Généralités sur les fonctions Introduction 1 Notion de fonction

Seconde
Fonctions : généralités
Chapitre 4
Généralités sur les fonctions
Introduction
Dans de nombreuses situations de la vie courante, il y a des relations entre les nombres ; par exemple :
– entre le nombre de SMS envoyés, et le montant de la facture de votre opérateur.
– entre le nombre de kilomètres effectués en 3 heures et la vitesse moyenne de la voiture.
– entre la longueur du côté d’un carré et son aire, entre la longueur des arêtes d’un cube et son
volume.
Ces relations vont donner lieu à des fonctions qui à un nombre x vont faire correspondre un autre
nombre que l’on notera f (x) : par exemple, si x est le nombre d’heures passées au téléphone et f (x)
est le prix à payer.
On note souvent : f : x 7−→ f (x).
Exemple : Soit f la fonction qui calcule le montant total de la facture d’un forfait illimité 3G +.
La facture ne dépend pas du temps, mais de la quantité d’information téléchargée. Si le nombre de
méga octets téléchargés est inférieur à 1000, on ne paye que le montant de l’abonnement, soit 90 e.
Mais si le nombre de méga octets dépasse mille, alors on paye 1 e par méga octet supplémentaire.
On notera f : x 7−→ f (x). Ici, x représente le nombre de méga octets, et f (x) la facture correspondante.
Un film représente 700 Mo.
1. Combien paye-t-on si l’on télécharge un film ?
2. Combien paye-t-on si l’on télécharge deux films ?
3. Combien coûterait l’intégrale de Harry Potter ? (6 DVD pour le moment)
4. Que peut-on dire à propos de f (x) si x < 0 ?
5. Que peut-on dire à propos de f (x) si x ∈ [0; 1000] ?
6. Que peut-on dire à propos de f (x) si x > 1000 ?
1
Notion de fonction
1.1
Définitions
Définition : Une fonction définie sur un intervalle I associe à chaque nombre de cet intervalle un
nombre réel et un seul.
Notation : h :
I −→ R
x 7−→ f (x)
Définitions : Soit x0 ∈ I. Le nombre réel y0 = f (x0 ) est l’image de x0 par f . On dit que x0 est un
antécédent de y0 par f .
Exemples :
1. Soit f définie sur R par f (x) = 2x−3. Déterminer les image de 5 ; -2 ; 4 et
√
les antécédents de 0 ; -1 et 2 par f .
−8
3
par f . Déterminer
Définition : On appelle courbe représentative de f sur I l’ensemble des points M (x; y) du plan
tels que x ∈ I et y = f (x).
Représenter graphiquement une fonction f , c’est tracer sa courbe représentative Cf , où Cf =
{M (x ; y)/y = f (x)} (ce qui se lit : « Cf est l’ensemble des points M de coordonnées (x ; y),
tels que y soit égal à f (x). »)
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A. Cossart
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Fonctions : généralités
Chapitre 4
Définition : On appelle domaine de définition de la fonction f (souvent noté Df ) l’ensemble des
réels x pour lesquels f (x) est défini.
Attention : ne pas confondre :
– f , qui est une fonction.
– f (x), qui est l’image de x par f . Donc f (x) est un nombre.
– Cf , la courbe de la fonction f , qui est un dessin.
1.2
Propriétés
Remarque : Pour qu’un point appartienne à la courbe représentative d’une fonction, il faut que
son ordonnée soit égale à l’image de son abscisse (c-à-d y = f (x)).
Exemples :
√
1. Soit f la fonction définie par f (x) = x2 sur Df = R. Les points M (2 ; 4) ; N (−3 5 ; 45) et
P ( 75 ; 0, 51) appartiennent-ils à Cf ?
3x + 1
. Déterminer yR pour que le point R(5; yR ) apx+2
partienne à Cg . Déterminer toutes les valeurs de xS pour lesquelles le point S(xS ; 2) appartient
à Cg .
√
3. Soit h définie sur R+ par h(x) = x. Existe-t-il un nombre xT tel que T (xT ; −1) appartienne
à CT ?
2. Soit g définie sur ]−2; +∞] par g(x) =
Propriétés : Soient f et g deux fonctions définies sur l’intervalle I.
1. f est positive sur I signifie que pour tout x de I, f (x) > 0. Alors sur le graphique Cf est
au-dessus de l’axe des abscisses.
2. f > g sur I signifie que pour tout x de I, f (x) > g(x). Quand on les représente, Cf est
au-dessus de Cg .
3. f < g sur I signifie que pour tout x de I, f (x) < g(x). Quand on les représente, Cf est
en-dessous de Cg .
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2.1
Variation d’une fonction
Sens de variation
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est croissante sur I lorsque,
pour tout deux nombres a et b appartenant à I :
Si a 6 b alors f (a) 6 f (b).
Exemple : Soit f sur R définie par f (x) = 4x − 1.
Soient a et b deux réels. Si a 6 b, alors 4a − 1 6 4b − 1. Donc f (a) 6 f (b) et f est croissante sur R.
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est décroissante sur I
lorsque, pour tout deux nombres a et b appartenant à I :
Si a 6 b alors f (a) > f (b).
Exemple : Soit f définie sur R par f (x) = x2 .
