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Équations de Maxwell, formes différentielles et relativité restreinte
Équations de Maxwell, formes différentielles et relativité restreinte J. Parizet 6 février 2012 L’invariance des équations de Maxwell dans un changement de variables (c’est à dire de repère), obtenue à l’aide des formes différentielles liées au champ électromagnétique conduit naturellement à la forme de Minkowski sur l’espace-temps et donc à la relativité restreinte. Dans l’espace affine euclidien orienté de dimension trois E3 , rapporté à un repère orthonormé direct R3 (O,⃗i, ⃗j,⃗k), un champ électromagnétique C de vecteurs → − → − ( E , B ), de classe C2 au moins, vérifie les équations de Maxwell1 à l’instant t au point M(x, y, z), → − → − ∂B → − rot E + = 0, div B = 0 ∂t et, en supposant le champ dans le vide → − ∂E ρ → − → − → − rot B − ε0 µ0 = µ0 J , div E = ∂t ε0 (1) (2) → − où ( J , ρ ) sont les densités de courant et de charge électriques, ε0 , µ0 ) les permittivité électrique et perméabilité magnétique. Vérifions que ε0 µ0 est l’inverse du carré de la vitesse de la lumière dans le vide2 . → − Lorsque J et ρ sont nuls, le champ électromagnétique est une onde. Avec le la−−→ → − → − → − placien △ : rot (rot E ) = grad (div E ) − △ E , compte-tenu de (1) et (2) → − ∂2 E → − → − △ E − ε0 µ0 2 = 0 ou avec le d’alembertien E = 0 ∂t → − → − → − De manière analogue (ou en changeant E en B ) : B = 0. 1 selon les notations de Semay et Silvestre-Brac (Relativité restreinte Dunod 2005) page 235 page 236 2 ibidem 1 √ Les deux champs de vecteurs se propagent à la vitesse c = 1/ ε0 µ0 , la vitesse de la lumière. Les opérateurs rotationnel, divergence, gradient,. . . relèvent traditionnellement de l’analyse vectoriel, mais plus naturellement de la différentiation des formes différentielles. Formes différentielles et analyse vectorielle → − → − Á partir des champs de vecteurs U et V , dépendant éventuellement du temps, définissons les formes différentielles de degré un et deux → − → − Ω1 ( U ) = Ux dx + Uy dy + Uz dz , Ω2 ( V ) = Vx dy ∧ dz + Vy dz ∧ dx + Vz dx ∧ dy et celle de degré trois à partir de la fonction f : Ω3 ( f ) = f dx ∧ dy ∧ dz. Remarquons les relations3 → − → − → − → − → − → − → − → − Ω1 ( U ) ∧ Ω1 ( V ) = Ω2 ( U × V ) , Ω1 ( U ) ∧ Ω2 ( V ) = Ω3 ( U · V ) Supposons ces champs de vecteurs et la fonction indépendants du temps et considérons les dérivées extérieures des formes qu’ils définissent : on retrouve les relations de l’analyse vectorielle puisque −−→ → − → − → − → − d f = Ω1 (grad f ) , dΩ1 ( U ) = Ω2 (rot U ) , dΩ2 ( V ) = Ω3 (div V ) ainsi par exemple −−→ → − → − → − → − → − → − dΩ1 ( f U ) = d f ∧ Ω1 ( U ) + f dΩ1 ( U ) ⇒ rot ( f U ) = grad f × U + f rot U −−→ → → − → − → − → − − → − dΩ2 ( f U ) = d f ∧(Ω2 ( U ) + f dΩ2 ( U ) ⇒ div ( f U ) = grad f · U + f div U ) → − → − → − → − → − → − → − → − et dΩ2 ( U )× V ) = d Ω1 ( U )∧Ω1 ( V ) = dΩ1 ( U )∧Ω1 ( V )−Ω1 ( U )∧dΩ1 ( V ) (→ − → −) → − → − → − → − s’écrit div U × V = rot U · V − U · rot V . Si les champs dépendent aussi du temps, la différentiation faire apparaitre les dérivées partielles par rapport à celui-ci, −) −) (∂→ (∂→ U V → − → − → − → − ∧ dt , dΩ2 ( V ) = Ω3 (div V ) + Ω2 ∧ dt dΩ1 ( U ) = Ω2 (rot U ) − Ω1 ∂t ∂t 1. Formes différentielles exprimant les équations de Maxwell → − → − → − Le champ électromagnétique C( E , B ), avec les densités ( J , ρ ), définit les formes différentielles de degré deux et trois → − → − Ω = Ω1 ( E ) ∧ dt + Ω2 ( B ) → − − e = Ω1 ( B ) ∧ dt − ε0 µ0 Ω2 (→ E) Ω → − → − Ω3 ( J , ρ ) = Ω2 ( J ) ∧ dt − Ω3 (ρ ) Les équations de Maxwell que vérifie le champ s’expriment selon les différentielles 3× désignant le produit vectoriel, ∧ le produit extérieur 2 extérieures des deux premières formes − e = µ0 Ω3 (→ J , ρ) dΩ = 0 , d Ω car avec −) −) (∂→ (∂→ E B → − → − → − → − dΩ1 ( E ) = Ω2 (rot E ) − Ω1 ∧ dt , dΩ2 ( B ) = Ω3 (div B ) + Ω2 ∧ dt ∂t ∂t on a −) −) [ (∂→ ] (∂→ E B → − → − dΩ = Ω2 (rot E ) − Ω1 ∧ dt ∧ dt + Ω3 (div B ) + Ω2 ∧ dt ∂t ∂t → − ( → − ∂B) → − soit dΩ = Ω2 rot E + ∧ dt + Ω3 (div B ) = 0 selon (1). ∂t De manière analogue → − ( − ∂E) → − → − e = Ω2 rot → dΩ B − ε0 µ 0 ∧ dt − ε0 µ0 Ω3 (div E ) = µ0 Ω3 ( J , ρ ) selon (2). ∂t Conséquences • La différentielle extérieure de la différentielle extérieure d’une forme est nulle : − → − e = µ0 dΩ3 (→ J , ρ ) = 0 ou dΩ3 ( J , ρ ) = 0 soit d2Ω → − ∂ρ = 0 (équation de conservation) div J + ∂t • Une forme extérieure de différentielle extérieure nulle est localement la différentielle extérieure d’une forme extérieure. Puisque dΩ est nulle, il existe une forme → − → − → − → − de degré un Ω1 ( A , a) = Ω1 ( A ) − adt telle que Ω = dΩ1 ( A , a) : on en déduit E → − → − et B à l’aide des potentiels vecteur et scalaire A et a → − −−→ ∂A → → − − → − E = −grad a − , B = rot A ∂t (3) → − A et a vérifient une équation du second ordre. Á partir de la relation rencontrée −−→ → − → − → − → − écrite avec le vecteur A : rot (rot A ) = grad (div A ) − △ A et de l’expression de → − rot B ∂a) → − → − −−→ ( → − A + µ0 J = grad div A + ε0 µ0 ∂t → − et avec celle de div E ρ ∂( → ∂a) − a + = div A + ε0 µ0 ε0 ∂ t ∂t 1 ∂a → − → − = 0 (ε0 µ0 = 1/c2 ) – jauge de Lorentz – A et a vérifient Si div A + 2 c ∂t ρ → − → − A + µ0 J = 0 , a + = 0. ε0 On peut choisir les potentiels de sorte que la condition de Lorentz soit satisfaite 3 → − en ajoutant à Ω1 ( A , a) la différentielle d’une fonction convenable : f étant une → − → − fonction de classe C2 , Ω1 ( A , a) + d f peut remplacer Ω1 ( A , a) et la condition