Polylogarithmes. - Département de Mathématiques

Polylogarithmes.
Michel Paugam
19 avril 2012
Exposés du 10 et du 17 janvier 2012
On donne dans ces pages les premières propriétés des polylogarithmes avec une attention
particulière pour les dilogarithmes. On mentionne une partie des domaines extrêmement
variés où ils interviennent avec les références de nombreux travaux publiés lors de ces
trois dernières décades.
1
Définitions
Soit k entier naturel fixé, on pose pour z complexe, |z| < 1
Lik (z) =
X zn
nk
n≥1
qui peut être prolongée analytiquement dans le plan fendu C \ [1, +∞[.
Si Logp désigne la détermination principale du logarithme définie sur C\] − ∞, 0] par
Logp Z = ln |Z| + iθ(Z)
où θ(Z) est l’unique argument de Z dans ]−π, π]. on a par exemple Li1 (z) = −Logp (1−z)
P
n
pour z ∈ C \ [1, +∞[ qui prolonge n≥1 zn défini pour |z| < 1. Pour k > 2, si on a défini
Lik−1 (z) holomorphe sur C \ [1, +∞[, et si on impose
d
Lik−1 (z)
Lik (z) =
dz
z
alors
Lik (z) =
Z
γ0,z
1
Lik−1 (w)
dw
w
où γ0,z est un chemin quelconque de 0 à z dans C \ [1, +∞[. On peut définir de façon
analogue les fonctions tangentes inverses d’ordres supérieurs. Pour x réel, si |x| < 1
Ti1 (x) = Arctan(x) =
+∞
X
(−1)n
n=0
Ti2 (x) =
Z
x
0
x2n+1
2n + 1
+∞
X
Arctan(t)
x2n+1
(−1)n
dt =
= ℑLi2 (ix)
t
(2n + 1)2
n=0
et
Tik (x) =
Z
x
0
+∞
X
x2n+1
Tik−1 (t)
(−1)n
dt =
t
(2n + 1)k
n=0
pour |x| < 1. On voit alors que
Tik (x) =
1
[Lik (ix) − Lik (−ix)].
2i
Les polylogarithmes sont aussi définis pour les entiers négatifs ou nuls dans le disque
unité ouvert.
X
z
Li0 (z) =
zn =
1−z
n>1
Li−1 (z) =
Li−2 (z) =
X
X
n>1
n2 z n =
n>1
= z2(
nz n = z(
X
n>0
X
z n )′ = z
n>0
X
n>1
n(n − 1)z n +
1 ′
z
=
1−z
(1 − z)2
X
nz n
n>1
z
z n )′′ +
(1 − z)2
z
(1 − z)2
z
z 2 (1 + z) + z(1 − z)
z3 + z
1+z
+
=
=
= z2
(1 − z)3 (1 − z)2
(1 − z)3
(1 − z)3
z(z + 1)
=
(1 − z)3
= z 2 [z(1 − z)−2 ]′ +
La figure 1 qui suit 1 donne l’allure des graphes pour des valeurs réelles de la variable.
1. http://mathworld.wolfram.com/Polylogarithm.html
2
Figure 1 –
3
Plus généralement, pour n ∈ N∗ ,
n−1
X
1
Li−n (z) =
hnkiz n−k
(1 − z)n+1
k=0
où hnki, appelé nombre eulérien 2 , est le nombre de permutations de {1, 2, . . . , n} avec k
’montées’, voir [16] ou [32, §5.1.3.]. Pour σ ∈ Sn , notons
Nσ := Card{1 6 i < n ; σ(i) < σ(i + 1)}
le nombre de montées de σ, on a donc
hnki = Card{σ ∈ Sn ; Nσ = k}.
Exemple : h13i = 4 puisque les quatre permutations suivantes présentent chacune exactement une montée :
1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3
.
,
,
3 1 2
2 3 1
2 1 3
1 3 2
On pose hn0 i = 1, on a hnki = 0 pour k > n et hnn−1 i = 1. On voit que
n−1
X
k=0
h nki = n!.
On peut démontrer que
n−1
hnki = (n − k)hn−1
k−1 i + (k + 1)h k i
et écrire un triangle d’Euler
hnki
1
2
3
4
5
6
0
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
4
11
26
57
1
11
66
302
1
26
302
1
57
1
2. http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_eulérien
4
On peut représenter pour z complexe, les graphes (voir Figure 2) 3 de z 7−→ f (z) avec les
conventions de [25], voir aussi [3],[27] , la teinte en z = x + iy dépend de trois paramètres
compris entre 0 et 1, elle est donnée par :
teinte(h, s, b) = (
Arg(f )
1
1
,
,1 −
)
2π
1 + 0.3 ln(|f | + 1)
1.1 + 5 ln(|f | + 1)
– h la couleur
– s la saturation
– b la brillance
L’argument est encodé par la nuance de la couleur (rouge pour les réels positifs, et ensuite
dans le sens inverse des aiguilles d’une montre : jaune, vert, cyan pour les réels négatifs,
bleu et violet).
Le module de la fonction est représenté par la brillance et la saturation de la couleur :
les couleurs intenses désignent les points proches de l’origine avec noir= 0 ; les couleurs
pastels désignent des points avec |f | grand (blanc= ∞)
3. http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm
5
Figure 2 – graphes avec les conventions de Jan-Peter Homann
6
2
Dilogarithme
Pour k = 2, on obtient le dilogarithme (pour |x| 6 1)
Li2 (x) = −
Z
x
0
dt
ln(1 − t) =
t
Z
0
xZ t
0
du dt
1−u t
d’où le nom, et on peut le prolonger à C \ [1, +∞[.
Pour x réel et |x| 6 1, on a en particulier
Li2 (x) =
X xn
n≥1
n2
étudié par Euler en 1768.
2.1
Propriétés du dilogarithme.
L’identité d’Abel (1802 − 1829) [36, § 1.5]
ln(1 − x) ln(1 − y) = Li2
y x xy
+ Li2
− Li2 (x) − Li2 (y) − Li2
1−y
1−x
(1 − x)(1 − y)
pour x et y réels tels que x, y, x + y < 1.
