Corrigé

[ Contrôle sur le second degré \
Corrigé
Résoudre les équations.
Exercice No1
(E 1 )
x 2 − 3x + 2 = 0
∆ = (−3)2 − 4 × 1 × 2 = 9 − 8 = 1 > 0
p
−(−3) − 1 3 − 1 2
Il y a deux solutions : x 1 =
=
= = 1
et
2×1
2
2
(E 2 )
x 2 − 2x + 1 = 0
(E 3 )
2x 2 + x − 1 = 0
(E 4 )
x2 + x + 6 = 0
p
−(−3) + 1 3 + 1 4
x2 =
=
= = 2
2×1
2
2
∆ = (−2)2 − 4 × 1 × 1 = 4 − 4 = 0
−(−2) 2 2
Il y a une solution : x 0 =
= = = 1
2×1
2 2
∆ = 12 − 4 × 2 × (−1) = 1 + 8 = 9 > 0
p
−1 − 9 −1 − 3 −4
=
=
= −1
et
Il y a deux solutions : x 1 =
2×2
4
4
p
−1 + 9 −1 + 3 −2
−1
x2 =
=
=
=
2×2
4
4
2
∆ = 12 − 4 × 1 × 6 = 1 − 24 = −23 < 0
Il n’y a pas de solution .
x 2 − 2x − 2 = 0
∆ = (−2)2 − 4 × 1 × (−2) = 4 + 8 = 12 > 0
p
p
p
−(−2) − 12 2 − 2 3
Il y a deux solutions : x 1 =
=
= 1− 3
et
2×1
2
(E 5 )
p
p
p
−(−2) + 12 2 + 2 3
x2 =
=
= 1+ 3
2×1
2
Écrire le tableau de signe des fonctions
Exercice No2
f 1 (x) = x 2 − 5x + 6
∆ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1 > 0
p
p
−(−5) − 1 5 − 1 4
−(−5) + 1 5 + 1 6
Il y a deux racines : x 1 =
=
= =2
et
x2 =
=
= =3
2×1
2
2
2×1
2
2
Puisque le coefficient de x 2 est positif, on peut construire le tableau de signe :
x
x 2 − 5x + 6
2
−∞
+ 0
3
+∞
− 0 +
f 2 (x) = −x 2 + 3x + 4
∆ = 32 − 4 × (−1) × 4 = 9 + 16 = 25
p
−3 − 25 −3 − 5 −8
−3 + 25 −3 + 5
2
Il y a deux racines : x 1 =
=
=
=4
et
x2 =
=
=
= −1
2 × (−1)
−2
−2
2 × (−1)
−2
−2
Puisque le coefficient de x 2 est négatif, on peut construire le tableau de signe :
x
−x 2 + 3x + 4
p
−∞
4
−1
0
−
+ 0
+∞
−
f 3 (x) = x 2 − 6x + 9
∆ = (−6)2 − 4 × 1 × 9 = 36 − 36 = 0
−(−6) 6
Il y a une racine : x 0 =
= =3
2×1
2
2
Puisque le coefficient de x est positif, on peut construire le tableau de signe :
x
x 2 − 6x + 9
−∞
3
+ 0
+∞
+
1
f 4 (x) = x 2 − x + 9
∆ = (−1)2 − 4 × 1 × 9 = 1 − 36 = −35 < 0
Il n’y a pas de racine
Puisque le coefficient de x 2 est positif, on peut construire le tableau de signe :
x
x2 − x + 9
−∞
+∞
+
f 5 (x) = x 2 − 4
∆ = 02 − 4 × 1 × (−4) = 16 > 0
p
p
−0 − 16 −4
−0 + 16 4
Il y a deux racines : x 1 =
=
= −2
et
x2 =
= =2
2×1
2
2×1
2
Puisque le coefficient de x 2 est positif, on peut construire le tableau de signe :
x
x2 − 4
−∞
2
−2
+
0
− 0
+∞
+
Résoudre les inéquations.
