Classe de TSI2 - Exercices de mathématiques

Séries de Fourier
I
L’espace préhilbertien réel des fonctions continues,
I.A Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.B Une famille orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .
I.C Projection orthogonale sur Dn . . . . . . . . . . . .
I.D Coefficients de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.E Série de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.F Inégalité de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.G Formule de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II Généralisation aux fonctions continues
II.A Coefficients de Fourier . . . . . . . . .
II.B Formule de Parseval . . . . . . . . . .
II.C Les coefficients de Fourier exponentiels
T-périodiques
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1
1
1
1
2
2
2
3
par morceaux
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3
3
4
4
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III Théorème de Dirichlet
5
IV Théorème de Dirichlet quand la fonction est, de plus, continue
5
I
L’espace préhilbertien réel des fonctions continues, T-périodiques
I.A
Définition
Définition 1. T > 0 étant fixé, on désigne par CT (R) l’espace vectoriel des fonctions continues,
T -périodiques, de R dans R, muni du produit scalaire :
(f | g) =
1
T
Z
T
f (t)g(t)dt =
0
1
T
Z
T /2
f (t)g(t) dt
−T /2
Il est évident qu’il s’agit d’un produit scalaire. On pose ω =
I.B
2π
T .
Une famille orthogonale
On a vu au chapitre précédent que la famille F constituée par les fonctions :
ϕn : t 7→ cos nωt pour n ∈ N et ψn : t 7→ sin nωt pour n ∈ N∗
est orthogonale, et qu’on a :
(ϕ0 | ϕ0 ) = 1, et pour p ∈ N∗ : (ϕp | ϕp ) = (ψp | ψp ) =
1
2
On note Dn le sous-espace vectoriel de CT (R) engendré par ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕn , ψ1 , . . . , ψn . Il est de dimension 2n + 1.
I.C
Projection orthogonale sur Dn
Puisque Dn est un sous-espace vectoriel de dimension finie de l’espace préhilbertien réel CT (R),
on sait qu’on a :
CT (R) = Dn ⊕ Dn⊥
On peut donc dire que toute fonction f de CT (R) se décompose de manière unique sous la forme :
n
n
X
X
f=
ak ϕk +
bk ψk + h
k=0
où a0 , . . . , an , b1 , . . . , bn ∈ R, et h ∈
k=1
Dn⊥ .
Exercice 1
Calculer ak en fonction de f et ϕk , et bk en fonction de f et ψk .
1
[sf201]
I.D
Coefficients de Fourier
Définition 2.
Soit f ∈ CT (R). On pose :
a0 (f ) =
1
T
Z
T /2
f (t)dt
−T /2
et pour k ∈ N∗ :
ak (f ) =
2
T
Z
T /2
f (t) cos kωt dt et
bk (f ) =
−T /2
2
T
Z
T /2
f (t) sin kωt dt
−T /2
On a donc a0 (f ) = (f | ϕ0 ) et pour k ∈ N∗ : ak (f ) = 2(f | ϕk ), bk (f ) = 2(f | ψk ).
Dans ces conditions, la fonction :
Sn (f ) =
n
X
ak (f )ϕk +
k=0
n
X
bk (f )ψk = a0 (f )ϕ0 +
k=1
n
X
ak (f )ϕk + bk (f )ψk
k=1
est la projection orthogonale sur Dn de la fonction f .
Exercice 2
Que dire des coefficients ak lorsque f est impaire ? Et des coefficients bk lorsque f est paire ?
[sf202]
Remarque 1. Le programme de TSI privilégie des intégrations sur [0, T ] plutôt que sur [−T /2, T /2].
Les fonctions étant T -périodiques, cela revient au même, mais c’est souvent moins commode.
I.E
Série de Fourier
Définition 3.
Soit f ∈ CT (R). On pose pour tout t réel :
Sn (f )(t) = a0 (f ) +
n
X
ak (f ) cos kωt + bk (f ) sin kωt
k=1
C’est par définition la somme partielle d’indice n de la série de Fourier de f au point t.
On vient de voir que Sn (f ) est la projection orthogonale sur Dn de la fonction f . Et on va voir dans
ce chapitre sous quelle condition Sn (f )(t) a une limite, éventuellement égale à f (t), quand n tend
vers l’infini.
Remarque 2. Si T = 2π (cas fréquent), on a ω = 1 et les coefficients de Fourier s’écrivent :
Z π
1
a0 (f ) =
f (t)dt
2π −π
et pour k ∈ N∗ :
1
ak (f ) =
π
I.F
Z
π
f (t) cos kt dt et
−π
1
bk (f ) =
π
Z
π
f (t) sin ktdt
−π
Inégalité de Bessel
L’inégalité de Bessel, vue au chapitre précédent, dit tout simplement :
kSn (f )k2 6 kf k2
Avec les coefficients de Fourier, cela donne :
2
a0 ϕ0 + · · · + an ϕn + b1 ψ1 + · · · + bn ψn a0 ϕ0 + · · · + an ϕn + b1 ψ1 + · · · + bn ψn 6 (f | f )
c’est-à-dire, en tenant compte de I.B :
n
1 X
ak (f )2 + bk (f )2 6 (f | f )
2
a0 (f )2 +
k=1
Le résultat établi est finalement le suivant :
Soit f ∈ CT (R). On a :
a0 (f )2 +
1
2
Z
n
X
1 T /2
ak (f )2 + bk (f )2 6
f (t)2 dt
T −T /2
k=1
Remarque 3. L’inégalité de Bessel ne figure pas dans le programme TSI.
I.G
Formule de Parseval
Intuitivement, lorsque n augmente indéfiniment, le sous-espace Dn "grossit", et la projection
Sn (f ) de f sur Dn se "rapproche" de f au sens suivant :
lim kSn (f )k2 = kf k2
n→+∞
C’est la formule de Parseval (admise), qu’on utilise en général sous la forme suivante :
Théorème 1.
Soit f ∈ CT (R). On a :
∞
1
1 X
ak (f )2 + bk (f )2 =
a0 (f ) +
2
T
2
k=1
T /2
Z
f (t)2 dt
−T /2
Exercice 3
Soit f continue, 2-périodique, définie sur [−1, 1] par f (t) = |t|. Ecrire la formule de Parseval.
II
[sf203]
Généralisation aux fonctions continues par morceaux
Pour les fonctions de Cm,T (R, C), c’est-à-dire les fonctions continues par morceaux, T -périodiques,
de R dans C (ou dans R), les résultats du paragraphe précédent restent valables, mais ne s’interprètent
plus aussi facilement en termes de projections orthogonales (on n’a plus un espace préhilbertien réel).
II.A
Coefficients de Fourier
Soit f ∈ Cm,T (R, C). On pose :
a0 (f ) =
1
T
Z
T /2
f (t)dt
−T /2
et pour k ∈ N∗ :
ak (f ) =
2
T
Z
T /2
f (t) cos kωt dt et
−T /2
bk (f ) =
2
T
Z
T /2
f (t) sin kωt dt
−T /2
Si f est à valeurs complexes, les coefficients de Fourier sont bien entendu des nombres complexes. On
appelle somme partielle d’indice n de la série de Fourier de f la fonction définie pour tout t réel par :
Sn (f )(t) = a0 (f ) +
n
X
ak (f ) cos kωt + bk (f ) sin kωt
k=1
3
II.B
Formule de Parseval
Théorème 2.
Soit f ∈ Cm,T (R, C). On a :
∞
|a0 (f )|2 +
i
1
1 Xh
|ak (f )|2 + |bk (f )|2 =
2
T
k=1
Z
T /2
|f (t)|2 dt
−T /2
Remarque 4. Noter les modules !
Exercice 4

