SUITES 1 Définition d`un suite. 2 Mode de génération d`une suite.

SUITES
1
Définition d’un suite.
Définition 1.1 Une suite u est une fonction définie sur l’ensemble N des entiers naturels :
n 7→ un .
Notation et vocabulaire.
un si lit ”u indice n ” ou ” u . . . n ”.
On dit que un est le terme d’indice n de la suite, notée en général u, (un ) ou (un )n∈N .
Exemples.
1
1
1
• u est la suite définie sur N, par un =
. Le terme de rang 12 est : u12 =
= .
n
+
1
12
+
1
13
√
• Pour tout n ≥ 2, on pose vn = n − 2. La suite v est définie à partir du rang n = 2. On
note aussi cette suite (vn )n≥2 .
2
Mode de génération d’une suite.
2.1
Suite définie par une formule explicite.
Une suite peut être définie par une formule explicite qui permet de calculer directement chaque
terme quand on connaı̂t son indice.
Définition 2.1 Si f est une fonction définie sur (au moins) l’intervalle [0; +∞[, on définit une
suite (un ) en posant, pour tout n :
un = f (n).
Exemple.
Soit g la fonction définie sur R − {−1} par g(x) =
Le terme d’indice 10 est v10 =
2.2
19
2 × 10 − 1
= .
10 + 1
11
2x − 1
. On définit la suite (vn ) par vn = g(n).
x+1
Suite définie par une relation de récurrence.
Une suite peut être définie par son terme initial et une relation de récurrence permettant de
calculer chaque terme à partir du précédent.
Définition 2.2 Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que, pour tout x ∈ I, f (x) ∈ I.
On peut définir une suite u sur N en posant :
(
u0 = a
le terme initial
un+1 = f (un ) pour tout entier n
la relation de récurrence
Tous les termes de la suite appartiennent alors à l’intervalle I.
Exemple.
Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 2x + 3 et u la suite définie par :
(
u0 = 2
un+1 = f (un ) pour tout entier n
Calculer les termes u1 , u2 et u3 .
1
3
3.1
Suites arithmétiques, géométriques.
Suites arithmétiques.
Définition 3.1 Dire qu’une suite u est arithmétique signifie qu’il existe un réel r tel que pour tout
n∈N:
un+1 = un + r.
Le réel r est appelé la raison de la suite.
Exemple. Pour démontrer qu’une suite est arithmétique il faut montrer que pour tout n ∈ N la
différence un+1 − un est un réel r constant.
a) Soit la suite un = 3n + 1. Les trois premiers termes sont u0 = 1 ; u1 = 4 ; u2 = 7 ; u3 = 11.
Pour tout n ∈ N on a un = 3n + 1 et un+1 = 3(n + 1) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4
d’où un+1 − un = 3n + 4 − (3n + 1) = 3.
La suite u est une suite arithmétique de premier terme u0 = 1 et de raison 3.
b) Soit la suite un = n2 + 1. Les trois premiers termes sont u0 = 1 ; u1 = 2 ; u2 = 5.
La différence un+1 − un n’est pas constante en effet, u1 − u0 = 1 et u2 − u1 = 3.
La suite u n’est donc pas une suite arithmétique.
Théorème 3.1 Si u est une suite arithmétique de raison r, alors pour tout entier naturel n :
un = u0 + nr.
Et pour tous entiers naturels n et p :
un = up + (n − p)r.
Exemple. Soit la suite arithmétique de premier terme u1 = 12 et de raison 3.
Le terme de rang 50 u50 = u1 + (50 − 1) × r = 12 + 49 × 3 = 159.
Théorème 3.2 Soit (un ) une suite arithmétique.
Pour tout entier naturel n :
u0 + u1 + · · · + un−1 + un =
(n + 1)(u0 + un )
.
2
Pour tous entiers naturels n et p avec p ≥ p :
up + up+1 + · · · + un−1 + un =
(n − p + 1)(up + un )
.
2
Justification : S = u0 + u1 + . . . + un−1 + un
S = u0 + (u0 + r) + . . . + (u0 + (n − 1)r) + (u0 + nr)
En écrivant cete somme en renversant l’ordre des termes, on a :
S = (u0 + nr) + (u0 + (n − 1)r) + . . . + (u0 + r) + u0
L’addition ce ces deux sommes donne :
2S = (u0 + u0 + nr) + (u0 + u0 + nr) + . . . + (u0 + u0 + nr) + (u0 + u0 + nr)
2S = (n + 1)(u0 + u0 + nr) = (n + 1)(u0 + un )
2
Exemple. soit la suite arithmétique de premier terme u1 = 1 et de raison 2.
Sn = u1 + u2 . . . + un−1 + un = 1 + 3 + 5 . . . + (2n − 1) =
(1 + 2n − 1)(n)
= n2
2
S1 = 1 ; S2 = 1 + 3 = 4 ; S3 = 1 + 3 + 5 = 9 ; S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 ;
3.2
Suites géométriques.
Définition 3.2 Dire qu’une suite v est géométrique signifie qu’il existe un réel q tel que pour tout
n∈N:
un+1 = vn × q.
Le réel q est appelé la raison de la suite.
Exemple.
a) 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ; est une suite géométrique de cinq termes de premier terme 1 et de raison 2.
b)Les intérêts composés : un capital de 5000 euros est placé au taux annuel de 4,5 %. On a donc :
C0 = 5000
C1 = C0 + C0 × 0, 045 = C0 × 1, 045
C2 = C1 × 1, 045
C3 = C2 × 1, 045
...