de jauge de Lorentz est 1 ∂a → − div A + 2 +f = 0 c ∂t 2. Changement de variables et équations de Maxwell Cherchons un changement linéaire de variables χ : (t ′ , x′ , y′ , z′ ) 7→ (t, x, y, z) consere en φ ∗ Ω vant les équations de Maxwell, c’est à dire transformant les formes Ω et Ω ∗ e et φ Ω définies par les mêmes vecteurs de champ, puis interprétons le résultat. Commençons par un changement de variables spatiales (x, y, z). a. Changement de variables spatiales Soit d’abord le changement de deux variables, par exemple χ : x = λ x′ + µ y′ , y′ = α x′ + β y′ , z = z′ Ce changement correspond à un changement de base du repère de l’espace E3 → − → −′ → − i = λ⃗i + α ⃗j , j ′ = µ⃗i + β ⃗j , k ′ =⃗k e sont les composantes de vecteurs dans cette Les cœfficients des formes χ ∗ Ω et χ ∗ Ω → − → − − ′′ → − e = Ω1 (→ base : χ ∗ Ω = Ω1 ( E ′ ) ∧ dt + Ω2 ( B ′ ) , χ ∗ Ω B ) ∧ dt − ε0 µ0 Ω2 ( E ′′ ). Ainsi, avec δ =[λ β − α µ et en écrivant Ex au lieu de Ex ◦χ . .]. χ ∗ Ω = Ex (λ dx′ + µ dy′ ) + Ey (α dx′ + β dy′ ) + Ez dz′ ∧ dt ′ + Bx (α dx′ + β dy′ ) ∧ dz′ + By dz′ ∧ (λ dx′ + µ dy′ ) + Bz δ dx′ ∧ dy′ − → −′ → −′ → − → − → On voit apparaitre dans ( i ′ , j ′ , k ′ = ⃗k) ′ les vecteurs E et B decomposantes B′x′ = β Bx −µ By Ex′ = λ Ex +α Ey ′ E ′ = µ Ex +β Ey B′ ′ = λ Bx −α By y′ y′ Ez′ = Ez Bz′ = δ Bz e et obtenir les composantes On peut conduire le même calcul pour expliciter χ ∗ Ω → − ′′ → − ′′ e se déduit de Ω en dans la nouvelle base de E et B , mais en remarquant que Ω → − → − → − → − 2 → − ′′ → − ′′ changeant E en B et B en − E /c on obtient les relations qui donnent E et B ′′ ′′ = λ Bx +α By Bx ′ Ex′ = β Ex −µ Ey B′′y′ = µ Bx +β By E′′′ = λ Ex −α Ey ′′ y′′ Bz′ = Bz Ez′ = δ Ez ∗ ∗ e Pour que χ Ω et χ (Ω) correspondent à des équations de Maxwell, c’est à dire → − → − → − → − pour que E ′′ = E ′ et B ′′ = B ′ , nécessairement λ = β , α = −µ , δ = 1 = λ 2 + µ 2 . La trigonométrie circulaire apparait naturellement, et on peut poser λ = β = cos θ , α = −µ = sin θ Le changement de repère est donné par la rotation d’angle θ et d’axe issu de l’ori- 4 gine du repère dirigé par ⃗k : → − → − → −′ i = cos θ⃗i + sin θ ⃗j , j ′ = − sin θ⃗i + cos θ ⃗j , k ′ =⃗k −′ → −′ → −′ → La base ( i , j , k ) est orthonormée directe (δ = 1). → − Les composantes de E ′ sont celles du champ électrique dans la nouvelle base et → −′ → − → − → − → − → − B exprime B dans cette base : vectoriellement E ′ = E , B ′ = B . → − → − Dans cette rotation, avec χ ∗ Ω3 ( J , ρ ) et ρ ∗ Ω1 ( A , a) → −′ → − → − → − J = J , a′ = a et A ′ = A , a = a′ Un changement plus général de variables spatiales doit revenir à une rotation, ne serait-ce pour exprimer le champ dans une base orthonormée directe. Un calcul simple permet de le vérifier forme : sile ′changement est1 de la 