calcul du champ et du potentiel électrostatiques créés par une

Calcul du champ et du potentiel électrostatiques
créés par une boule chargée uniformément
Fiche réalisée par B. Louchart, professeur au lycée E. Woillez de Montreuil-sur-mer (62)
et colleur en Maths Sup MPSI et Maths Spé MP au lycée Mariette de Boulogne-sur-mer (62)
© http://b.louchart.free.fr
Enoncé :
1. Déterminer en tout point de l'espace le champ électrostatique créé par une boule (de rayon R)
uniformément chargée (avec une densité volumique de charge ρ).
2. En déduire le potentiel V.
Corrigé :
1.
u
u
u
M
O
Plaçons-nous dans un repère sphérique.
On a alors : E M = E r, θ, φ . u + Eθ r, θ, φ . uθ + E
Etude des symétries :
r, θ, φ . u
Le plan M, u , u est un plan de symétrie, donc E appartient à ce plan.
Le plan M, u , u est un plan de symétrie, donc E appartient à ce plan.
Le champ E est donc dirigé selon u : E M = E r, θ, φ . u
Etude des invariances :
Il y a invariance de la distribution de charges par toute rotation autour de O, donc E ne dépend pas
de θ ni de φ.
On obtient ainsi : E M = E r . u
Détermination de E(r) par application du théorème de Gauss :
Appliquons le théorème de Gauss à une sphère de centre O et de rayon r = OM.
dS
M
O
E. dS
D'après le théorème de Gauss,
=
Q!"#
ε%
(1)
=
E. dS
=
(
)
E(r) u . dS u
=
(
)
E(r) dS = E(r)
(
)
dS
(car E(r) est constant
sur la surface de Gauss)
On obtient :
(
)
E. dS
= E r × 4πr
1er cas : si r  R
4
Qint = ρ × πR'
3
L'équation (1) donne alors :
E(r) × 4πr =
4πR' ρ
3ε%
, soit E(r) =
ρR'
3ε% r
Finalement,
ρR'
E M =
u
3ε% r
si r  R,
2ème cas : si r  R
4
Qint = ρ × πr '
3
L'équation (1) donne ainsi : E r × 4πr = Finalement,
E M =
si r  R,
4πr ' ρ
3ε%
, soit
E r =
ρr
3ε%
ρr
u
3ε%
2. Il y a invariance de la distribution de charges par toute rotation autour de O, donc V ne dépend ni de θ,
ni de φ : V = V(r).
E = −gradV , donc
E = −
dV
dr
1er cas : si r  R
dV
ρR'
= −
dr
3ε% r
⇒ dV = −
ρR'
dr
3ε% r
Intégrons cette relation entre r et + ∞ : (en choisissant le potentiel nul à l'infini)
.
/ 0
/
Donc
dV = −
ρR' 20 1
. dr
3ε%
r
si r  R, V(r) =
ρR'
3ε% r
2ème cas : si r  R
dV
ρr
= −
dr
3ε%
⇒ dV = −
ρr
dr
3ε%
⇒
0 – V(r) =−
ρR'
1
30 + 5
3ε%
r
Intégrons cette relation entre r et R :
.
/(6)
/( )
dV = −
6
ρ
. rdr
3ε%
⇒
V(R) – V(r) = −
ρ
R
r
7 − 9
3ε% 2
2
Par continuité du potentiel, on peut calculer V(R) à l'aide du résultat du 1er cas : V(R) = On obtient ainsi :
Soit :
ρR
ρr
ρR
– V(r) = −
+
6ε%
6ε%
3ε%
ρ
si r  R, V(r)
=
3R − r
6ε%
ρR
3ε%