite d'erreur moyennees
sur 100 realisations de canaux pour les trois types d'environnements (RU0, TU0, BU0). La gure 6 montre des
courbes de probabilite d'erreur moyennees sur 100 realisations de canaux correspondant a l'environnement TU0. Le
raccourcissement dans ce cas monovoie est une egalisation
partielle des zeros du canal initial. Nous comparons les
performances correspondant a deux facons d'arragement
des zeros.
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
5 Conclusions
Les simulations montrent dans le cas bivoie qu'on peut
raccourcir les canaux jusqu' a l'ordre un sans crainte de
pertes signicatives des performances. Toutefois, il faut
considerer la bonne metrique dans l'algorithme de Viterbi
(prendre en compte correctement la matrice de covariance
du bruit dans le critere de la DSMV). Les performances
des recepteurs a complexite reduite varient entre celles
d'un egaliseur lineaire ou avec retour de decisions et celles
de la DSMV sur le canal non raccourci. Il est a noter que
la technique qui reduit le nombre d'etats dans le treuillis
sans raccourcir le canal [7] peut ^etre aussi interessante
pour reduire la complexite des recepteurs EDGE.
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current GSM Standard". \To appear in a special issue
of the European Journal Signal Processing", 1999.
[7]
[8]
[9]
[10]
Raccourcissement par un ERD avant la DSMV ,1capteur, p=2 ,100 realisations, RSB=20dB
−2
10
TU0
BU0
RU0
Filtrage de FZ avant la DSMV dans un cas monovoie, RSB=20dB, TU0, 100 realisations
0
10
−1
10
Probabilite’ d’erreur de symboles
Probabilite’ d’erreur de symboles
garder les zeros proches du cercle unite
garder les zeros loins du cercle unite
−3
10
−2
10
−3
10
−4
10
0
Fig.
0.5
1
1.5
ordre du canal raccourci
2
2.5
3
5: Probabilite d'erreur en fonction de l'ordre du canal
raccourci par un ERD pour trois environnements.
−4
10
0
0.5
1
1.5
ordre du canal raccourci
2
2.5
3
6: Probabilite d'erreur en fonction de l'ordre du canal
raccourci par egalisation partielle des zeros de h(z) pour
l'environnement TU0.
Fig.
References
[1] ETSI Tdoc SMG2 WPB 108/98. EDGE Evaluation
1180