 f (−π) = f (0) = 0
f (t) = −1 pour t < 0
Soit f la fonction 2π-périodique définie sur [−π, π[ par :

f (t) = 1 pour t > 0
Ecrire la formule de Parseval.
II.C
[sf204]
Les coefficients de Fourier exponentiels
Soit f ∈ Cm,T (R, C). On pose, pour k ∈ Z :
ck (f ) =
1
T
Z
T /2
e−ikωt f (t) dt
−T /2
On vérifie immédiatement que c0 = a0 , et que pour k > 1 :
ibk = −ck + c−k
ak = ck + c−k et
d’où, ∀k > 1 :
2ck = ak − ibk et 2c−k = ak + ibk
(attention au fait qu’en principe, ak et bk sont des complexes).
Exercice 5
Montrer que pour tout t ∈ R :
n
X
Sn (f )(t) =
ck eikωt
k=−n
[sf205]
Exercice 6
Montrer que la formule de Parseval devient :
1
T
Z
T /2
|f (t)|2 dt = lim
n→+∞
−T /2
n
X
|ck |2
k=−n
[sf206]
Remarque 5. On voit que les formules avec les ck sont beaucoup plus simples. Mais elles ne sont
pas "exigibles" d’après le programme de TSI (voir cependant l’épreuve Math 2 de CCP 2000 : elles
étaient pratiquement indispensables !).
4
III
Théorème de Dirichlet
Théorème 3.
Soit f : R → C, T -périodique, de classe C 1 par morceaux. On a :
∀t ∈ R,
lim Sn (f )(t) =
n→+∞
1
f (t + 0) + f (t − 0)
2
Cela signifie qu’en tout point t où f est continue, on a
lim Sn (f )(t) = f (t), tandis que si f est
n→+∞
discontinue en t, lim Sn (f )(t) est la moyenne entre les limites à droite et à gauche de f au point t.
n→+∞
Démonstration. Ce théorème est admis.
Exercice 7
Soit a > 0. On pose g(t) = eat pour t ∈ [−π, π[, et on suppose que g est 2π-périodique.
1. Représenter g.
2. Calculer Sn (g)(t) en utilisant les coefficients de Fourier exponentiels.
∞
∞
X
X
1
(−1)n
3. Calculer A =
et
B
=
.
a2 + n2
a 2 + n2
n=1
n=1
IV
Théorème de Dirichlet quand la fonction est, de plus, continue
Théorème 4.
Soit f : R → C, continue, T -périodique, de classe C 1 par morceaux. On a :
– ∀t ∈ R, lim Sn (f )(t) = f (t)
n→+∞
Z β
–
f (t)dt s’obtient en intégrant terme à terme la série de Fourier de f .
α
– Les séries
P
an et
P
bn sont absolument convergentes.
Exercice 8
On définit la fonction g de R dans R de la manière suivante :
g est paire, 2π-périodique, affine sur [0, π] ; g(0) = π et g(π) = −π.
1. Représenter g et vérifier que g est continue, de classe C 1 par morceaux.
2. Développer g en série de Fourier.
Z
3. On pose, pour tout x réel : f (x) =
x
g(t) dt. Donner l’expression de f (x) sur [−π, π].
0
Vérifier que f est 2π-périodique, de classe C 1 .
4. Donner le développement en série de Fourier de f .
∞
X
(−1)k
5. Calculer
.
(2k + 1)3
k=0
6. En appliquant Parseval à f , donner la valeur de ζ(6).
[sf208]
5