Sujet des exercices défis pour le DS n°6

Défis pour approfondir les notions du programme
12/06/2015
4
Deux radars sont situés à une distance de 39 km. En prenant des photos et en reconnaissant votre
plaque d’immatriculation, les deux radars peuvent calculer le temps que vous avez mis
pour faire ces 39 km et ainsi calculer votre vitesse moyenne sur ce tronçon de route.
● Un octogone est un polygone à huit côtés (« octo »
veut dire huit comme dans octave, octobre ou octet).
C
● L’objectif de cet exercice est de calculer le périmètre
et l’aire de l’octogone régulier ABCDEF GH sachant qu’il est inscrit dans le cercle de centre O et
de rayon OA = 5 cm (J’attends un raisonnement).
-
● Vous êtes verbalisés si cette vitesse moyenne est supérieure à 130 km/h.
D
B
● Sans me rendre compte de la présence des radars, j’ai roulé, au début de ce tronçon,
durant 6 minutes à la vitesse de 150 km/h. À quelle vitesse moyenne dois-je alors
rouler sur le reste du tronçon pour ne pas être en infraction ?
S
E
A
O
● Indications : Nous allons travailler dans le triangle
̂
OSA. On commence par trouver les valeurs de SOA
̂ Ensuite le cosinus doit vous permettre de
de de OAS.
calculer OS et AS. Enfin avec ces deux longueurs, vous
pouvez calculer AB et l’aire de OAB et donc alculer
le périmètre et l’aire de l’octogone régulier.
2
F
H
● Indications : Un beau schéma vaut mieux qu’un très longtemps discours. Je vous conseille
donc de couper un segment horizontal en deux. À gauche, vous avez la 1er partie du
trajet. À droite, vous avez la 2e partie du trajet et puis vous avez aussi l’ensemble du
trajet. On a donc trois vitesses ; trois distances et trois temps. À vous de compléter
avec les informations de l’énoncé et en utilisant les formules du cours.
G
5
Propriété. Quelque soit l’angle aigu θ que j’ai choisi, j’ai constaté que l’expression :
2
+
-
2
( cos (90○ − θ) )
Indication : Pour un groupe de candidats,
était toujours égale au même nombre.
1) En essayant avec les angles θ = 30 ; θ = 45 et θ = 60 ,
détermine à quel nombre est à chaque fois égale
cette expression (Détails des calculs).
○
○
C
-
6
θ
A
Thalès et la rivière infranchissable (1 point bonus)
● On souhaite connaître la distance AB sans traverser la rivière.
Pour les deux énigmes suivantes, j’attends bien sûr une explication en plus de vos réponses.
a) Par quel chiffre se termine 2
-
B
Énigmes sur les puissances (0, 5 point bonus par énigme)
50
total des points gagnés
nombres de candidats
Indication : Je pose x le nombre de victoires de Samia. Traduire « Après 15 parties,
Samia a gagné 26 jetons. » par une équation et ensuite vous la résolvez.
2) Vous vous en doutez sûrement : votre objectif
est maintenant de me démontrer ce résultat.
3
moyenne =
b) Yann et Samia jouent aux cartes. Yann dit à Samia : « Si tu gagnes une partie, je te
donne 6 jetons. Mais si tu perds, tu me devrais 2 jetons. » Après 15 parties, Samia
a gagné 26 jetons. Combien Samia a-t-il eu de victoires ?
○
̂ alors 90○ − θ = ACB.
̂
● Indication : Si θ = ABC
À vous d’appliquer le théorème de Pythagore dans
̂ et de ACB
̂ et
ABC, de calculer le cosinus de ABC
de vérifier l’égalité.
Résolutions d’équations (0, 5 point bonus par énigme)
a) 60 candidats sur les 100 présents ont réussi un test du code de la route. À ce test, la
moyenne générale a été de 6/10. La moyenne de ceux qui ont réussi était de 8/10. Quelle
est la moyenne de ceux qui ont échoué ?
Démonstration d’une propriété assez jolie (1 point bonus)
( cos(θ))
Calculs de vitesse / distance / temps (1 point bonus)
● Pour contrôler la vitesse des automobilistes d’une autoroute, un nouveau système est testé :
- Périmètre et aire d’un octogone régulier (1 point bonus)
● L’adjectif « régulier » doit vous permettre d’obtenir
des informations intéressantes. À vous de déterminer
lesquelles (aucune justification n’est demandée).
-
?
Indications : 21 = 2 ; 22 = 4 ; 23 = 8 ; 24 = 16 ; 25 = 32 ; 26 = 64 ; 27 = 128 ; ...
b) Quelle est la somme des chiffres de l’écriture décimale du nombre 1042 − 42 ?
Indications : 100 − 42 = ? ; 1 000 − 42 = ? ; 10 000 − 42 = ? ; ... Observe et déduis-en
à quoi ressemble 1042 − 42. Enfin calcule la somme de tous les chiffres.
A
● On sait que :
D
● (AC) // (DE)
● DE = 30 m
● AD = 30 m
● AC = 50 m
E
C
Rivière
infranchissable
1
−
B
● Indication : On pose BD = x, ensuite on applique le théorème de Thalès, et enfin on
résout l’équation d’inconnue x.