1 x x a1 a2 a13 y = S y′ où S = a21 a22 a23 z z′ a31 a32 a33 Puisque l’on est dimension en ′trois ′ dx dx dy ∧ dz dy ∧ dz′ dy = S dy′ ⇒ dz ∧ dx = Sc dz′ ∧ dx′ dz dz′ dx ∧ dy dx′ ∧ dy′ c où S est la coadjointe de S (ses cœfficients sont les mineurs algébriques des cœfficients correspondants de S). En considérant les colonnes des vecteurs précédents E′ =t S E, B′ =Sc B et E′′ =Sc E, B′′ =t S B t c t Ainsi S=S soit S=(det S( S−1 d’où det S=(det S)3 /det S, étant en dimension trois et enfin t S = S−1 avec det S=1 : S est une matrice de rotation. b. Changement de la variable temporelle et d’une variable spatiale Cherchons maintenant un changement linéaire de variables χ : (t ′ , x′ , y′ , z′ ) 7→ (t, x, y, z) transformant les équations de Maxwell en des équations de Maxwell. (x, y, z) sont les coordonnées du point M dans le repère orthonormé direct R3 (O,⃗i, ⃗j,⃗k) de E3 , où s’exprime le champ électromagnétique à l’instant t. Il est commode de plonger E3 dans E4 rapporté au repère R4 (O, τ ,⃗i, ⃗j,⃗k) (en ajoutant τ à la base de R3 ) où (t, x, y, z) sont les coordonnées de M – E4 est l’espacetemps. Commençons par un changement de la variable temporelle et d’une variable spatiale, par exemple χ : (t = λ t ′ + µ x′ , x = α t ′ + β x′ , y = y′ , z = z′ ) qui correspond au changement de repère 5 → − → − R4 (O, τ ,⃗i, ⃗j,⃗k) 7→ R′4 (O, τ ′ , i ′ , ⃗j,⃗k) où τ ′ = λ τ + α⃗i , i ′ = µτ + β⃗i. L’image de Ω par χ est, avec δ = λ β − µα χ ∗ Ω = Ex δ dx′ ∧ dt ′ + [Ey dy′ + Ez dz′ ] ∧ (λ dt ′ + µ dx′ ) + Bx dy′ ∧ dz′ + By dz′ ∧ (α dt ′ + µ dx′ ) + Bz (α dt ′ + β dx′ ) ∧ dy′ → −′ → −′ → − → − d’où E et Bdonnés par χ ∗ Ω = Ω1 ( E ′ ) ∧ dt ′ + Ω2 ( B ′ ) E′x′ = δ Ex B′x′ = Bx E′ ′ = λ Ex −α By B′ ′ = β Bx + µ Ey y′ y′ Ez′ = λ Ez +α By Bz′ = β Bz −µ Ez − ′′ → − ′′ → − ′′ → − e = Ω1 ( B ′′ ) ∧ dt ′ − 1 Ω2 (→ E et B intervenant dans χ ∗ Ω E ) s’obtiennent avec 2 → −′ → − ′′ → −′ c → − ′′ 2 le résultat précédent ′′ en changeant E en B et ′′B en − E /c Bx ′ = δ Bx Ex ′ = Ex α ′′′ = λ B′ B x + c2 E y E′′′ = β Ex −µ c2 By y′ y′′ α Bz′ = λ Bz − c2 Ey Ez′ = β Ez +µ c2 Bz e doivent correspondre à des équations de Maxwell pour un champ élecχ ∗ Ω et χ ∗ Ω → − → − → − → − tromagnétique : E ′ = E ′′ et B ′ = B ′′ λ = β , α = µ c2 et γ = 1 soit λ 2 − µ 2 c2 = 1. L’intervention des lignes hyperboliques s’impose : posons λ = β = ch φ (pour conserver l’orientation du temps) et α = csh φ , µ = sh φ /c. → − Avec ces notations : τ ′ = ch φ τ + csh φ⃗i, i ′ = shcφ τ + ch φ⃗i et ′ B′x′ = Bx = E E ′ x ′ x sh φ By′ = ch φ Bx + Ey E′y′ = ch φ Ex −c sh φ By c ′ sh φ Ez′ = ch φ Ez +c sh φ By B′z′ = ch φ Bz − Ez c → −′ → −′ Les composantes précédentes de E et B donnent ces vecteurs dans B′ (base de → − R′4 ). En remplaçant dans leurs expressions i ′ par son expression en