Pour y = 1 − x, elle se réduit à la formule de réflexion d’Euler :
Li2 (x) + Li2 (1 − x) =
π2
− ln x ln(1 − x).
6
En prenant les nouvelles variables
u=
y
x
et v =
1−y
1−x
on obtient l’identité de Rogers (1907)
Li2 (u) + Li2 (v) − Li2 (uv) = Li2
u(1 − v) 1 − uv
+ Li2
pour u, v, uv < 1.
7
v(1 − u) 1 − uv
+ ln
1−u 1−v ln
1 − uv
1 − uv
Démonstrations.
En intégrant par parties, il vient
Z x
Z x
dt
ln t
ln(1 − t) = − ln x ln(1 − x) −
Li2 (x) = −
dt
t
0
0 1−t
et le changement de variable 1 − t = u donne dt = −du d’où :
Z x
Z 1−x
ln t
ln(1 − u)
−
dt =
du = Li2 (1) − Li2 (1 − x)
u
0 1−t
1
et finalement
ou encore
Li2 (x) = − ln x ln(1 − x) + Li2 (1) − Li2 (1 − x)
Li2 (x) + Li2 (1 − x) = − ln x ln(1 − x) +
Pour x = 21 , on obtient
π2
.
6
1
π2
1
2Li2 ( ) = −(ln )2 +
2
2
6
d’où :
1
π2 1 2
Li2 ( ) =
− ln 2.
2
12 2
Si on considère alors le logarithme de Rogers L
L(x) = Li2 (x) +
1
ln x ln(1 − x)
2
on obtient pour x ∈ [0, 1]
L(x) + L(1 − x) =
et on a
1
L(x) = −
2
Z
0
xn
π2
6
ln(1 − y)
ln y o
dy.
+
y
1−y
Démonstration de l’identité d’Abel (d’après ses Œuvres, [1]).
Si a est une constante réelle, on a :
y
Z a
a
(1−a) (1−y)
dt
y ln(1 − t) .
I = Li2
=−
(1 − a) (1 − y)
t
0
posons
t=
u
a
;
(1 − a) (1 − u)
dt
1
1
=( +
)du
t
u 1−u
8
d’où :
Z y
a
1−a−u
y 1
1
ln
=−
( +
)du
(1 − a) (1 − y)
(1 − a)(1 − u) u 1 − u
0
Z y
Z y
a
du
y du
1−a−u
1−a−u
ln
−
ln
.
=−
Li2
(1 − a) (1 − y)
u
(1
−
a)(1
−
u)
1
−
u
(1
− a)(1 − u)
0
0
Li2
Mais
u
1 − 1−a
1−a−u
=
(1 − a)(1 − u)
1−u
et
a
1 − 1−u
1−a−u
=
(1 − a)(1 − u)
1−a
donc
I=−
Z
y
0
or
du
u
ln(1−
)+
u
1−a
Z
en posant
y
0
Z
0
y
du
ln(1−u)−
u
Z
du
u
ln(1 −
)=
u
1−a
y
1−a
0
v=
On obtient alors
I = Li2 (
Si on pose z =
Z
y
0
y
) − Li2 (y) −
1−a
a
1−u ,
alors
du
1−u
=
Z
dz
z
du
a
ln(1 −
)=
1−u
1−u
y
0
Z
y
0
du
a
ln(1−
)+
1−u
1−u
Z
y
0
du
ln(1−a)
1−u
dv
y
ln(1 − v) = −Li2 (
)
v
1−a
u
.
1−a
du
a
ln(1 −
) − ln(1 − a) ln(1 − y).
1−u
1−u
et on a l’égalité
Z
a
1−y
a
dz
a
ln(1 − z) = −Li2 (
) + Li2 (a)
z
1−y
et finalement
a
y y
a
= Li2 (
) − Li2 (y) + Li2 (
) − Li2 (a) − ln(1 − a) ln(1 − y).
Li2
(1 − a) (1 − y)
1−a
1−y
En changeant a en x, l’égalité s’écrit
xy
x
y
Li2
) − Li2 (y) + Li2 (
) − Li2 (x) − ln(1 − x) ln(1 − y).
= Li2 (
(1 − x)(1 − y)
1−x
1−y
L’égalité est vraie pour x, y, x + y < 1.
9
L’égalité dans D = {(x, y) ∈ R2 ; x, y, x + y < 1} peut aussi s’obtenir par différentiation.
Calculons en effet la dérivée partielle par rapport à x de
xy
y
x
f (x, y) = Li2
−Li2 (
)+Li2 (y)−Li2 (
)+Li2 (x)+ln(1−x) ln(1−y).
(1 − x)(1 − y)
1−x
1−y
En utilisant le fait que
Logp (1 − z)
d
Li1 (z)
Li2 (z) =
=−
dz
z
z
d
x
1
1
1
1
=
et
= +
2
dx 1 − x
(1 − x)
x(1 − x)
x 1−x
on obtient
∂f
(1 − x)(1 − y)
1−x−y
y
(1 − x) 1 − x − y
y
=−
ln
×
+
ln
×
+
2
∂x
xy
(1 − x)(1 − y) (1 − y)(1 − x)
y
1−x
(1 − x)2
(1 − y) 1 − x − y
1
ln(1 − x) ln(1 − y)
+
ln
×
−
−
x
1−y
(1 − y)
x
1−x
1
1−x−y
1
1−x−y
1 1 − x − y ln(1 − x) ln(1 − y)
=−
ln
+
ln
+ ln
−
−
x(1 − x) (1 − x)(1 − y) 1 − x
1−x
x
1−y
x
1−x
1−x−y
1
1
1
ln(1 − x)
1
ln
+( +
) ln(1 − x − y) − ln(1 − y) −
−
=−
x(1 − x) (1 − x)(1 − y)
x 1−x
x
1−x
ln(1 − x) ln(1 − y)
−
−
x
1−x
1
1
1
1
) ln(1 − x − y) + ( +
)[ln(1 − x) + ln(1 − y)] +
= −( +
x 1−x
x 1−x
1
1
1
ln(1 − x) ln(1 − x) ln(1 − y)
+( +
) ln(1 − x − y) − ln(1 − y) −
−
−
x 1−x
x
1−x
x
1−x
=0
Comme f (y, x) = f (x, y), on a aussi ∂f
∂y = 0 donc f (x, y) est une constante dans le
domaine D. En prenant x = 0 et y < 1 on voit que cette constante est nulle.
