Lycée Saint-Exupéry Rentrée 2016 Mathématiques

Lycée Saint-Exupéry
Rentrée 2016
Mathématiques-Série S
Préparer et réussir son entrée en Terminale S
Pour vous aider à faire le point sur des notions essentielles de 1S,
voici une série d’exercices à faire pour la rentrée.
On corrigera en classe lors des premières séances.
Ce travail sera suivi d’une évaluation.
Afin que ce travail soit efficace, il est conseillé de l’effectuer à la fin des vacances,
pour vous remettre en mémoire ces notions et bien démarrer votre année de TS
Sommaire :
E XERCICE 1 : Équations et inéquations du second degré.
E XERCICE 2 : Vecteurs et équations de droites.
E XERCICE 3 : Dérivation.
E XERCICE 4 : Suites
E XERCICE 5 : Variable aléatoire et loi binomiale.
E XERCICE 6 : Suites et algorithmes.
E XERCICE 7 : Produit scalaire dans le plan.
E XERCICE 8 : Dérivation et Optimisation.
E XERCICE 9 : Suites arithmético-géométriques, suites homographiques et limites.
Bonnes vacances ! !
1
E XERCICE 1
1. Résoudre les inéquations suivantes :
−12x 2 − x + 6
≤ 0.
b.
20 − 4x
2
a. −12x − x + 6 ≤ 0
2. Déterminer de deux façons différentes la forme canonique de −4x 2 − 4x + 12.
3. La courbe ci-contre représente une
fonction trinôme f .
Déterminer la forme développée,
canonique et factorisée de f .
Expliquer votre démarche.
5
4
3
2
1
0 1
−4 −3 −2 −1
−1
2
3
4
5
6
7
−2
−3
4. Soient les fonctions f : x 7→ 2x 2 +3x −5 et g : x 7→ −3x 2 −2x +7 par les courbes C f et C g .
8
6
4
Cf
2
−4
2
−2
−2
−4
−6
Cg
−8
Calculer les abscisses exactes des deux points d’intersection de ces deux courbes C f et
Cg .
2
E XERCICE 2
Le plan est muni d’un repère orthogonal.
1. Tracer la droite ∆ dont une équation cartésienne est : 4x + 2y − 2 = 0.
Tracer la droite ∆1 dont une équation cartésienne est : 3x − 5y + 1 = 0.
Par le calcul déterminer les coordonnées de leur point d’intersection.
2. Déterminer graphiquement, en justifiant, les équations des droites d 1 , d 2, d 3 , d 4 et d 5.
d4
4
3
d3
2
−5 −4 −3 −2 −1O
−1
d2
d5
1
d1
1
2
3
4
−2
−3
−4
−5
3. Déterminer, de 3 façons différentes, une équation cartésienne de la droite D passant
par les points A(15 ; −10) et B (−25 ; 30).
4. ABC D est un carré, AB H et BC F sont
des triangles équilatéraux. Les points
I et J sont les milieux respectifs des
segments [A; B ] et [B ;C ]
−→ −−→
On se place dans le repère (A, AB, AD).
C
D
H
J
A
I
K
B
a. Déterminer les coordonnées des points H et K (Justifier vos calculs).
Ã
!
p
1
3
b. On admet que le vecteur Ď a pour coordonnées
;
−1
2 2
Montrer que les points D, H et K sont alignés.
3
E XERCICE 3
1. Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On note f ′ la dérivée de la fonction f . On
donne ci-dessous la courbe C f représentant la fonction f . La courbe C f coupe l’axe
des abscisses au point A(−2; 0) et lui est tangente au point B d’abscisse 6. La tangente
à la courbe au point A passe par le point M (−3; 3). La courbe C f admet une deuxième
tangente parallèle à l’axe des abscisses au point C d’abscisse 0.
y
Cf
4
M
3
2
1
B
A
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
9
-1
D
-2
-3
C
a. Déterminer les solutions de l’équation f ′ (x) = 0. Justifier.
b. Déterminer une équation de la tangente à la courbe C f au point A. En déduire la
valeur de f ′ (−2).
3
c. On donne f ′ (2) = . Calculer les coordonnées du point d’intersection de la tangente
4
à la courbe C f au point D avec l’axe des abscisses.
d. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f ′ .
Déterminer laquelle.
y
y
y
2
2
-2
0
2
4
6
8
x
-4
-2
0
2
4
6
x
-2
0
2
-2
-2
-2
-4
-4
-6
-4
Courbe C 1
Courbe C 2
Courbe C 3
x 2 − 4x + 7
2. a. Étudier les variations de la fonction f définie sur R par f (x) =
.
x2 + 3
b. Donner une équation de la tangente T à la courbe C f au point d’abscisse 1.
4
4
6
x
E XERCICE 4 : Les questions suivantes sont indépendantes.
5
1. Soit (u n ) la suite définie par u 0 = −12 et pour tout entier naturel n, u n+1 = u n + .
6
Calculer u 42 .