τ ,⃗i : − → − ′ sh φ ⃗ → → − → − E = (i · E ) τ + ch φ E + c sh φ⃗i × B (4) c → − ′ sh φ ⃗ → → − sh φ ⃗ → − − B = (i · B ) τ + ch φ B − i× E (5) c c Les produits scalaire et vectoriel de ces expression sont définis dans l’espace euclidien orienté [⃗i, ⃗j,⃗k]. → − → − → − → − Vérifions que le champ C′ ( E ′ , B ′ ) est le champ C( E , B ) dans le nouveau repère, → − → − alors que E ′ (et B ′ ) ne sont pas les champs correspondants de C dans ce repère. → − → − Puisque la différentiation extérieure commute avec φ ∗ , φ ∗ Ω3 ( J , ρ ) et φ ∗ Ω1 ( A , a) donneront les effets du changement de variables sur les charges et les potentiels. 6 → − φ ∗ Ω3 ( J , ρ ) = Jx dy′ ∧ dz′ ∧ (ch φ dt ′ + shcφ dx′ ) + Jy dz′ ∧ dx′ ∧ dt ′ + Jz dt ′ ∧ dx′ ∧ dy′ − ρ (c sh φ dt ′ + ch φ dx′ ) ∧ dy′ ∧ dz′ [ ] → − ∗ φ Ω1 ( A ) − a dt = Ax (c sh φ dx′ + ch φ dx′ ) + Ay dy′ + Az dz′ − a(ch φ dt ′ + shcφ dx′ ) Ainsi J′x′ = ch φ Jx − ρ c sh φ , J′y′ = Jy , J′z′ = Jz , ρ ′ = ρ ch φ − shcφ Jx A′x′ = ch φ Ax − a shcφ , A′y′ = Ay , A′z′ = Jz , a′ = a ch φ − c sh φ Ax . Ces relations s’écrivent vectoriellement → − → − ρ τ + J = ρ ′ τ ′ + J ′ quadricourant de densité de charges, a a′ ′ → → − − τ + A = τ + A ′ quadripotentiel. 2 2 c c Puisque le quadripotentiel est le même dans R4 et R′4 (avec des composantes diffé→ − → − rentes), le champ électromagnétique dont les vecteurs E et B sont donnés par (3) → − → − → − dans R3 a pour vecteurs E ′ et B ′ donnés dans R′3 par (3) portant sur A ′ , a′ : − → − → − → − → − → − → − → ( E , B ) vecteurs du plan [⃗i, ⃗j,⃗k] et ( E ′ , B ′ ) vecteurs de [ i ′ , j ′ , k ′ ] expriment dans chacun des repères R3 et R′3 le même champ électromagnétique qui a pour → − densité de charges le quadricourant ρ τ + J de E4 . Ou encore le changement de variables χ transforme les équations de Maxwell en des équations de Maxwell relatives au même champ électromagnétique. Ce changement de variables est une transformation de Lorentz élémentaire. (→ − → − → − → − ) C admet deux invariants E · B , c2 B 2 − E 2 . Vérifions le par multiplication ex→ − → − − → − e = Ω1 (→ térieures de Ω = Ω1 ( E ) ∧ dt + Ω2 ( B ) et Ω B ) ∧ dt − c12 Ω2 ( E ) : [ (→ → − → − ][ → − → − ] − → −) Ω1 ( E ) ∧ dt + Ω2 ( B ) Ω1 ( E ) ∧ dt + Ω2 ( B ) = 2 E · B dx ∧ dy ∧ dy ∧ dt [ ) → − ] (→ → − → − ][ → − − → − Ω1 ( E ) ∧ dt + Ω2 ( B ) Ω1 ( B ) ∧ dt − c12 Ω2 ( E ) = B 2 − E 2 /c2 dx ∧ dy ∧ dy ∧ dt et l’on( conclut ) puisque dans le changement de variables χ e χ ∗ Ω ∧ Ω = χ ∗ Ω ∧ χ 2 Ω (et de même en remplaçant un terme en Ω par Ω), ∗ ′ ′ ′ ′ avec χ (dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt) = dx ∧ dy ∧ dz ∧ dt . Avant de poursuivre, structurons E4 par la forme de Minkowski et notons ET l’espacetemps muni de cette forme, ce qui permettra de vérifier que le passage