On a une relation du même type avec le trilogarithme et des variables réelles x, y, voir
[36, p. 297],[31, p. 34],[42, p. 2], pour 0 < x < y < 1,
x(1 − y) 1−y
x
) + 2Li3
2Li3 (x) + 2Li3 (y) − Li3 ( ) + 2Li3 (
− Li3 (xy) +
y
1−x
y(1 − x)
x(1 − y)2 x(1 − y) (1 − y) + 2Li3 −
− Li3
+ 2Li3 −
(1 − x)
y(1 − x)
y(1 − x)2
2
1−y π
1
= 2Li3 (1) − ln2 y ln
+
ln y + ln3 y.
1−x
3
3
10
2.2
Expression à l’aide des nombres de Bernoulli
Pour z = − ln(1 − x), on a
Li2 (x) =
+∞
X
Bn
n=0
z n+1
(n + 1)!
ce qui découle du développement
X
z
zn
=
B
n
ez − 1
n!
n>0
car
Li2 (x) = −
et en posant u = − ln(1 − t),
e−u
Z
Z
x
0
ln(1 − t)
dt
t
= 1 − t et dt = e−u du et alors
z
u
.e−u du
−u
0 1−e
Z z X
Z z
un u
B
du
=
du
=
n
u
n!
0
0 e −1
n>0
XZ z
un
Bn du
=
n!
0
Li2 (x) =
n>0
=
+∞
X
Bn
n=0
z n+1
(n + 1)!
Lien avec les fonctions de Lerch.
L(z, s, α) =
+∞
X
n=0
zn
(n + α)s
avec s ∈ C, ℜ(s) > 1, α ∈ R, α > 0. On a
Lis (z) = zLerch(z, s, 1)
puisque Lerch(z, s, 1) =
P
zn
n≥0 (n+1)s
11
2.3
Valeurs spéciales du dilogarithme
x
Li2 (x)
− π12
√
− 12 ( 5 + 1)
√
2
− π10 − ln2 [ 12 ( 5 − 1)]
0
√
− 12 ( 5 − 1)
√
2
− π15 + ln2 [ 12 ( 5 − 1)]
x
Li2 (x)
−1
0
1
2
2
π2
12
π2
6
1
2
− 12 ln2 2
π2
4
− iπ ln 2
5)
π2
15
√
− ln2 [ 12 ( 5 − 1)]
√
5 + 1)
π2
10
√
− ln2 [ 12 ( 5 − 1)]
√
5 + 1)
1
2 (3
−
1
2(
1
2(
√
11π 2
15
√
+ 21 ln2 [− 12 ( 5 − 1)]
Li4 ( 21 ) apparaît comme terme correctif du 3-ième ordre dans le rapport gyromagnétique
de l’électron. Le rapport gyromagnétique est le rapport entre le moment magnétique
et le moment cinétique d’une particule. Son unité dans le système international est le
coulomb par kilogramme. Essentiel en RMN.
Statistique de Bose-Einstein
Elle a été introduite par S. Bose en 1920 pour les photons et généralisée par A. Einstein en
1924. Statistiquement, à l’équilibre thermodynamique, le nombre de particules d’énergie
Ei est
gi
ni = Ei −µ
e kB T − 1
où
– gi est la dégénérescence de l’état d’énergie Ei , à savoir le nombre d’états possédant
cette énergie
– µ est le potentiel chimique
– kB est la constante de Boltzmann
– T est la température absolue.
12
Les intégrales
Z
+∞
0
k s−1
dk
ek−µ − 1
sont appelées intégrales de Bose-Einstein. On va voir qu’elles sont égales à
Γ(s)Lis (eµ ).
Montrons que
z
Γ(s)
ou encore
z
Z
0
+∞
Z
+∞
0
ts−1
dt =
et − z
ts−1
dt = Lis (z).
et − z
Z
+∞
ts−1
et
z
0
−1
= Γ(s)Lis (z)
pour z ∈ C \ [1, +∞[, z 6= 0, et s ∈ N∗ . En effet
Z +∞ s−1
Z +∞
t
ts−1
dt
=
dt
t
t
z
e
e
−
1
(1
−
)
0
0
t
z
z
e
Z +∞
X
ts−1 e−t
=z
z n e−nt dt
0
=z
XZ
n>0
+∞
n>0 0
=
X
z
n+1
Z
ts−1 z n e−(n+1)t dt
+∞
ts−1 e−(n+1)t dt
0
n>0
En posant u = (n + 1)t, du = (n + 1)dt, on obtient
Z +∞ s−1
X z n+1 Z +∞
t
dt
=
us−1 e−u du = Lis (z)Γ(s)
s
et
(n
+
1)
0
0
z −1
n>0
2.4
Dilogarithme quantique
[31, def 9 p. 79]
Pour x, q réels tels que |x| < 1 et |q| < 1, posons
(x; q)∞ =
+∞
Y
n=0
13
(1 − xq n ).