Cn+1 = Cn × 1, 045
Remarque : Pour démontrer qu’une suite est géométrique il faut :
• s’assurer que pour tout n ∈ N un 6= 0
est un réel q constant.
• montrer que pour tout n ∈ N le rapport uun+1
n
Théorème 3.3 Si v est une suite agéométrique de raison q, alors pour tout entier naturel n :
vn = v0 × q n .
Et pour tous entiers naturels n et p (avec q 6= 0) :
vn = vp × q n−p .
Exemple. Soit u une suite géométrique de premier terme 100 et de raison 3. u10 = 39 × 100 =
1968300
Théorème 3.4 Soit (vn) une suite géométrique de raison q différente de 1.
Pour tout entier naturel n :
v0 + v1 + · · · + vn−1 + vn = v0 ×
1 − q n+1
.
1−q
Pour tous entiers naturel n et p avec p ≥ n :
vp + vp+1 + · · · + vn−1 + vn = vp ×
3
1 − q n−p+1
.
1−q
4
Sens de variation d’une suite.
4.1
Généralités.
Définition 4.1 Soit p un entier naturel.
• Une suite (un ) est croissante signifie que :
pour tout n ∈ N, on a un+1 ≥ un .
• Une suite (un ) est décroissante signifie que :
pour tout n ∈ N, on a un+1 ≤ un .
4.2
Sens de variation d’une suite définie par : un = f (n).
f est une fonction définie sur R+ et pour tout n ∈ N, un = f (n).
Règle.
• Si f est croissante sur R+ alors la suite (un ) est croissante.
• Si f est décroissante sur R+ alors la suite (un ) est décroissante.
Exemple. On considère la suite (un ) de terme général : un = n2 + 3n + 2.
Déterminer le sens de variation de (un ).
4.3
Sens de variation des suites arithmétiques et géométriques.
Théorème 4.1 Soit u une suite arithmétique de raison r.
• Si r > 0, alors la suite u est strictement croissante.
• Si r < 0, alors la suite u est strictement décroissante.
• Si r = 0, alors la suite u est constante.
Théorème 4.2 Soit (un ) une suite géométrique définie par un = q n .
• Si q > 1, alors la suite v est strictement croissante.
• Si 0 < q < 1, alors la suite v est strictement décroissante.
• Si q = 1, alors la suite v est strictement constante.
5
Convergence d’une suite
Définition 5.1 Dire que la suite numérique u converge vers le réell signifie que tout intervalle
ouvert contenant l contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On dit alors que l est la limite de la suite u et on note lim un = l.
n→+∞
Remarques :
La limite d’une suite numérique convergente est unique.
Si une suite ne converge pas elle est dite divergente.
Si la suite u de la forme un = f (n) avec f une fonction définie sur un intervalle de la forme [a; +∞[,
les théorèmes sur les limites des fonctions en +∞ s’appliquent.
n
∗
Exemple : La suite u définie par un = (−1)
n , n ∈ N , converge vers 0.
Tout intervalle ouvert ]a; b[, a et b dans R∗ avec a < b , contenant 0 contient tous les termes de la
1 1
suite u. à partir du rang n0 = E(max( |a|
, |b| )) + 1 ou E désigne la fonction partie entière.
4
Théorème 5.1 Opérations et limites
u est une suite convergente vers le réel a et v est une suite convergente vers le réel b.
• La suite w, définie par wn = un + vn , converge vers le réel a + b.
• La suite t, définie par tn = un × vn , converge vers le réel a × b.
• Si de plus v est une suite qui converge vers le réel b 6= 0 telle que pour tout n ∈ N, vn 6= 0 , alors
la suite q définie par qn = uvnn converge vers le réel ab .
Exemple : La suite u définie pour tout n ∈ N∗ par un = 2 + √4n , converge vers 2. En effet
4
lim √ = 0 donc d’après le théorème sur la limite d’une somme, lim un = 2.
n→+∞
n→+∞
n
Théorème 5.2 d’encadremment dit ”des gendarmes”
Soient trois suites u, v et w telles qu’il existe d’un certain rang p ∈ N tel que pour tout entier naturel
n ≥ p on ait wn ≤ un ≤ vn .
Si v et w convergent vers le même réel l, alors u converge vers l.
Justification : Soit I un intervalle ouvert contenant l. La suite w converge vers l.
Il existe donc un rang n0 à partir duquel tous les termes wn ∈ I.
De même pour la suite v il existe un rang n1 à partir duquel tous les termes vn ∈ I.
On a donc pour n tel que N ≥ max(n0 , n1 , p) tous les vn et tous les termes wn sont dans l’intervalle
I , or pour tout n ≥ N ≥ p on a wn ≤ un ≤ vn d’où à partir du rang N tous les termes Un ∈ I.
D’après la définition de la convergence d’une suite on peut dire que u converge vers l.
Théorème 5.3 Limite d’une suite géométrique
Soit u une suite géométrique de raison q et de premier terme 1, pour tout n ∈ N un = q n .
• Si −1 < q < 1 alors lim q n = 0
n→+∞
• Si q = 1 alors lim q n = 1
n→+∞
• Si q > 1 alors lim q n = +∞ on dit alors que la suite diverge vers +∞
n→+∞
Remarque : Avec les mêmes notations que précédemment, Si −1 < q < 0 alors lim un = 0 mais
n→+∞
la suite n’est ni croissante ni décroissante.
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