d’un repère adapté à cette forme à un autre de même espèce conserve les équations de Maxwell car ce passage est produit de rotations ou de transformations de Lorentz élémentaires. Forme de Minkowski Que ce soit dans le cas d’un changement de repère portant sur deux variables spatiales ou sur celui de la variable temporelle et d’une variable spatiale la forme quadratique Q(t, x, y, z) = c2t 2 − x2 − y2 − z2 est invariante car dans le premier cas il s’agit d’un changement de repère orthonormé de E3 et 7 dans le second cas, avec ses notations c2t 2 − x2 − y2 − z2 = c2 (sh φ t ′ + shcφ x′ )2 − (c sh φ t ′ + ch φ x′ )2 − y′ )2 − z′2 = c2t ′2 − x′2 − y′2 − z′2 ⃗ ⃗⃗ Dans la base B(τ , i, j, k) du repère R4 , avec la forme bilinéaire Φ associée à Q Q(τ ) = c2 , Q(⃗i) = Q(⃗j) = Q(⃗k) = −1 et de même pour R′4 . Φ(τ ,⃗i) = Φ(τ , ⃗j) = Φ(τ ,⃗k) = −1 Φ(⃗i, ⃗j) = Φ(⃗j,⃗k) = Φ(⃗k,⃗i) = 0 R4 et R′4 sont dits Q-orthonormés, de vecteurs temporels τ et τ ′ . Les vecteurs (⃗i, ⃗j,⃗k) sont deux à deux orthogonaux dans l’espace directeur de E3 et Φ-orthogonaux dans E4 , celui de E4 . Chacun d’eux est Φ-orthogonal à τ , ainsi que tout vecteur de l’espace qu’ils engendrent, noté Eτ et que l’on suppose orienté. Pour les vecteurs temporels τ et τ ′ des repères précédents Φ(τ , τ ′ ) = c2 ch φ ≥ 1 strictement positif ; on dira que τ et τ ′ ont même orientation. Base Q −orthonormée construite à partir de son vecteur temporel. Donnons nous une base Q −orthonormée B(τ ,⃗i, ⃗j,⃗k) qui permet de préciser les éléments cherchés ainsi que les orientations de l’espace. Soit τ ′ temporel de même orientation que τ . Á priori τ ′ = λ τ + µ ⃗u, le vecteur ⃗u choisi unitaire appartient à Eτ . Q′ (τ ) = c2 → c2 = c2 λ 2 − µ 2 ≥ c2 λ 2 ≥ c2 : il existe φ tel que c λ = ε ch φ , Φ(τ , τ ′ ) = c2 ch φ : τ ′ et τ de même orientation, ε = 1. Ajoutons ( à ⃗u des vecteurs⃗v et ⃗w tels que (⃗u,⃗ ) v,⃗w) soit une base orthonormée directe ⃗ ⃗ ⃗ de Eτ l’orientation est donnée par (i, j, k) . Ces deux vecteurs appartiennent à Eτ ′ . Soit ⃗u ′ unitaire de Eτ ′ , dans le plan [τ ,⃗u]. On vérifie que ⃗u ′ est de la forme ( sh φ ) τ + ch φ ⃗u ⃗u ′ = ε c Or detB (τ ′ ,⃗u ′ ,⃗v,⃗w) = ε : il convient de prendre ε = 1 pour que l’orientation de B′ (τ ′ ,⃗u ′ ,⃗v,⃗w) soit celle de B ; ce choix de ε convient car le passage de B(τ ,⃗u,⃗v,⃗w) à B′ (τ ′ ,⃗u ′ ,⃗v,⃗w) correspond au changement de variables spatio-temporelles de §2.b. Toute autre base Q −orthonormée directe de premier vecteur τ ′ se déduit de B′ par une rotation de (⃗u ′ ,⃗v,⃗w) dans Eτ ′ . Et on s’aperçoit que l’on passe de B à la dernière base par une succession de transformations rencontrées en §.2.a et §.2.b. La relation pour les vecteurs temporels "avoir même orientation" est d’équivalence. Il suffit d’en vérifier la