En changeant x en qx, on obtient (qx; q)∞ =
Q+∞
n=0 (1
− xq n+1 ) et on a donc
(1 − x)(qx; q)∞ = (x; q)∞
par suite
ln(x; q)∞ = ln(1 − x) +
X
n>1
ln(1 − xq n ) =
Or pour n fixé
donc
X
n>0
X
n>0
ln(1 − xq n ) = −
X (xq n )k
X xk X
(q k )n = −
ln(1 − xq n ) = −
k>1
k
k>1
ln(1 − xq n ).
k
n>0
X xk
k>1
1
k (1 − q k )
puisque |q| < 1. On appelle dilogarithme quantique l’expression
Li2 (x; q) =
X xk
k>1
1
1
= ln
.
k
k (1 − q )
(x; q)∞
On note
(q)n =
(q; q)∞
(q n+1 ; q)∞
avec (q)0 = 1. Si l’on définit la q-exponentielle eq par
+∞
X
xn
eq (x) =
(q)n
n=0
on voit que eq (qx) = (1 − x)eq (x) donc
ln eq (qx) = ln(1 − x) + ln(eq (x)
et si le développement de ln eq (x) est de la forme
X
ln eq (x) =
an xn
n>0
on déduit de l’égalité (1), que an vérifie q n an = an −
an =
si bien que
1
n(1 − q n )
Li2 (x; q) = ln eq (x).
14
1
n
d’où
(1)
2.5
Dilogarithme en théorie des nombres
Si K est un corps quadratique imaginaire de discriminant −D, au caractère χ : n 7−→
χ(n) = −D
, (symbole de Jacobi), on associe (voir [13])
n
L(2, χ) =
+∞
X
χ(n)
n2
n=1
3
.
Polylogarithmes harmoniques
Dans un espace vectoriel de dimension finie w, si ~a = (a, ~b) est un vecteur où
a est la composante la plus à gauche de ~a et
~b le vecteur des (w − 1) autres composantes
Définition 3.1 [43, § 2]
Le polylogarithme harmonique de poids w est défini par
Z y
f (a, x)H~b (x)dx
H~a (y) =
0
où f (a, x) est l’une des trois expressions
f (+1; x) =
1
,
1−x
On a donc
f (0; x) =
1
,
x
f (−1; x) =
1
.
1+x
d
H~a (y) = f (a, y)H~b (y)
dy
avec H défini récursivement :
H0 (x) = ln x
Z x
Z x
+∞ k
X
x
du
f (1, u)du = − ln(1 − x) =
=
H1 (x) =
1
−
u
k
0
0
k=1
Z x
Z x
+∞
X
du
xk
H−1 (x) =
(−1)k
f (−1, u)du = ln(1 + x) =
=
k
0 1+u
0
k=1
et par exemple
H(0,1) (u) = −
Z
0
u
ln(1 − v)
dv = Li2 (u)
v
15
H(−1,0,1) (y) =
Z
H(−1,0,0,1) (y) =
4
y
Li2 (v)
dv
1+v
y
Li3 (x)
dx.
1+x
0
Z
0
Polylogarithmes et zêtas multiples
Les polylogarithmes et zêtas multiples sont définis respectivement par
Liα1 ,...,αk (z) =
X
n1 >n2 >···>nk >0
z n1
nα1 1 · · · nαk k
pour α1 > 2, la série est convergente pour |z| 6 1[15], [10], et
ζ(α1 , . . . , αk ) = Liα1 ,...,αk (1) =
X
n α1
n1 >n2 >···>nk >0 1
1
· · · nαk k
Introduisons les fonctions suivantes [5][7, § 2] Fonction de Clausen, de profondeur k et
de poids w = α1 + . . . + αk
ℑLiα1 ,...,αk (eiθ ) si w est pair
Clα1 ,...,αk (θ) =
ℜLiα1 ,...,αk (eiθ ) si w est impair
Fonction de Glaisher de profondeur k et de poids w = α1 + . . . + αk
ℜLiα1 ,...,αk (eiθ ) si w est pair
Glα1 ,...,αk (θ) =
ℑLiα1 ,...,αk (eiθ ) si w est impair
Exemple 4.1
iθ
Li2 (e ) =
+∞
X
cos nθ
n=1
n2
+i
donc
Cl2 (θ) = ℑLi2 (eiθ ) =
Li2,1 (z) =
k−1 +∞ k X
X
1
z
k=1
k2
j=1
16
j
+∞
X
sin nθ
n=1
n2
+∞
X
sin nθ
n=1
=
+∞
X
k=1
n2
Hk−1
zk
.
k2
5
5.1
Applications
Mesures de Mahler de polynômes
Définition 5.1 Si P (X) = a
Qd
k=1 (X
M (P ) = |a|
d
Y
k=1
− αk ) ∈ C[X] est non nul,
max(1, |αk |) = |a|
Y
|αk |>1
|αk |
produit des racines de P (X) extérieures au disque unité D(0, 1), est appelée mesure de
Mahler du polynôme P.
Problème de Lehmer ([35] :
pour tout ε > 0, peut-on trouver un polynôme unitaire P (X) ∈ Z[X] vérifiant
1 < M (P ) < 1 + ε ?
Pour le polynôme
P (X) = X 10 + X 9 − X 7 − X 6 − X 5 − X 4 − X 3 + X + 1
on a M (P ) = 1, 176280818 . . . plus petite valeur connue à ce jour.
Autre expression de M (P ). Si on pose pour r réel positif ou nul
Z 2π
1
I(r) =
ln | eiθ − r | dθ
2π 0
par la méthode des rectangles, des trapèzes ou autre, on sait [2], que pour r ∈ [0, +∞[,
0
si r 6 1
I(r) =
ln max(1, r) si r > 1
Il en résulte que
ln M (P ) = ln |a| +
d
X
k=1
d
X
ln max(1, |αk |)
Z 2π
1
= ln |a| +
ln | eiθ − αk | dθ
2π 0
k=1
Z 2π Y
d
1
| eiθ − αk | dθ
ln
= ln |a| +
2π 0
k=1
Z 2π
1
ln M (P ) =
ln |P (eiθ )|dθ
2π 0
17
ou encore
1 Z 2π
M (P ) = exp
ln |P (eiθ )|dθ
2π 0
ou directement par la formule de Jensen ([44, 15.18 p. 288]).
5.2
Intégrales de Log ◦ sin
Pour k entier et n entier non nul on considère les intégrales log − sin (généralisées) [7]
Z σ
θ
θk lnn−1−k | sin | dθ.
