Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Exercice 4.

1
Filière : GE
Prof : B. HAJJI
Niveau 4ème année
Année 2014-2015
Traitement Numérique du Signal
TD1 : Echantillonnage
Exercice 1.
1. On souhaite échantillonner un signal réel à temps continu à la cadence
de 8000 échantillons par seconde. Décrire les tâches à réaliser.
2. On échantillonne à 500 échantillons par secondes un signal réel à temps
continu qui est la somme de 3 sinusoïdes de fréquences respectives 50
Hz, 100 Hz et 300 Hz. A partir de ces échantillons on reconstruit par
le ltre de reconstruction parfaite un signal à temps continu. Quel est
le signal obtenu ?
Exercice 2.
Soit x(t) = 5cos(2π2000t) + 1cos(2π5000t) un signal analogique échantillonné à la fréquence 8 kHz.
1. Tracer le spectre du signal échantillonné jusqu'à la fréquence 20 kHz.
2. Un ltre passe-bas de fréquence de coupure 4 kHz est utilisé pour reconstruire le signal original, tracer le spectre du signal reconstruit.
Exercice 3.
Un son composé de deux sinusoïdes, respectivement à 100 et 500 Hz, est
enregistré, numérisé et stocké (dans un chier). La fréquence échantillonnage
est de 600 Hz. Lorsqu'on rejoue ce chier son, qu'entend-on ?
Exercice 4.
Soit un signal x(t) = a(t) + b(t), dont le spectre X(ν) est représenté sur la
gure 1. Le signal a(t) est un signal apériodique d'énergie nie font le spectre
correspond à la partie continue de X(f)(spectre de support borné [-ν0 ; ν0 ].
1. Donner l'expression de b(t).
2. On échantillonne x(t) à la fréquence νe = 3ν0 .
(a) Représenter le spectre du signal échantillonné.
2
Figure 1 Spectre de x(t)
(b) Représenter le spectre du signal reconstruit xrec (t), obtenu par
ltrage passe-bas de fréquence de coupure 32 ν0 .
(c) Exprimer xrec (t) en fonction de a(t). Expliquer brièvement ce qui
s'est passé.
Exercice 5.
Soit un signal analogique à temps continu xa (t) dont la TF Xa (f ) est à
support bornée dans l'intervalle [-F,F] (gure 1). On échantillonne idéalement
le signal à la fréquence Fe = 1/Te = 9F .
1. Représenter graphiquement Xe (f ) pour F ∈ [−30F, 30F ].
2. On échantillonne maintenant un signal à temps continu de la forme
xa (t) = Acos(2πf0 )(t) + c0 . La suite des échantillons ainsi obtenue
constitue la séquence x(n) = xa (nTe ). Déterminer l'expression de x(n).
Calculer et représenter sa TF pour −1 ≤ f ≤ 1.
3. Le signal continu xa (t) est échantillonné cette fois-ci à l'aide d'un
Échantillonneur-Bloqueur.
(a) Représenter le signal h(t) permettant d'obtenir x1 (t) à partir du
signal échantillonné idéal xe (t)
(b) Calculer la TF x1 (t) en fonction de Xa (f ) ; représenter le graphique du spectre X1(f). Qu'est ce que vous en déduisez de cette
opération d'échantillonnage
1
Filière : GE
Prof : B. HAJJI
Niveau 4ème année
Année 2014-2015
Traitement Numérique du Signal
TD2 : Echantillonnage & Quantication
Exercice 1.
Le signal analogique xa (t), déni comme ayant un spectre triangulaire de
fréquence maximale F = 5kHz, module en amplitude une porteuse sinusoïdale de fréquence f0 = 110kHz . On désire transmettre le signal modulé en
amplitude, les échantillons étant émis sous forme numérique. La fréquence
d'échantillonnage est appelée Fe .
1. En appliquant le théorème d'échantillonnage de Shannon, trouver le
nombre minimal d'échantillons à transmettre par seconde.
2. On échantillonne de façon idéal le signal modulé en amplitude à la
fréquence Fe = 40kHz .
(a) Dessiner l'allure du spectre du signal échantillonné.
(b) Qu'obtient-on en ltrant ce signal échantillonné idéal avec un ltre
dont la bande passante s'étend de 105 à 115 kHz.
(c) Qu'obtiendrait-on en ltrant le signal échantillonné idéal avec un
ltre passe-bande idéal de fréquences de coupure Fc = 20kHz ?
(d) Conclure sur l'intérêt de cette méthode. Discuter les problèmes
liés aux imperfections de l'échantillonnage et à la stabilité des
fréquences.
