III Méthode du pivot de Gauss

SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES
III
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III Méthode du pivot de Gauss
Méthode du pivot de Gauss
Opérations élémentaires
Définition
Soit (S) un système linéaire à n équations et p inconnues. On appelle opération élémentaire l’une des
opérations des types suivants
i) Echange de deux lignes, notée :
ii) Multiplication d’une ligne par un scalaire non nul , notée :
iii) Addition à une ligne d’un multiple d’une autre ligne, notée :
Proposition
Les opérations élémentaires transforment un système (S) en un système
Exemple —


3x + 2y + z + t = 8




5z + 2t = 0
(S1 ) 




2y
+ t=0


x + 3y + z = 8




y − 2z = 1
(S2 ) 



 3y − 8z = 3
2
⇐⇒
⇐⇒
Méthode du pivot de Gauss pour la résolution des systèmes linéaires
Philosophie de la méthode
• On sait résoudre un système triangulaire ;
• Les opérations élémentaires transforment un système sans changer son ensemble solution.
• Principes de la méthode. Résoudre un système (S) en deux étapes :
1. Par des opérations élémentaires, on transforme (S) en un système
2.
Exemple 1 — Résoudre le système


x + 2y + 3z = 2




3x + y + 2z = 1
(S1 ) 



2x + 3y + z = 0
Exemple 2 — Résoudre les système

− y + 2z + 3t = 0






=0
2x + 2y − z
(Sh ) 


3x − y + 2z − 2t = 0




5x + y + z − 2t = 0
et

− y + 2z + 3t = 0






=0
2x + 2y − z
(S) 


3x − y + 2z − 2t = 0




5x + y + z − 2t = 1