Ls(k)
(σ)
=
−
n
2
0
La valeur absolue est inutile pour 0 6 σ 6 2π. et on pose
Z σ
θ
(0)
Lsn (σ) = Lsn (σ) = −
lnn−1 | 2 sin | dθ
2
0
Exemple 5.2 On a
Z π
2
θ
ln(2 sin )dθ = −2
ln(2 sin ϕ)dϕ
2
0
0
Z π
π
2
ln(sin ϕ)dϕ
or
ln 2 +
Ls2 (π) = −2
2
0
Z π
2
ϕ
ϕ
ln(sin ϕ)dϕ =
ln(2 sin cos )dϕ
2
2
0
Z π
Z π
2
2
π
ϕ
ϕ
= ln 2 +
ln(sin )dϕ +
ln(cos )dϕ
2
2
2
0
0
Ls2 (π) = −
Z
π
2
0
Z
π
On pose ensuite ϕ = 2u dans les deux intégrales du second membre. On a dϕ = 2du
donc
Z π
Z π
Z π
2
4
4
π
ln(sin ϕ)dϕ = ln 2 +
ln(sin u)2du +
ln(cos u)2du
2
0
0
0
puis en prenant v =
2
Z
0
π
4
π
2
− u, dv = −du dans la dernière intégrale, on obtient
ln(cos u)du = 2
Z
π
4
π
2
ln(sin v)(−dv) = 2
18
Z
π
2
π
4
ln(sin v)dv
on en déduit
Z
0
et finalement
π
2
π
ln 2 + 2
2
Z
π
= ln 2 + 2
2
Z
ln(sin ϕ)dϕ =
Z
π
2
0
π
4
ln(sin u)du + 2
0
π
2
Z
π
2
π
4
ln(sin v)dv
ln(sin u)du
0
π
ln(sin ϕ)dϕ = − ln 2
2
et
Ls2 (π) = 0.
et on peut faire apparaître la fonction génératrice exponentielle des Lsm (π) (voir [36, p.
217]
Z π
Z π
θ
x
x θ
ex ln(2 sin 2 ) dθ
2 sin dθ =
2
0
Z0 π X n
θ
x
lnn (2 sin )dθ
=
2
0 n>0 n!
Z
X π xn
θ
lnn (2 sin )dθ
=
2
0 n!
n>0
=−
X
Lsn+1 (π)
n>0
xn
n!
√ Γ( 1 + 1 x)
= 2x π 2 12
Γ(1 + 2 x)
et par la formule de duplication pour la fonction Γ :
Z π
x
Γ(1 + x)
x
x θ
2 sin dθ = π 2
=π x
1
2
Γ (1 + 2 x)
0
2
(2n)!
2n
prolongement de l’égatlité n = (n!)2 car Γ(1 + n) = n!
En poursuivant le calcul à l’aide de la dérivée logarithmique de la fonction Gamma (voir
[36, p.217]), on obtient (([5],[7, § 3])
Ls3 (π) =
π3
12
3
Ls4 (π) = πζ(3)
2
19
19 5
π
240
5
45
Ls6 (π) = πζ(5) + π 3 ζ(3).
2
4
Ls5 (π) =
5.3
Mesures de Mahler multiples
[5],[6],[7]. Si P1 , . . . , Pn sont k polynômes à n variables
µ(P1 , . . . , Pk ) =
Z
k
Y
[0,1]n
j=1
ln | Pj (e2πit1 , . . . , e2πitn ) | dt1 · · · dtn .
Pour P = P1 = P2 = · · · = Pk , on pose
µk (P ) = µ(P1 , . . . , Pk )
Pour k = 1, on retrouve µ(P ) = µ1 (P ) mesure de Mahler ordinaire d’un polynôme à n
variables.
Exemple 5.3 Calcul de
µ(1 + X + Y ) =
Z
0
1Z 1
0
ln | 1 + e2πit1 + e2πit2 | dt1 dt2 .
On a
µ(1 + X + Y ) =
Z
0
=
Z
1Z 1
0
1
0
=
Z
=
ln(max(1, | 1 + e2πit1 |)dt1
1
ln(max(1, 2 | cos πt1 |)dt1
0
Z
ln[(1 + e2πit1 ) + e2πit2 ]dt2 dt1
1
3
ln(2 cos πt1 )dt1 +
0
Z
2
3
1
3
ln1 dt1 +
Z
1
2
3
ln(−2 cos πt1 )dt1
et en posant s = 1 − t1 dans la dernière intégrale
Z 1
Z π
3
2 3
=2
ln(2 cos πt1 )dt1 =
ln(2 cos u)du
π 0
0
1
π
= Ls2 ( )
π
3
20
car en posant u =
2
π
5.4
Z
0
π
3
π
2
− 2t dans
2
π
R
π
3
π
ln(2 cos u)du, du = − dt
2 , on fait apparaître Ls2 ( 3 ) :
0
Z π
1 3
t
ln(2 cos u)du = −
ln(2 sin )dt
π π
2
Z π
Z π
t
t
1 3
1
ln(2 sin )dt
ln(2 sin )dt −
=
π 0
2
π 0
2
1
π
1
π
1
= − Ls2 (π) + Ls2 ( ) = Ls2 ( )
π
π
3
π
3
Mesures de Mahler et moments d’une marche aléatoire
[8],[9]. Une marche aléatoire uniforme à n pas dans le plan est une marche aléatoire dans
laquelle, à l’issue de chaque pas de longueur unité, on prend une direction aléatoire (i.e.
un angle aléatoire entre 0 et 2π). Voir la figure 3 qui est extraite de [8, p. 2].
On considère n variables aléatoires X1 , X2 , . . . , Xn indépendantes,Pde même loi uniforme
sur [0, 1]. Le moment (absolu) d’ordre s de la variable aléatoire nk=1 e2iπXk est donné
par
Z
n
n
X
X
2iπXk s
e2iπtk |s dt1 · · · dtn
|
e
| ]=
Wn (s) = E[|
[0,1]n
k=1
k=1
on a donc
Wn′ (0) = µ(1 + X1 + · · · + Xn−1 )
Wn(m) (0) = µm (1 + x1 + · · · + xn−1 )
On obtient immédiatement
W1 (s) =
Pour le calcul de
W2 (2) =
Z
Z
0
1
0
2iπt s
|e
1Z 1
0
| dt =
Z
1
dt = 1.
0
|e2iπt1 + e2iπt2 |2 dt1 dt2
on note que
|e2iπt1 + e2iπt2 |2 = 4 cos2 π(t1 − t2 )
21
Figure 3 –
22
On a par exemple
W2 (2) =
Z
1
0
0
Z
Z 1
[1 + cos 2π(t1 − t2 )]dt1 dt2
2
1
sin 2π(t1 − t2 ) t1 =1
2[t1 +
]t1 =0 dt2
2π
0
Z 1
1
= 2+
[sin 2π(1 − t2 ) + sin 2πt2 ]dt2
0 π
=2
on montre que W2 (2k) = 2k
k pour k ∈ N. On trouve [8][5, § 4]
1
s
(m)
; W2 (0) = − Lsm+1 (π).
W2 (s) = s
π
2
=
A partir des fonctions zêtas et des polylogarithmes multiples, on peut obtenir par exemple
[6, § 2.2] :
Si on pose τ = π3 , on trouve
1
(3π 2 − 3πτ + τ 2 )
12
−Ls3 (τ ) = 2Gl2,1 (τ ) +
(1)
Ls3 (τ ) = Cl3 (τ ) + τ Cl2 (τ ) − ζ(3)
1
1
1 (3)
(2)
(1)
(1)
Ls4 (τ ) = 2ζ(3, 1) − 2Gl3,1 (τ ) − 2τ Gl2,1 (τ ) + Ls4 (τ ) − πLs3 (τ ) + π 2 Ls2 (τ ).
4
2
4
5.5
Produits de fonctions zêta
[11],[26],[17],[46],[24]
ζ(k)ζ(l) =
+∞
+∞ X
X
n=1 m=1
=
X
n>m
1
nk mℓ
1
nk mℓ
+
X
m>n
1
mℓ nk
+
X
1
k+ℓ
n
n=m
par exemple [47, § 3], voir aussi [37, 38]
ζ(2)ζ(2) = ζ(2, 2) + ζ(2, 2) + ζ(4).
ce qui conduit à définir une opération
(n) ∗ (m) = (n, m) + (m, n) + (n + m).
23
Si X est un alphabet, on sait définir sur les mots construits sur cet alphabet un produit
de battage ou produit de mélange (shuffle product), [17, Def. 2.1.2] : si u = au′ et v = bv ′
u x v = a(u′ x v) + b(u x v ′ )
Si ǫ désigne le mot vide ǫ x u = u x ǫ = u. Ici,
(n) x (m) = n(ǫ x (m)) + m((n) x ǫ)
(n) x (m) = n(m) + m(n)
qui ne convient pas mais si on définit le produit de battage contractant (stuffle product)
de u = yi u′ et v = yj v ′ sur un alphabet Y = {yi , i > 1}[17, Def. 2.1.3] : par
u x’ v = yi (u′ x’ v) + yj (u x’ v ′ ) + yi+j (u′ x’ v ′ )
on obtient
(n) x’ (m) = (n, m) + (m, n) + (n + m).
Plus généralement, si K = (k1 , . . . kp ) et I = (i1 , . . . , iq ) avec k1 , i1 > 2, on obtient pour
les polyzêtas
ζ(K)ζ(I) =
X
n1 >n2 >···>nk >0
1
k
nk11 · · · npp
X
m1 >m2 >···>q >0
1
i
mi11 · · ·qq
=
X
ζ(σ)
σ∈St(K,I)
où σ ∈ St(K,I) signifie que σ est un terme de la somme K X’ I et si on note k0 = K \{kp }
et I0 = I \ {iq }
(K) X’ (I) = (K X’ I0 ).iq + (K0 X’ I).kp + (K0 X’ I0 ).(kp + iq ).
Ce dernier produit de battage est utilisé dans l’analyse d’algorithmes.
6
Identités dilogarithmiques
On a vu l’identité de Rogers
Li2 (xy) = Li2 (x) + Li2 (y) − Li2
x(1 − y) 1 − xy
− Li2
y(1 − x) 1 − xy
− ln
En utilisant la relation
Li2 (x) + Li2 (1 − x) =
24
π2
− ln x ln(1 − x)
6
1−x 1−y ln
.
1 − xy
1 − xy
et le fait que
x(1 − y)
1−x
y(1 − x)
1−y
=
, 1−
=
1 − xy
1 − xy
1 − xy
1 − xy
on peut exprimer les termes 1,4 et 5 du type Li2 (z) en fonction de Li2 (1 − z), ce qui
donne une autre forme pour
1−x 1−y Li2 (x) + Li2 (y) + Li2 (1 − xy) + Li2
+ Li2
1 − xy
1 − xy
1−
Si on considère alors le logarithme de Rogers L où
1
ln x ln(1 − x)
2
on a pour x, y ∈ [0, 1], [Spence et Abel], l’identité pentagonale :
L(x) = Li2 (x) +
1 − y π2
1−x +L
=
.
L(x) + L(y) + L(1 − xy) + L
1 − xy
1 − xy
2
Démonstration.[33]
Soit G un groupe abélien noté multiplicativement. On peut former le produit tensoriel
G ⊗Z G qui est constitué des sommes finies de la forme
a1 ⊗ b1 + · · · + ak ⊗ bk
où ai , bi ∈ G pour i = 1, . . . , k soumises aux relations
(ab) ⊗ c = a ⊗ c + b ⊗ c,
a ⊗ (bc) = a ⊗ b + a ⊗ c
alors 1 ⊗ a = 0 = a ⊗ 1 et
(a.a−1 ) ⊗ b = a ⊗ b + a−1 ⊗ b = 1 ⊗ b = 0
donc a−1 ⊗b = −(a⊗b) et aussi a⊗b−1 = −(a⊗b). Si on note S 2 G = hc⊗d+d⊗c,
V2 c, d ∈ Gi
2G =
G est formé
le sous-groupe formé
des
tenseurs
symétriques,
on
sait
que
(G⊗G)/S
P
des sommes finies ki=1 (ai ∧ bi ) soumises aux relations
a ∧ b = −b ∧ a,
(ab) ∧ c = a ∧ c + b ∧ c.