3. La question précédente a montré que l'on peut dans certains cas échantillonner un signal à une fréquence très inférieure à la fréquence de
Shannon. On cherche dans cette question des relations générales pour
le sous-échantillonnage.
(a) En écrivant qu'après échantillonnage les multiples bandes de fréquence issues du repliement ne se chevauchent pas, trouver deux
inégalités que doivent satisfaire les fréquences f0 , F et Fe . Ces
inégalités font intervenir un nombre entier n. ( Il sut d'écrire
que la nième image et la (n+1)ième images de la bande centrée
sur −f0 doivent encadrer la bande centrée sur f0 .
2
(b) Calculer la valeur maximale de n en fonction de F et f0 .
Exercice 2.
Le signal analogique xa (t), déni comme ayant un spectre triangulaire de
fréquence maximale F = 5kHz, module en amplitude une porteuse sinusoïdale de fréquence f0 = 110kHz . On désire transmettre le signal modulé en
amplitude, les échantillons étant émis sous forme numérique. La fréquence
d'échantillonnage est appelée Fe .
1. En appliquant le théorème d'échantillonnage de Shannon, trouver le
nombre minimal d'échantillons à transmettre par seconde.
2. On échantillonne de façon idéal le signal modulé en amplitude à la
fréquence Fe = 40kHz .
(a) Dessiner l'allure du spectre du signal échantillonné.
(b) Qu'obtient-on en ltrant ce signal échantillonné idéal avec un ltre
dont la bande passante s'étend de 105 à 115 kHz.
(c) Qu'obtiendrait-on en ltrant le signal échantillonné idéal avec un
ltre passe-bande idéal de fréquences de coupure Fc = 20kHz ?
(d) Conclure sur l'intérêt de cette méthode. Discuter les problèmes
liés aux imperfections de l'échantillonnage et à la stabilité des
fréquences.
3. La question précédente a montré que l'on peut dans certains cas échantillonner un signal à une fréquence très inférieure à la fréquence de
Shannon. On cherche dans cette question des relations générales pour
le sous-échantillonnage.
(a) En écrivant qu'après échantillonnage les multiples bandes de fréquence issues du repliement ne se chevauchent pas, trouver deux
inégalités que doivent satisfaire les fréquences f0 , F et Fe . Ces
inégalités font intervenir un nombre entier n. ( Il sut d'écrire
que la nième image et la (n+1)ième images de la bande centrée
sur −f0 doivent encadrer la bande centrée sur f0 .
(b) Calculer la valeur maximale de n en fonction de F et f0 .
Exercice 3.
Soit un signal x(t) à temps continu, centré de bande 7kHz. On l'échantillonne à la fréquencefe = 1/Te . On note xe (n) = xa (nT e) puis on le quantié
de façon uniforme sur N = 8 bits. On Px la puissance du signal xe (t) et on
choisit le pas de quantication
√ à pouvoir représenter les amplitudes
√ q de façon
de xe (n) comprise entre −4 Px et −4 Px . Par conséquent :
√
8 Px
q= N
2
3
1. Quelle est la fréquence d'échantillonnage la plus faible qui évite le repliement de spectre ?
2. Quel est le débit binaire obtenu en sortie du quanticateur pour la
fréquence d'échantillonnage de la question (1).
3. On note ye (n) la valeur en sortie du quanticateur et on pose ϵ(n) =
xe (n) − ye (n). On admet que l'erreur de quantication ϵ(n) est un processus aléatoire blanc, dont la loi est uniforme entre (-q/2, q/2). Montrer que le rapport signal sur bruit (RSB) de quantication, mesuré en
dB, est une fonction linéaire croissante du nombre bits N. Remarque ?
1
Filière : GE
Prof : B. HAJJI
Niveau 4ème année
Année 2014-2015
Traitement Numérique du Signal
TD3 : Transformations de Fourier discrétisées
Exercice 1.
On considère le signal à temps continu x(t) = exp(−kt)1[0,∞[ (t) avec k >
0. On note X(F) sa transformée de Fourier.
1. Déterminer l'expression X(F) de sa transformée de Fourier. En déduire,
en fonction de k, la valeur de la fréquence qui correspond à | X(0) |2 /2
2. En échantillonne x(t) à la fréquence Fe = 1/Te . On note xe (n) = x(nTe )
la suite de ses échantillons et Xe (f ) la TFTD de Xe (f ). Qu'observe-ton ?
3. On évalue la TFTD en ne prenant que les M premiers échantillons xe (0)
à xe ((M − 1)). Quel eet cela a-t-il sur le spectre du signal
Exercice 2.
Soit la fonction périodique de période 1 dénie par X(f ) = 1[−b,b] (f ) avec
avec 0 < b < 1/2
1. Déterminer la suite x(n) dont X(f) est la transformée de Fourier à
temps discret.