2. (v n ) est une suite géométrique de raison q strictement positive telle que v 4 = 48, v 6 =
256
64
. Déterminer l’entier p tel que v p =
.
3
27
3. Soit (w n ) la suite définie pour tout entier naturel n par w n = 16 × 0, 5n − 1.
a. Calculer les cinq premiers termes de la suite (w n ).
b. Étudier la monotonie de la suite (w n ).
4. Soit (u n ) la suite définie par u 0 = 10 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 8 − 0, 12 × u n 2 .
a. Calculer u 1 et u 2 .
b. On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la
fonction f définie pour tout réel x par f (x) = 8 − 0, 12x 2 et la droite D d’équation
y = x.
On a représenté sur l’axe des abscisses, les deux premiers termes de la suite (u n ).
y
1
u1
0
u0
1
b
i. Construire sur l’axe des abscisses les termes u 2 , u 3 , u 4 et u 5 .
ii. La suite (u n ) est-elle monotone ?
5
x
E XERCICE 5 : Les questions suivantes sont indépendantes.
1. Une urne contient 1 boules rouge et 9 boules blanches indiscernables au toucher. On
joue à un jeu : participer coûte 1 euro.
On tire une boule de l’urne, si elle est rouge on reçoit cinq euros, si elle est blanche on
en tire une deuxième sans remettre celle tirée dans l’urne et si elle est rouge on reçoit
4 euros.
Déterminer la loi de probabilité de X . A ce jeu quel est le gain moyen par partie ?
2. On répète 3 fois une épreuve de Bernoulli successivement et de façon indépendante.
La probabilité du succès est p(S) = p, la probabilité de l’échec est p(S) = 1 − p = q.
a. Construire un arbre traduisant la situation. Préciser tous les succès possibles.
b. Calculer la probabilité d’avoir au moins un succès.
3. Un QCM (questionnaire à choix multiples) comporte cinq questions indépendantes et
pour chaque question, quatre réponses sont proposées dont une seule est exacte. Un
élève répond au hasard à ce QCM.
a. On nomme X la variable aléatoire comptant le nombre de réponses exactes obtenues
par cet élève.
Donner la loi de probabilité de X ainsi que son espérance mathématique.
b. Calculer la probabilité que cet élève obtienne exactement deux réponses exactes.
c. Calculer la probabilité que cet élève obtienne au moins quatre réponses exactes.
4. a. Donner, sans calculer, les valeurs de coefficients binomiaux suivants :
µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ
¶ µ ¶ µ
¶
4
4
4
4
120
7
120
;
;
;
;
;
;
.
1
0
4
3
0
1
119
µ ¶
µ ¶
14
14
= 3 003.
= 2 002 et
b. Sachant que
6
5
µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶
14
14
15
15
Calculer, sans la calculatrice, les coefficients binomiaux :
;
;
et
.
8
9
6
9
6
E XERCICE 6
Partie A : On considère la suite (u n )
définie par : u n = 3 × (0, 4)n + 5.
1
1. Calculer u 1 et u 2 .
2
3
2. Quelle formule a-t-on pu saisir
dans la cellule B3 de la feuille de
calcul du tableur afin d’obtenir les
premiers termes de cette suite par
recopie vers le bas ?
4
5
6
7
8
3. En utilisant cette copie d’écran, que
peut-on conjecturer sur la limite de
la suite (u n ) ?
9
10
11
A
B
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
u(n)
8
5,192
5,076 81
5,030 72
5,012 288
5,004 915 2
5,001 966 08
5,000 786 43
A = 5500 ;
Partie B : Soit (u n ) la suite définie par :
k = 0;
u 0 = 5500 et pour tout entier naturel n,
TANT _ QUE A < 11000 FAIRE
u n+1 = 0, 68 × u n + 3560 .
k prend la valeur k + 1 ;
Quel est le rôle de l’algorithme
A prend la valeur
suivant ? Conjecturer le sens de
0, 68 × A + 3560 ;
variation de la suite (u n ) ainsi que la
FIN TANT _ QUE
limite de la suite (u n ).
S ORTIE : Afficher k;
y
Utiliser les droites d’équations y = x et y = 0, 68x+3560 pour répondre aux mêmes questions.
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7
7000
8000
9000
10000
11000
12000
13000
x
E XERCICE 7 : Les questions suivantes sont indépendantes.
1. L’unité de longueur est le côté du carreau.
×F
G
×
×
A
×
×
×
×
E
D
C
B
Calculer les produits scalaires suivants :
# »#»
a) AD. AE
#»# »
b) AB. AD
# »#»
# »# »
c) AD. AG
d) DC . AD
#»# »
e) F E. AD
# »#»
f) AD. AF .
avec les indications ci-contre. Calculer les
produits scalaires :
A
−−→ −−→
a. C A.C H
−−→ −→
C
H
B
b.
H A.BC
4
6
2.
