Exercice F5

Exercice F5
1. La suite (xn ) est définie par : x0 = 3 et xn+1 = 2xn − 1.
Soit Pn la proposition : « xn = 2n+1 + 1 ».
Pour n = 0, on a : 2n+1 + 1 = 21 + 1 = 3 = x0 , la proposition P0 est donc vraie.
Supposons que la proposition Pn est vraie pour un entier naturel n fixé.
On a alors xn = 2n+1 + 1 .
On sait que xn+1 = 2xn − 1, donc xn+1 = 2(2n+1 + 1) − 1 = 2n+2 + 2 − 1 = 2n+2 + 1 .
La proposition Pn+1 est alors vraie.
On a donc démontré par récurrence que :
pour tout entier naturel n, xn = 2n+1 + 1 .
2. a) Par définition de la suite (xn ), on a x9 = 2x8 − 1, donc 2x8 + (−1) × x9 = 1.
Le théorème de Bézout permet d’en déduire que : PGCD(x8 ; x9 ) = 1, x8 et x9 sont premiers entre eux .
De même x2003 = 2x2002 − 1, donc 2x2002 + (−1) × x2003 = 1.
Et d’après le théorème de Bézout : PGCD(x2002 ; x2003 ) = 1, x2002 et x2003 sont premiers entre eux .
b) On sait que pour tout entier naturel n on a : xn+1 = 2xn − 1, donc 2xn + (−1) × xn+1 = 1.
Et d’après le théorème de Bézout : xn et xn+1 sont premiers entre eux .
3. a) Soit Qn la proposition : « 2xn − yn = 5 ».
Pour n = 0, on a : 2x0 − y0 = 2 × 3 − 1 = 5, la proposition Q0 est donc vraie.
Supposons que la proposition Qn est vraie pour un entier naturel n fixé.
On a alors 2xn − yn = 5 .
On peut écrire : 2xn+1 − yn+1 = 2(2xn − 1) − (2yn + 3) = 4xn − 2 − 2yn − 3 = 4xn − 2yn − 5 .
Donc 2xn+1 − yn+1 = 2(2xn − yn ) − 5 = 2 × 5 − 5 = 5 .
La proposition Qn+1 est alors vraie.
On a donc démontré par récurrence que : pour tout entier naturel n, 2xn − yn = 5 .
b) D’après la question précédente, pour tout entier naturel n, on a yn = 2xn − 5.
On sait que xn = 2n+1 + 1, donc yn = 2(2n+1 + 1) − 5 .
On a donc :
pour tout entier naturel n, yn = 2n+2 − 3 .
c) Soit r le reste de la division euclidienne de 2p par 5. On sait que 0 6 r < 4 .
On a : 2 ≡ 2 [5]
22 ≡ 4 ≡ −1 [5]
23 ≡ 8 ≡ 3 [5]
2
24 ≡ (22 ) ≡ (−1)2 ≡ 1 [5]
On peut en déduire que :
•
•
•
•
k
Si p = 4k avec k ∈ N, alors 2p ≡ 24k ≡ (24 ) ≡ (1)k ≡ 1 [5], donc r
k
Si p = 4k + 1 avec k ∈ N, alors 2p ≡ 24k+1 ≡ (24 ) × 21 ≡ (1)k × 2 ≡ 2
k
Si p = 4k + 2 avec k ∈ N, alors 2p ≡ 24k+2 ≡ (24 ) × 22 ≡ (1)k × 4 ≡ 4
k
Si p = 4k + 3 avec k ∈ N, alors 2p ≡ 24k+3 ≡ (24 ) × 23 ≡ (1)k × 3 ≡ 3
=1
[5], donc r = 2
[5], donc r = 4
[5], donc r = 3
d) dn étant le pgcd de xn et yn , dn divise xn et yn , donc dn divise 2xn − yn = 5.
Comme 5 est un nombre premier, on en déduit que : dn = 1 ou dn = 5 .
• Supposons que dn = 5. Alors yn est divisible par 5,
donc yn ≡ 0 [5], donc 2n+2 − 3 ≡ 0 [5], donc 2n+2 ≡ 3 [5], donc n + 2 = 4k + 3 avec k ∈ N
On en déduit que : n = 4k + 1 avec k ∈ N .
• Réciproquement, si n = 4k + 1 avec k ∈ N ,
alors yn ≡ 2n+2 − 3 ≡ 24k+3 − 3 ≡ 3 − 3 ≡ 0 [5], donc yn est divisible par 5,
et xn ≡ 2n+1 + 1 ≡ 24k+2 + 1 ≡ 4 + 1 ≡ 0 [5], donc xn est divisible par 5.
On en déduit que dn = 5 .
On a donc démontré que dn est égal à 5 si et seulement si n est de la forme 4k + 1 avec k ∈ N .
On en déduit que dn est égal à 1 si et seulement si n n’est pas de la forme 4k + 1 avec k ∈ N .
Donc :
xn et yn sont premiers entre eux si et seulement si n − 1 n’est pas divisible par 4 .
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Terminale S : Arithmétique - Exercices
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