Soit C le groupe multiplicatif des fonctions de classe C 1 sur [0, 1] à valeurs dans R∗+ .
Proposition 6.1 [23, prop 1]
Soit (fi )16i6n une famille de fonctions de C à valeurs dans ]0, 1[. Si l’identité
n
X
i=1
est vérifiée dans
V2
C, alors
Pn
fi ∧ (1 − fi ) = 0
i=1 L(fi (x))
est constante sur [0, 1].
25
Démonstration. On a
dL
1 ln(1 − x)
ln x =−
+
dx
2
x
1−x
donc
n
n
d X
ln fi (x) 1 X ′ ln(1 − fi (x))
+
L(fi (x)) = −
fi (x)
.
dx
2
fi (x)
1 − fi (x)
i=1
i=1
P
Mais le tenseur ni=1 fi ⊗ (1 − fi ) est symétrique, i.e. il existe des fonctions gj , hj de C
telles que
n
X
i=1
fi ⊗ (1 − fi ) =
m
X
(gj ⊗ hj + hj ⊗ gj ).
(2)
j=1
Pour x, y ∈ [0, 1], on définit un homomorphisme de groupes additifs
Logx,y : C ⊗ C −→ R
f ⊗ g 7−→ ln f (x) ln g(x).
C’est bien un homomorphisme puisque
Logx,y (f ⊗ gh) = ln f (x) ln(g(x)h(x))
= ln f (x)(ln g(x) + ln h(x))
= Logx,y (f ⊗ g) + Logx,y (f ⊗ h).
En appliquant cet homomorphisme à chacun des membres de l’égalité (2), on obtient :
n
X
i=1
(ln fi (x) ln(1 − fi (y)) =
m
X
ln gj (x) ln hj (y) + Log hj (x) ln gj (y)).
j=1
On dérive par rapport à x, il vient :
n
X
f ′ (x)
i
i=1
fi (x)
ln(1 − fi (y)) =
m ′
X
gj (x)
j=1
gj (x)
ln hj (y) +
h′j (x)
ln gj (y) .
hj (x)
On dérive maintenant par rapport à y, puis on prend y = x et on fait la différence entre
les deux égalités ; on trouve
n
X
i=1
ln(1 − f (x))
ln fi (x) i
+
fi′ (x)
= 0.
fi (x)
1 − fi (x)
26
et par conséquent
n
d X
L(fi (x)) = 0.
dx
i=1
On peut alors en déduire l’égalité pentagonale d’Abel. Posons en effet (avec les abus de
langage usuels entre une fonction et sa valeur en un point) :
A = x∧(1−x)+y∧(1−y)+(1−xy)∧xy+
On a
1−x 1 − xy
∧
x(1 − y) 1 − xy
1 − x x(1 − y) 1 − y y(1 − x) ∧
+
∧
.
1 − xy
1 − xy
1 − xy
1 − xy
x(1 − y) 1
∧
1 − xy
1 − xy
1 − xy
= (1 − x) ∧ x + (1 − x) ∧ (1 − y) − (1 − x) ∧ (1 − xy) −
= (1 − x) ∧
x(1 − y) +
− (1 − xy) ∧ x − (1 − xy) ∧ (1 − y).
De même, en changeant x en y et y en x, on obtient :
y(1 − x) y(1 − x) 1 − y y(1 − x) 1
∧
∧
= (1 − y) ∧
+
1 − xy
1 − xy
1 − xy
1 − xy
1 − xy
= (1 − y) ∧ y + (1 − y) ∧ (1 − x) − (1 − y) ∧ (1 − xy) −
− (1 − xy) ∧ y − (1 − xy) ∧ (1 − x)
et l’on voit que A = 0. En prenant pour x ∈ [0, 1],
f1 (x) = x, f2 (x) = y, f3 (x) = 1 − xy, f4 (x) =
1−x
1−y
, f5 (x) =
1 − xy
1 − xy
on vérifie que pour 0 < x <
P15 et 0 < y < 1, on a 0 < fi (x) < 1 pour 1 6 i 6 5 et par la
proposition 6.1, la somme i=1 L(fi (x)) est constante. Or on a
5
X
i=1
L(fi (1)) = L(1) + L(y) + L(1 − y) + L(0) + L(1) = 3 ×
π2
π2
=
.
6
2
L’identité suivante remonte au début des années 80 et semble avoir été découverte par plusieurs auteurs indépendamment voir les références dans [31] (Lewin, Kirillov-Reshetikhin,
Richmond-Skezeres,...) [21],[22],[31, Cor 4 p. 40 et § 2.3] :
ℓ−1 π
2(ℓ − 1) π 2
X
sin2 ℓ+2
=
·
L
2+ℓ
6
sin2 (m+1)π
m=1
ℓ+2
27
pour tout entier ℓ > 2. Une démonstration se trouve dans [41]. On peut consulter également les articles sur les Y -systèmes [40],[14] et les articles faisant intervenir les algèbres
amassées (cluster algebras) introduites dans[20]. Une présentation brève est donnée dans
la seconde partie de la conférence de vulgarisation [45]. Voir aussi [28], [34],[39].
Remarque 6.2 [31, lemma 9 p. 81 et theorem I p. 82], [19] On considère à nouveau la
q-exponentielle eq du § 2.4.
