CHAPITRE 14 : FIGURES DE L`ESPACE – VOLUMES

CHAPITRE 14 : FIGURES DE L'ESPACE – VOLUMES
Objectifs :
6.360
6.361
6.362
6.363
6.440
6.441
6.442
[S]
[S]
[S]
[S]
[S]
[S]
[S]
Connaître le pavé droit et le vocabulaire de l’espace associé.
Reconnaître / Dessiner une perspective cavalière d'un pavé droit
Interpréter une perspective cavalière d’un pavé droit (conventions, parallélisme, orthogonalité, ...)
Reconnaître / interpréter / compléter / fabriquer un patron d’un pavé droit.
Calculer le volume d’un pavé droit par un dénombrement d’unités (ou en utlisant une formule).
Connaître et utiliser les unités de volume, les relier aux unités de contenance (savoir que 1L=1dm3).
Convertir les unités de volume.
I. Description, vocabulaire
Définition :
Un parallélépipède rectangle est un solide qui a six faces rectangulaires.
Un parallélépipède rectangle a huit sommets et douze arêtes.
Un cube est un parallélépipède rectangle dont toutes les faces sont des carrés.
Les dimensions d'un parallélépipède rectangle sont les longueurs de trois arêtes qui ont un sommet commun.
Par exemple : 9 cm, 4 cm et 6 cm.
Une arête
perpendiculaire
aux deux faces
parallèles
6 cm
4 cm
9 cm
Quatre arêtes parallèles
et de même longueur
Trois arêtes de même sommet
Deux faces parallèles et superposables
II. Représentations
a) La perspective cavalière
La représentation en perspective cavalière d'un solide doit suivre certaines règles :
– Les droites parallèles dans la réalité sont représentées par de droites parallèles.
– Les segments parallèles et de même longueur dans la réalité sont représentés par des segments parallèles
et de même longueur.
– Les arêtes cachées sont représentées en pointillés.
– Les faces avant et arrière ne sont pas déformés par la perspective.
Longueur sur le
dessin plus petite
que dans la réalité
Arête cachée
Angle droit dans
la réalité, mais
pas sur le dessin
Arêtes parallèles et
de même longueur
sur le dessin et
dans la réalité
b) Le patron
Définition :
Un patron d'un solide est une surface plane qui, après pliage, permet de fabriquer ce solide sans superposition
de deux faces.
Exemple : Le patron ci-dessous est celui du parallélépipède rectangle précédent.
Toutes les arêtes de la même couleur sont de même longueur.
9 cm
4 cm
6 cm
III.Unités de volume
L'unité légale de volume est le mètre cube, noté m3.
Un mètre cube (1 m3) est le volume d'un cube d'arête 1 m.
On utilise aussi les multiples du m3 (km3, hm3, dam3) et les sous-multiples du m3 (dm3, cm3, mm3).
Pour remplir un cube d'arête 1 m, il faut 10 couches de 10 cubes d'arête 1 dm, c'est-à-dire 1000 cubes d'arête 1
dm.
On a donc : 1 m3 = 1 000 dm3
De même :
1 dm3 = 1 000 cm3
et
1 dam3 = 1 000 m3
3
3
1 cm = 1 000 mm
1 hm3 = 1 000 dam3
1 km3 = 1 000 hm3
Correspondance entre les unités de volume et les unités de contenance :
1 L = 1 dm3, donc 1 mL = 1 mm3.
Exemple : 1,789 dam3 = 1 789 m3 = 1 789 000 dm3 = 1 789 000 L.
Tableau de conversion :
IV. Volume d'un parallélépipède rectangle.
Propriété : Le volume V d'un parallélépipède rectangle s'obtient en multipliant ses trois dimensions,
exprimées dans la même unité.
c
a
b
a
V = a ×b × c
a
a
V = a × a ×a = a 3
Exemple : Un parallélépipède rectangle dont les dimensions sont 5 cm, 3 cm et 4 cm aura donc un volume égal
à : 5 × 3 × 4 = 60 cm3.