−−→ −→
ABC est un triangle de hauteur (AH) c. HC .C B
6
→
−
3. Dans un repère orthonormé : u a pour coordonnées (−1 ; −2) Les points E et F ont
pour coordonnées E (3 ; −3) F (1 ; 1).
−→
→
− −→
→
−
a. Calculer k u k ; kE F k et u .E F .
−→
−
b. Calculer cos(→
u ; E F ) et en déduire la valeur de l’angle géométrique α associé à
−→
−
(→
u ; E F ) (arrondir au degré près).
→
−
→
−
→
−
4. a. On considère les trois vecteurs u (3 ; 2), v (−1 ; 32 ) et w (0 ; −1). Ces vecteurs sont-ils
orthogonaux ?
−→ −→
b. On considère les points de coordonnées : A(2 ; 1) B (6 ; 1) C (5 ; 3). Calculer AB · AC
de 4 manières différentes.
5. a. Dans un repère orthonormal, tracer les droites D et ∆ d’équations cartésiennes respective
D :3x + 5y − 8 = 0 et ∆ : 2x − y + 3 = 0.
b. Dans le même repère, tracer les vecteurs ~
u (−5 ; 3) et ~
n (2 ; −1).
c. Déterminer, de deux façons différentes, une équation cartésienne de la droite D ′
passant par le point A de coordonnées (6 ; −2) et de vecteur directeur ~
v (5 ; −3) .
8
E XERCICE 8 : Les deux parties sont indépendantes.
Partie A :
Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un produit. Ce laboratoire peut
produire de 5 à 30 kg du produit par semaine. Le coût total de production, exprimé en
euros, est modélisé par la fonction C dont l’expression est
1
C (x) = x 3 − 11x 2 + 100x + 72,
3
où x appartient à l’intervalle [5 ; 30].
1. Tracer la courbe représentative de la fonction C sur l’intervalle [5 ; 30] dans le plan
muni d’un repère orthogonal d’unités graphiques :
• 1 cm pour 2.5 Kg en abscisses,
• 1 cm pour 100 euros en ordonnées.
2. Par lecture graphique, estimer la quantité dont le coût total de production est de 600 (.
On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.
3. Après une étude de marché, le prix de vente du produit a été estimé à 60 ( le kg. Donc
R(x) = 60x est l’expression de la fonction R modélisant la recette.
Représenter graphiquement, la fonction R sur l’intervalle [5 ; 30].
4. Le laboratoire souhaite connaitre l’intervalle dans lequel doit se trouver la quantité
de produit à vendre pour réaliser un bénéfice. Quel est cet intervalle ? Expliquer la
réponse.
On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.
Le bénéfice réalisé est exprimé en euros et modélisé par la fonction B .
5. Donner l’expression de B (x) en fonction de x.
6. B est dérivable sur [5 ; 30], on admet que la dérivée est :
B ′ (x) = −x 2 + 22x − 40.
En déduire les variations de B sur l’intervalle [5 ; 30].
7. On considère que la production est entièrement vendue. Déterminer la quantité à produire
pour réaliser un bénéfice maximum. Justifier la réponse.
8. Le service de commercialisation du laboratoire a fixé un objectif de vente entre 15 kg
et 24 kg pour la semaine à venir. Quel est le bénéfice minimum envisageable ? Justifier.
Partie B :
1. Soit la fonction f (x) =
2x − 1
. On note f ′ la dérivée de f , calculer f ′ (x).
2
x +x +3
2. Soit la fonction f (x) = x 3 − 3x 2 + 2, calculer l’équation de la tangente à la courbe C au
point d’abscisse 1.
9
E XERCICE 9 : Les deux parties sont indépendantes.
Partie A :
Dans une ville, un opéra décide de proposer à partir de 2015 un abonnement annuel pour
ses spectacles.
L’évolution du nombre d’abonnés d’une année à la suivante est modélisée par le directeur
de l’opéra qui prévoit que 75 % des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement
l’année suivante et qu’il y aura chaque année 300 nouveaux abonnés.
Ainsi, pour tout entier naturel n, u n modélise le nombre d’abonnés pour l’année (2015 +
n).
Pour l’année 2015, il y a 500 abonnés, autrement dit u 0 = 500.
On admet que pour tout entier naturel n, u n+1 = 0, 75u n + 300.
Pour tout entier naturel n, On pose :v n = u n − 1 200.
1. Montrer que la suite (v n ) est géométrique, préciser v 0 .
2. Exprimer v n puis u n en fonction de n.
3. Calculer la limite de la suite (u n ). Interpréter.
Partie B :
On considère la suite (u n ) définie sur N par :
u 0 = 2 et pour tout entier naturel n, u n+1 =
Pour tout entier naturel n, on pose v n =
un − 1
.
un + 1
1
1. Montrer que (v n ) est une suite géométrique de raison − .
3
2. Exprimer pour tout entier naturel n, u n en fonction de v n .
3. Exprimer v n puis u n en fonction de n.
4. Déterminer la limite de la suite (u n ).
10
un + 2
.
2u n + 1