transitivité. Considérons, avec les vecteurs τ et τ ′ précédents de même orientation, le vecteur temporel τ ′′ de même orientation que τ ′ . Selon le raisonnement précédent il existe ⃗v ′ unitaire de Eτ ′ et ψ tels que τ ′′ = ch ψ τ ′ + c sh ψ ⃗v ′ . Exprimons τ dans R′ : τ = ch φ τ ′ + c sh φ ⃗u ′ ; ainsi Φ(τ , τ ′′ ) = c2 ch φ ch ψ − c2 sh φ sh ψ ⃗u ′ ·⃗v ′ le produit scalaire, dans Eτ ′ , étant inférieur ou égal à 1 puisque les vecteurs sont 8 unitaires. D’où ( ) Φ(τ , τ ′′ ) ≥ c2 ch φ ch ψ − sh |φ |sh |ψ | = c2 ch (|φ | − |ψ |) ≥ c2 τ ′′ et τ ont donc même orientation. 3. Cinématique relativiste Dans la donnée initiale du repère R3 (O,⃗i, ⃗j,⃗k) de E3 , où est précisé le champ électromagnétique, devrait figurer le temps t car le champ en dépend : notons ce repère R3 (Ot ,⃗i, ⃗j,⃗k). Cela revient à plonger E3 dans E4 en considérant que l’origine Ot du repère précédent décrit la droite O+t τ ; les vecteurs (⃗i, ⃗j,⃗k) forment une base de l’espace directeur E3 de E3 . E3 considéré comme sous espace de E4 n’est autre que Eτ hyperplan Φ-orthogonal à τ et l’espace affine Ot + Eτ , que l’on notera Et (O), est l’espace E3 à l’instant t. Les Et (O) sont des sous-espaces affines parallèles. Dans la terminologie usuelle, Ot dont la trajectoire dans E4 est une droite (sa droite d’univers) est un observateur galiléen de quadrivitesse τ , dont t (qui le paramètre sur sa droite d’univers) est le temps propre et on peut dire que Et (O) est son espace propre à l’instant t de son temps propre. → − De manière analogue le second repère R′4 (O, τ ′ , i ′ , ⃗j,⃗k) intervenant en §2.b correspond à un second observateur galiléen O′ =O+t ′ τ ′ de temps propre t ′ et d’espace propre à cet instant O′τ ′ +Eτ ′ . Étudions les mouvements relatifs de ces observateurs O et O′ l’un par rapport à l’autre. La trace de la droite d’univers de O′ sur l’espace propre de O à l’instant t du temps propre de O est l’observation de O′ par O à cet instant t. t ′ étant le temps propre de −−−→ O′ observé alors par O : Ot Ot′ ′ ∈ Eτ soit avec les notations de §2.b t ′ τ ′ − t τ = t ′ (ch φτ + c sh φ⃗i) − t τ ∈ Eτ −−−→ d’où t ′ ch φ = t et alors Ot Ot′ ′ = t ′ c sh φ⃗it (c th φ⃗i) ⃗v = c th φ⃗i est la vitesse de O′ par rapport à O. → − En considérant ⃗t = ch φτ ′ − csh φ i ′ , on obtient la vitesse de O par rapport à O′ → − ⃗v′ = −c th φ i ′ . → −′ Ces vitesses ne sont pas opposées car i ̸= −⃗i Avec les notations traditionnelles c th φ = v, γ = ch φ = √ Lorentz correspondent au changement de variables du §2.b x′ + vt t ′ + vx/c2 x= √ ,τ = √ 1 − v2 /c2 1 − v2 /c2 9 1 v2 1− 2 c , les formules de Illustrons par un dessin dans le plan des quadrivitesses τ , τ ′ . Les espaces propres des observateurs galiléens (aux instants de leurs temps propres) rencontrent le plan [τ , τ ′ ] selon des droites D, par exemple D(O0 ) et D(Ot ) pour O. t = γt′ t1 = γ t ′′ D(Ot′ ′ ) r r r ′ Ot1 Ot′ ′′ At ′ D(Ot1 ) D(Ot ) r r ′ Ot O t′ D(O′ ) 0 r ′ − ′ A′ τ 6τ → i 0 * O0 D(O0 ) O′ ⃗ 0 i Section de l’espace-temps par le plan [τ , τ ′ ] Les droites d’univers de O et de O′ se coupent en O=O0 =O′0 point pris pour origine des deux temps propres : on dit que leurs horloges sont synchronisées. On retrouve les paradoxes relativistes. • les droites d’univers de O et de O′ se rencontrent en un point où leurs temps propres sont nuls ; on dit que leurs horloges sont synchronisées. O′0 est dans l’espace propre de O0 et Ot′ ′ dans celui de Ot ; t = γ t ′ : le temps propre de O′ en mouvement par rapport à O et le temps propre de O vérifient t = γ t ′ > t ′ (dilatation du temps) pour O. • Le point A′ , dont la droite d’univers est parallèle à celle de O′ , est en repos par rapport à O′ ; on peut prendre pour temps propre de A′ celui de O′ . Les points A′0 et At′ ′ , traces de la droite d’univers de A′ sur D(O′0 ) et D(Ot′ ′ ), sont les évènements, situations de A′ aux instants 0 et t ′ de son temps propre : pour O′ ces événements coïncidentes, A′ est fixe pour O′ . Mais At′ ′ est dans l’espace propre de O en son temps propre t1 > t ′ : non simultanéité des événements qui coïncident dans l’espace propre de O′ et non dans celui de O. → − • On peut préciser en posant At′′′ = Ot′ ′ + l ′ i ′ et, At ′ appartenant l’espace propre de O en son instant t1 de son temps propre, At ′ = Ot1 + l⃗i. Á partir des deux expressions de At ′ : déduites de Ot′ ′ et de Ot′ ′′ v t ′ γ (τ + v⃗i) + l ′ γ (⃗i + 2 τ ) = t ′′ γ (τ + v⃗i) + l⃗i c soit vt ′ vt ′ vt ′ l′ γ (t ′′ − t ′ ) = γ 2 ou t1 − t = γ 2 , l = γ l ′ − γ 2 t ′ ou l = < l ′ c c c γ 10 La première relation précise la non simultanéité, la seconde montre que pour O la longueur apparente du segment dirigé dans le sens de son mouvement parait diminuée (contraction des longueurs). → − → − Expressions des champs dans un changement d’observateur. Le champ C( E , B ) étant défini dans l’espace propre de O, comment l’est-il dans celui de O′ ? Transcrivons les relations (4,5). Il vient, avec ch φ = γ , c th φ = v → − ⃗v · E → −′ → − → − (6) E = γ 2 τ + γ E + γ ⃗v × B c → − → − ⃗v · B ⃗v × E → −′ → − B = γ 2 τ + γ B −γ (7) c c2 les produits scalaire et vectoriel étant toujours dans l’espace propre de O. → − → − ( E ′ , B ′ ) sont les vecteurs de C pour O′ , de quadrivitesse τ ′ . ces vecteurs sont dans → − → − Eτ ′ , comme on le vérifie en considérant Φ(τ ′ , E ′ ) et Φ(τ ′ , B ′ ). Lorsque la vitesse v est négligeable devant celle de la lumière, on les expressions prérelativistes (γ ≈ 1) → −′ → − → − → − → − E = E +⃗v ∧ B , B ′ = B → − " B vecteur axial" est une expression prérelativiste. ·−·−·−·−· 11