Exercice No3
x 2 − 5x + 6 > 0
∆ = (−5)2 − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1 > 0
p
−(−5) − 1 5 − 1 4
−(−5) + 1 5 + 1 6
Il y a deux racines : x 1 =
=
= =2
et
x2 =
=
= =3
2×1
2
2
2×1
2
2
2
Puisque le coefficient de x est positif, on peut construire le tableau de signe :
(IE 1 )
x
x 2 − 5x + 6
p
2
−∞
+ 0
3
+∞
− 0 +
On a donc : x 2 − 5x + 6 > 0 lorsque x ∈] − ∞; 2[ ∪ ]3; +∞[
x2 − x − 6 É 0
∆ = (−1)2 − 4 × 1 × (−6) = 1 + 24 = 25 > 0
p
−(−1) − 25 1 − 5 −4
−(−1) + 25 1 + 5 6
Il y a deux racines : x 1 =
=
=
= −2
et
x2 =
=
= =3
2×1
2
2
2×1
2
2
Puisque le coefficient de x 2 est positif, on peut construire le tableau de signe :
(IE 2 )
x
x2 − x − 6
−∞
p
3
−2
+
0
− 0
+∞
+
On a donc : x 2 − x − 6 É 0 lorsque x ∈ [−2; 3]
−x 2 + 5x + 12 É 0
∆ = 52 − 4 × (−1) × 12 = 73 > 0
p
p
p
p
−5 − 73 5 + 73
−5 + 73 5 − 73
Il y a deux racines : x 1 =
=
et
x2 =
=
. On remarque que x 2 < x 1
2 × (−1)
2
2 × (−1)
2
Puisque le coefficient de x 2 est négatif, on peut construire le tableau de signe :
(IE 3 )
x
2
−x + 4x + 12
x2
−∞
−
0
x1
+
0
+∞
−
On a donc : −x 2 + 5x + 12 É 0 lorsque x ∈] − ∞; x 2 ] ∪ [x 1 ; +∞[
2
Exercice No4
La parabole ci-contre est la courbe représentative de la fonction f .
a Quel est le signe de a ?
puisque la parabole est orientée vers le haut a > 0
y
3
b
?
b Quelle est la valeur de −
2a
b
−
est l’abscisse du sommet de la parabole,
2a
b
on lit x = 1 donc −
=1
2a
2
1
c Quel est le signe du discriminant ∆ ?
-2
La parabole coupe deux fois l’axe des abscisses donc il y a deux
racines donc le discriminant est strictement positif
0
-1
1
2
3
x
-1
d Quel est le signe de c ?
Puisque f (x) = ax 2 + bx + c, on a : f (0) = c or on lit pour f (0)
une valeur négative donc c est négatif
Exercice No5
STOCKAGE PHOTO
Un magasin d’informatique vend des unités de stockage "très haut de gamme" sous forme de cartes, pouvant contenir
entre 1 et 10 Go (gigaoctets). Pour chaque carte, on s’intéresse au prix moyen du Go. Par exemple, une carte de 2 Go
est vendue 4,8e, soit un prix moyen au Go de 2,4e, alors qu’une carte de 8 Go est vendue 28,8esoit un prix moyen de
3,6epar Go.
Plus précisément, si on note x la capacité de stockage en Go d’une carte, son prix moyen par Go est donné par l’expression :
f (x) = −0, 1x 2 + 1, 2x + 0, 4 pour x appartenant à [1 ; 10]
1. Calculer f(2) et f(8) et interpréter les résultats obtenus.
f (2) = −0, 1 × 22 + 1, 2 × 2 + 0, 4 = −0, 4 + 2, 4 + 0, 4 = 2, 4 si on achète une carte de 2Go, le prix au Go est égal à 2e40
f (8) = −0, 1 × 82 + 1, 2 × 7 + 0, 4 = −6, 4 + 9, 6 + 0, 4 = 3, 6 si on achète une carte de 8Go, le prix au Go est égal à 3e60
Vaut-il mieux acheter une carte de 8 Go ou quatre cartes de 2 Go ?
quatre cartes de 2Go reviennent moins cher qu’une carte de 8Go
2. Construire et recopier, à l’aide de la calculatrice, un tableau de valeurs de la fonction f pour les valeurs entières de
x comprises entre 1 et 10.
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
f (x)
1,5
2,4
3,1
3,6
3,9
4
3,9
3,6
3,1
2,4
3
3. Représenter graphiquement la fonction f sur l’écran de la calculatrice. (On veillera à régler correctement la fenêtre
graphique, en s’aidant du tableau de valeurs précédent !)
Reproduire cette courbe dans un repère orthonormal ayant pour unités :
en abscisse : 1 cm pour 1 Go
en ordonnée : 1 cm pour 1e.
y
5
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
9
10
x
4. Quelle est la carte dont le prix moyen par Go est le plus élevé ?
On lit : la carte ayant le prix moyen par Go le plus élevé est celle de 6Go
5. Résoudre graphiquement l’inéquation f (x) ≤ 3, 1 et interpréter le résultat.
y
5
4
3
2
1
O
1
2
3
4
5
6
7
8
On lit donc f (x) ≤ 3, 1 pour x É 3 ou x Ê 9
Le prix au Go sera donc inférieur ou égal à 3,1epour les cartes de 2, 3, 9 ou 10Go
4