Logarithme, exponentielle.
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Logarithme, exponentielle.
FONCTION LOGARITHME, FONCTION EXPONENTIELLE I. Donner les propriétés et la représentation graphique des fonctions logarithme et exponentielle • Exemple : Donner, le sens de variation et la représentation graphique des fonctions : f :x ln x g:x ex • Méthode : Il s'agit d'utiliser les résultats du cours f ( x ) = ln x x → +∞ ⇒ ln x → +∞ g( x ) = ex x → +∞ ⇒ e x → +∞ x → 0 ⇒ ln x → −∞ x → −∞ ⇒ e x → 0 x = 1 ⇒ ln x = 0 x = 0 ⇒ ex = 1 x = e ⇒ ln x = 1 f ′( x ) = x = 1 ⇒ ex = e 1 >0 x g′( x ) = e x > 0 • Solution : y = ex x 0 +∞ 1 f’(x) + f (x) 0 –∞ y=x 3 e 2 +∞ y = ln x 1 0 -2 x –∞ +∞ 0 g’(x) + g (x) 1 -1 0 1 e 3 2 -1 -2 +∞ -3 0 Les fonctions f et g sont réciproques, c’est-à-dire que y = ln x ⇔ e y = x . Les graphes sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x . En utilisant les touches ln et inv + ln de la calculatrice, on obtient les valeurs suivantes x -2 -1,5 -1 -0,5 0 ln x ex FI_LOG.DOC 0,14 0,22 0,36 0,6 1 0,5 1 1,5 2 2,5 3 -0,7 0 0,4 0,7 0,9 1,1 1,65 2,7 4,5 7,4 12 20 II. Appliquer les propriétés des fonctions logarithmes : 73 1 4 log( 2,45) + ln 13 26 4 • Méthode : on utilise les formules log( ab ) = log a + log b ln( ab ) = ln a + ln b a a ln = ln a − ln b log = log a − log b b b ln a n = n ln a log a n = n log a • Solution : 73 73 × 13 73 ln + ln 13 = ln = ln = ln 73 − ln 2 ≈ 4,29 − 0,69 = 3,6 26 26 2 1 1 4 log( 2,45) = × 4 log 2,45 = log 2,45 ≈ 0,389 4 4 • Exemple : calculer ln III. Résoudre une équation du type ax = b : • Exemple : résoudre l’équation (1,05) = 2,84 • Méthode : on passe chaque membre en logarithme x ln(1,05) = ln 2,84 • Solution : x ln 1,05 = ln 2,84 ln 2,84 x= ln 1,05 1,0438 x≈ ≈ 21,39 0,0488 x IV. Calculer la durée d’un placement à intérêts composés : • Exemple : Un capital de 15 000 est placé à un taux annuel de 5 %. La capitalisation des intérêts est annuelle. La valeur acquise se monte à 22 161,83 Calculer en années, la durée du placement. • Méthode : on part de la formule des intérêts composés C ln n C C C C0 n n n Cn = C0 (1 + i ) ⇔ (1 + i ) = n ⇔ ln(1 + i ) = ln n ⇔ n ln(1 + i ) = ln n ⇔ n = C0 C0 C0 ln(1 + i ) • Solution : n Ici on a l’équation : 22161,83 = 15 000(1+ 0,05) 22 161,83 (1,05) n = D’où : 15 000 22 161,83 22 161,83 n On passe en logarithmes : ln(1,05) = ln ⇒ n ln(1,05) = ln 15 000 15 000 22 161,83 ln ln( 22161,83) − ln(15 000) 15 000 D' où n= = ln(1,05) ln(1,05) 10,006 − 9,615 Et n ≈ ⇒ n =8 0,04879 FI_LOG.DOC