Exercices : Triangles isométriques

Exercices : Triangles isométriques
Exercice 1
Soit ABCD un parallélogramme de centre O. On
construit deux droites (D) et (D') orthogonales
en O. Ces droites coupent les côtés du
parallélogramme en I, J, K et L.
L'objectif de cet exercice est de démontrer à
l'aide des triangles isométriques que IJKL est un
losange
1) Démontrez que les triangles OAI et OCK sont
isométriques.
2) Démontrez que les triangles OAL et OCJ sont
isométriques
3) Justifiez les égalités suivantes:
IO = OK et OJ = OL
4) En déduire que IJKL est un losange
Exercice 2 : Un professeur pose à ses élèves le
problème suivant:
ABCD est un parallélogramme de centre O. Par
A et C, on trace les perpendiculaires à (BD).
Elles coupent (BD) respectivement en I et K. Par
B et D,on trace les perpendiculaires à (AC).
Elles coupent (AC) respectivement en J et L.
Démontrez que IJKL est un parallélogramme.
Il rend sa copie à Pierre avec les commentaires
suivants (en rouge):
Les triangles OBC et OAD sont isométriques.
Pourquoi?
Donc leurs hauteurs issues de A et C sont égales:
AI = CK
On en déduit que les triangles OAI et OKC sont
isométriques (Pourquoi ! ! ): d'où OI = OK.
De même, on montre que OL = OJ. Tu aurais
pu détailler ! !
Donc (Quelle propriété utilises-tu ? ) IJKL est
un parallélogramme.
Aidez Pierre à rédiger correctement sa copie ....
Exercice 3 :
9× 3
2
PQR est un triangle rectangle en R ; QPR = 60° et PR = 4,5.
ABC et PQR sont–ils isométriques ?
ABC est un triangle rectangle en A ; ACB = 30° et
Dans le cercle C, les cordes [AB] et [CD] ont
même longueur.
1) Démontrer que les triangles EAB et ECD sont
isométriques.
2) En déduire que (EO) est la médiatrice de
[BD]
Exercice 3 :
ABCD est un carré de centre O, M un
point de [AB].
On mène par B la perpendiculaire à(CM) qui
coupe (AD) en P.
1. a) Démontrer que BCM = ABP.
b) En déduire que les triangles MCB et ABP
sont isométriques et que MB = AP.
2. a) Démontrer que les triangles OMB et OPA
sont isométriques.
b) En déduire que le triangle POM est
rectangle et isocèle
Exercice 4
Soit ABC un triangle quelconque. Soit I le
milieu de [BC] et J le milieu de [AC]. Soit H le
pied de la hauteur issue de C.
Le but de cet exercice est de démontrer que:
=
1) Démontrer que H appartient au cercle de
diamètre [BC]. En déduire que BC = 2.IH
2) Démontrer de mêmeque AC = 2.JH
3) Démontrer que AB = 2.IJ
4) Déduire des 3 résultats précédents que les
triangles ABC et IJH sont semblables.
5) Quel est le sommet homologue de C? En
déduire que
=
AC =