2. En déduire la suite y(n) dont Y (f ) = (X(f − f0 ) + X(f + f0 ) est la
transformée de Fourier à temps discret.
Exercice 3.
On considère un signal x(n) tel que x(n) = x∗ (−n). Noter que x(0) est
réel.
1. Monter que sa TFTD X(f) est réel
2. Déterminer l'expression de la TFTD Y(f) de la suite dénie par :


pour n > 0
x(n)
y(n) = 0
x(0)/2 pour n = 0


0
sinon
Partant de Y ∗ (f ), déduire la relation qui lie X(f) et Y(f).
1
Filière : GE
Prof : B. HAJJI
Niveau 4ème année
Année 2014-2015
Traitement Numérique du Signal
TD4 : Transformations de Fourier discrétisées
Exercice 1.
On observe N échantillons d'un signal discret : x(0), x(1), x(2), ..., x(N-1),
dont on veut analyser le contenu fréquentiel.
1. Rappeler la dénition de la Transformée de Fourier à Temps Discret
(TFTD) du signal x(n), n = 0, 1, ...., N-1.
2. Rappeler la dénition de la Transformée de Fourier Discrète (TFD)
X(k), k = 0, ...., N-1 du signal x(n), n = 0, 1, ...., N-1 et son lien avec
la TFTD du même signal.
3. La DCT (Discrete Cosine Transform) est une transformée similaire à la
TFD mais avec l'avantage d'avoir des valeurs réelles lorsque les signaux
en considération sont eux mêmes réels. La DCT a de nombreuses applications pratiques et est, entre autres, utilisée en codage et traitement
d'image et vidéo. Pour un signal réel à N échantillons x(n), n = 0, 1,
...., N-1 : , la DCT est dénie par :
Exercice 2.
On désire calculer N points du gain complexe d'un ltre linéaire invariant
causal en utilisant la TFD. Le ltre est déni par une équation aux diérences
de forme générale, soit :
y(n) =
M
∑
p=1
ap y(n − p) +
Q
∑
bl x(n − l)
l=R
avec R>0 et Q>M pour un ltre causal
1. Donner l'expression du gain complexe H(f) du ltre
2. On veut calculer N points de gain complexe soit H(k/N), Déterminer
l'expression de H(k/N) et monter que deux TFD d'ordre N permettent
d'en eectuer calcul.
2
3. Exemple : soit le ltre y(n) = 0.5y(n − 1) + 0.2y(n − 2) − 0.1y(n − 3) +
x(n − 1) + 2x(n − 2) . On veut calculer N =8 points de gain complexe.
Déterminer les deux séquences an et bn que l'on devra utiliser pour le
calcul des TFD. Comment faut-il procéder pour augmenter le nombre
de points de gain complexe ?
Exercice 3.
La TFD directe d'une séquence x(n) peut se mettre sous la forme habituelle suivante :
X(k) =
N
−1
∑
kn
x(n)wN
,0 < k < N − 1
(1)
n=0
avec wN = e−j2π
(2)
On eectue une partition de la séquence x(n) en deux sous-séquences ap
et bp dénies par :
{
ap = x(2p)
bp = x(2p + 1)
pour 0 < p < N/2 − 1 (termes de rang pair)
pour 0 < p < N/2 − 1 (termes de rang impair)
1. Montrer que la TFD de x(n) se met alors sous la forme :
XN (k) = AN/2 (k) + α(k, N )BN/2 (k), 0 < k < N − 1
(3)
où AN/2 (k) et BN/2 (k) sont les TFD d'ordre N/2 respectives des séquences a(p) et b(p). Préciser l'expression du terme α(k, N )
2. Vérier que :AN/2 (k) et BN/2 (k) sont des séquences de période N/2 et
en déduire les relations suivantes :
{
XN (k) = AN/2 + α(k, N )BN/2 (k)
pour 0 < k < N/2 − 1 (4)
XN (N/2 + k) = AN/2 − α(k, N )BN/2 (k) pour 0 < k < N/2 − 1 (5)
3. Les relations (4) et (5) montrent que tous les points d'une TFD d'ordre
N peuvent être calculés à l'aide de deux TFD d'ordre moitié N/2, lesquelles peuvent, de façon récursive, s'obtenir à l'aide de deux TFD
d'ordre N/4, etc. On pose que l'ordre N est une puissance de 2, soit :
N = 2q
on peut alors poursuivre par récurrence la méthode de calcul jusqu'à
l'ordre 2. Combien d'étapes de récurrence sont-elles nécessaires ?
4. Calculer le nombre de multiplications et d'additions complexes requises
pour un calcul de tous les points de TFD par relation (1).Quel est le
gain de la FFT par rapport à la TFD.