On sait que deux nombres positifs sont rangés dans le même ordre que leurs carrés, donc si 0 6 a 6 b,
alors 0 6 a2 6 b2 . Donc f est croissante sur [0; +∞[.
Si a < b 6 0, on cherche à comparer f (a) et f (b) en étudianbt le signe de leur différence :
f (a) − f (b) = a2 − b2 = (a − b)(a + b). Or, a < b donc a − b < 0, et a et b négatifs, donc a + b 6 0
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et f (a) − f (b) > 0. D’où f (a) > f (b) et f décroissante sur ] − ∞; 0].
Remarque : On dira d’une fonction qui prend toujours la même valeur qu’elle est constante.
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On dit que f est monotone sur I lorsque
f ne change pas de sens de variation sur I.
Exemples :
– La fonction f définie sur R par f (x) = x2 est monotone sur R+ ; elle est également monotone sur
R− , mais elle n’est pas monotone sur R.
– Montrer que g définie sur R par g(x) = −7x + 2 est monotone sur R.
2.2
Extrema
Définition :
– Dire que f admet un minimum local égal à f (x0 ) en x0 signifie que : pour tout x de [a ; b],
f (x) > f (x0 ).
– Dire que f admet un maximum local égal à f (x0 ) en x0 signifie que : pour tout x de [a ; b],
f (x) 6 f (x0 ).
Exemple : La fonction h définie sur R par h(x) = x2 − 1 admet un minimum. Ce minimum vaut
−1, et il est atteint en 0.
2.3
Tableau de variation d’une fonction
On traduit mathématiquement à l’aide d’un tableau ce que tout le monde peut observer sur la
représentation graphique ci-contre, à savoir que la courbe « monte » sur [0; 2], c’est-à-dire que f
est croissante sur [0; 2], et qu’elle descend sur [2; 3], c’est à dire que f est décroissante sur [2; 3]. On
appellera tableau de variation de la fonction f une telle représentation.
Étudier les variations d’une fonction, c’est préciser les intervalles ou cette fonction est croissante et
ceux où elle est décroissante.
Exemple : Soit la fonction numérique f définie par : f (x) = x2 + 2x − 3 sur Étudier les variations
de f sur l’intervalle ] − 1 ; 3[ , puis sur ] − 4 ; −1[. Dresser le tableau de variation de f .
Compléter le tableau de valeurs suivants :
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
f (x)
3
A. Cossart
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Chapitre 4
I Les fonctions affines. 1) Définition. Une fonction affine va faire correspondre à n’importe quel
nombre x le nombre : où a et b sont des coefficients constants. On écrit , ou bien f(x) = ax + b.
Dans la relation f(x) = ax + b, x est appelée la variable. Exemple : f(x) = 3x + 1. Au nombre x,
on associe le nombre 3x + 1
Cas particuliers : Lorsque b = 0, f(x) = ax, f est une fonction linéaire. Lorsque a = 0, f(x) = b, f
est une fonction constante. Exemples : g(x) = -2x. C’est une fonction linéaire (a = -2 et b = 0). Au
nombre x on fait correspondre le nombre . h(x) = . C’est une fonction constante (a = 0 et b = ).
Au nombre x on fait correspondre le nombre .
2) Représentation graphique. Rappel : L’axe (Ox) est appelé l’axe des abscisses et l’axe (Oy), l’axe
des ordonnées.
Méthode : La représentation graphique de la fonction est la droite d’équation : y = 3x + 1. Cela
signifie que pour représenter cette fonction on va dessiner la droite constituée des points qui ont
pour abscisse x et pour ordonnée y = 3x + 1. Pour tracer cette droite, il suffit de prendre deux
valeurs de x, et de calculer la valeur de y qui correspond ;
Par exemple : x = 0 donne y = = 1 x = 1 donne y = = 4. La droite passera par les points de
coordonnées (0 ; 1) et (1 ; 4). Dans le cas général, la représentation graphique de la fonction : f(x)
= ax + b est la droite d’équation : y = ax + b.
Exercice : Dire si les fonctions suivantes sont affines ou si elles ne le sont pas. Si la fonction est
affine, donner sa représentation graphique.
II
Construire la courbe Cf dans un repère orthonormal unité 1 cm Utiliser le graphique pour déterminer
le signe de f(x) Développer (x − 1)(x + 3). En déduire le signe de f(x), par le calcul.
IV Parité d’une fonction.
admet (Oy) comme axe de symétrie, ce qui traduit graphiquement que ont la même image : f(-x)
= f(x).
admet le point O comme centre de symétrie, ce qui traduit graphiquement que ont des images
opposées : g(-x) = -g(x).
Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I centré en 0. On dit que f est paire lorsque
f(-x) = f(x) pour tout x appartenant à I. On dit que f est impaire lorsque f(-x) = -f(x) pour tout x
appartenant à I.
Etudier la parité d’une fonction c’est préciser si cette fonction est paire ou impaire, ou ni l’un ni
l’autre.
Remarque : Dire qu’une fonction f est paire, c’est dire que (Oy) est axe de symétrie de . Dire qu’une
fonction f est impaire, c’est dire que O est centre de symétrie de .
Exemples : Etudier la parité des fonctions suivantes f(x) = x2 + 2 sur [-2 ; 2] f(x) = - 4x sur [-5 ; 5]
f(x) = x3 - x sur [-3 ; 2]
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A. Cossart