1
Filière : GE
Prof : B. HAJJI
Niveau 4ème année
Année 2014-2015
Traitement Numérique du Signal
TD5 : Transformation en Z et ltrage
Exercice 1.
La moyenne de trois points qui se suivant est dénie comme suit
1
y(n) = [x(n + 1) + x(n) + x(n − 1)]
3
où où x(n) est le signal d'entrée et y(n) est le signal de sortie.
1. Prouver que le système est linéaire
2. Trouver la réponse impulsionnelle h(n) de ce système
3. Le système est-il causal ?
Exercice 2.
Soit le système discret suivant :
y(n) = 100
9
∑
0.4k x(n − k)
k=0
1. Vériez que le système est linéaire et invariant.
2. Calculez la réponse à l'impulsion du système.
3. Le système est-il stable, causal ?
4. Calculer la sortie y(n) pour l'entrée x(n) = 0.2n u(n).
5. Donnez une équation aux diérences d'ordre un qui implante le même
système discret (une équation aux diérences d'ordre un contient les
termes y(n) et y(n-1).
Exercice 3.
La fonction de transfert d'un ltre numérique est donnée par :
H(z) =
0.1 + 0.2z −1
1 − 0.9899z −2
2
Figure 1 Modules de la réponse en fréquence du ltre
1. Écrivez l'équation aux diérences de ce ltre
2. Calculez les pôles et les zéros de ce ltre, et dites s'il est stable ou
instable (justiez).
3. Choisissez parmi les gures 1 suivantes celle qui représente le module
de la réponse en fréquence de ce ltre (montré entre 0 et π ). Justiez.
4. En fonction de la réponse trouvée en (3) (et sans faire de calculs),
dessinez le plus dèlement possible, en graduant bien les axes, le module
de la réponse en fréquence (pour θ entre 0 et π ) du ltre dont la fonction
de transfert est
Exercice 4.
Soit le système composé de deux ltres placés en cascade tel que représenté à la gure 2. Le premier ltre, désigné par H1 (z), est déni par
l'équation aux diérences suivantes :
Figure 2 Représentation schématique du système composé de deux ltres
H1 (z) et H2 (z)
v(n) = av(n − 1) − x(n)
Le deuxième ltre, désigné par H2 (z), est lui aussi déni par une équation
aux diérences qui prend la forme :
3
−1
y(n − 1) + v(n − 1)
2
1. Déterminez H(z), fonction de transfert du ltre global.
y(n) =
2. Donnez tous les domaines de convergences possibles de H(z) en fonction
de a.
3. Dans la suite, on suppose que le système est causal. Donnez une condition sur a pour que le système soit stable.
4. on suppose dans la suite que a = 1/2. Trouvez la réponse impulsionnelle
h(n) du ltre globale.
1
Filière : GE
Prof : B. HAJJI
Niveau 4ème année
Année 2014-2015
Traitement Numérique du Signal
TD6 : Filtrage & Synthèse des ltres
Exercice 1.
On considère le système de ltrage numérique dont la représentation est
donnée à la gure 1. Les convertisseurs Analogiques/Numériques et Numériques/Analogiques sont supposés idéaux et adaptés l'un à l'autre. La fonction
de transfert du ltre H(z) est donnée par :
Figure 1 Représentation schématique du système de ltrage numérique
H(z) = 1 + 2z −2 + z −4
1. Indiquez avec les justications nécessaires la région de convergence de
H(z).Qu'en déduisez-vous sur la stabilité du ltre ? Compte tenu de
l'expression de H(z), le ltre est-il causal ?
2. trouvez l'expression de la réponse fréquentielle H(f) du ltre numérique.
3. Trouvez pour quelle(s) fréquence(s) d'échantillonnage Fe le système
permet d'éliminer les composantes à 60 Hz présentes dans le signal
d'entrée x(t).
Exercice 2.
Le but d'évaluer H(z), la fonction de transfert d'un ltre numérique ayant
les caractéristiques suivantes :
Passe-bas
Fréquence de coupure : 0.2
Réponse maximale : 15 dB
2
Atténuation à la fréquence de coupure : 14 dB
1. Appliquez les techniques de l'invariance à l'impulsion à un ltre Butterworth d'ordre 1 pour obtenir H(z) et tracer le schéma du ltre
2. Soit la séquence x(n) obtenue en échantillonnant le signal analogique
n
xa (t) à un taux de 50000 échantillons/s : x(n) = xa ( 50000
). Appliquez la
séquence x(n) à l'entrée du ltre numérique H(z)est équivalent à ltrer
xa (t) selon quelle fréquence de coupure ?