Si a et b sont deux variables telles que ab = qba, on a eq (a + b) = eq (b)eq (a) et l’identité
pentagonale
eq (a)eq (b) = eq (b)eq (−ba)eq (a)
1
Remarque 6.3 Si q 2 est une indéterminée, soit q son carré ; on note Eq (x) l’exponentielle quantique
n2
1
q2
q2
x + ··· + n
xn + · · ·
Eq (x) = 1 +
n
q−1
(q − 1)(q − q) · · · (q n − q n−1 )
1
On a Eq (x) ∈ Q(q 2 )[[x]] et Eq satisfait
1
1. (1 + q 2 x)Eq (x) = Eq (qx)
2. si x1 x2 = qx2 x1 alors Eq (x1 + x2 ) = Eq (x2 )Eq (x1 )
Par (1.) et (2.), on a l’identité,[28],[29],[30, theorem 1.2]
1
Eq (x1 )Eq (x2 ) = Eq (x2 )Eq (q − 2 x1 x2 )Eq (x1 ) .
7
Echelles de polylogarithmes
Leonard Lewin a découvert une remarquable généralisation d’un grand nombre de relations classiques sur les polylogarithmes pour des valeurs particulières.
Celles-ci sont
√
maintenant appelées les échelles de polylogarithmes. Posons ρ = 5−1
,
inverse
du nombre
2
d’or, alors on a :
Li2 (ρ6 ) = 4Li2 (ρ3 ) + 3Li2 (ρ2 ) − 6Li2 (ρ) +
donné par Coxeter en 1935, et
Li2 (ρ) =
π2
− log2 ρ
10
donné par Landen [31]
28
7π 2
30
7.1
Les sommes d’Apéry et l’échelle dorée
[4, § 6] les sommes alternées binomiales
A(k) =
X (−1)n+1
2n k
n n
n>0
pour k = 2, 3, 4, 5, 6 s’expriment à l’aide de polylogarithmes de puissances de ρ =
inverse du nombre d’or et de L = ln ρ.
√
5−1
2
2
A(3) = ζ(3) [Apéry]
5
e 4 (ρ) − 1 L4 − 7ζ(4)
A(4) = 4L
2
où
avec
e k (x) = Lk (x) − Lk (−x) = 2Lk (x) − 21−k Lk (x2 )
L
1
Lk (x) =
(k − 1)!
Z
x
0
k−1
X (− ln |x|)r
(− ln |y|)k−1
dy =
Lik−r (x).
1−y
r!
r=0
1
23
5
A(5) = L5 (ρ2 ) + L4 − ζ(5)
2
3
9
p
expressions dans l’échelle des Lk (ρ ) où p ∈ {1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 20, 24}. On sait aussi
calculer des sommes binomiales centrales [4]
S(k) =
X
n>0
S(4) =
7.2
17
ζ(4),
36
1
2n
n
nk
ζ(4) =
π4
.
90
Poly(ana)logs
D’après [18] , si g est une fonction à valeurs réelles, localement intégrable sur ]0, 1[ et si
g vérifie l’équation fondamentale de la théorie de l’information
y y − g(y) − (1 − y)g
=0
g(x) + (1 − x)g
1−x
1−x
alors il existe c ∈ R tel que g = cH où H :]0, 1[→ R est donnée par
H(x) = −x ln x − (1 − x) ln(1 − x).
29
Dans [12], si K est un corps commutatif, on considère l’ensemble des dilogarithmes
infinitésimaux, i.e. l’ensemble des applications ν : K → K qui satisfont
ν(1) = 0
et pour x 6= 0, 1 l’équation fonctionnelle à quatre termes
ν(x) − ν(y) + xν
y
x
+ (1 − x)ν
1 − y
1−x
=0
Dans les références données, les vidéos et slides mentionnées et téléchargeables, se trouvent
aux adresses suivantes à l’occasion de workshops qui ont eu lieu
– au Danemark, à Aarhus, du 9 au 13 août 2010. Workshop : Quantum Dilogarithm and
Quantum Teichmüller Theory, http://qgm.au.dk/video/quantdilog/
– au Canada à Banff, du 5 au 9 septembre 2011. Workshop : Cluster algebras, representation theory, and Poisson geometry,
http://www.birs.ca/events/2011/5-day-workshops/11w5137/videos
Références
[1] Niels Henrik Abel. Œuvres complètes,
http://www.abelprisen.no/verker/oeuvres_1881_del2/
oeuvres_completes_de_abel_nouv_ed_2_kap14_opt.pdf
[2] Francesco Amoroso, Damien Vergnaud. Minoration de la hauteur d’un
nombre algébrique. 2004, Edizioni Plus, Universita di Pisa, Lungarno Pacinotti, 43
56126 Pisa.
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http://math-www.uni-paderborn.de/~axel/graphs/
[4] Jonathan M. Borwein, David J. Broadhurst, Joel Kamnitzer. Central Binomial Sums, Multiple Clausen Values and Zeta Values.
arXiv:hep-th/0004153v1 22 Apr 2000
[5] Jonathan M. Borwein, Armin Straub, James Wan. Log-sine evaluations of
Mahler Measures, II.
arXiv:1103.3035v1 [math.CA] 15 Mar 2011
[6] Jonathan M. Borwein, Armin Straub. Log-sine evaluations of Mahler Measures. arXiv:1103.3893v1 [math.CA] 20 Mar 2011
[7] Jonathan M. Borwein, Armin Straub, Special Values of Generalized Log-sine
Integrals. arXiv:1103.4298v1 [math.CA] 22 Mar 2011
30
[8] Jonathan M. Borwein, Dirk Nuyens, Armin Straub, James Wan. Some
Arithmetic Properties of Short Random Walks Integrals. May 11, 2011. The Ramanujan Journal, Volume 26, Number 1, 2011, Pages 109-132.
[9] Jonathan M. Borwein and Armin Straub. Mahler measures, short walks and
log-sine integrals. October 14, 2011. Submitted.
http://arminstraub.com/files/publications/walksmahlerlogsin.pdf
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http://archive.numdam.org/ARCHIVE/SB/SB_2000-2001__43_/
SB_2000-2001__43__137_0/SB_2000-2001__43__137_0.pdf
[11] Pierre Cartier. Algèbres de Hopf combinatoires.
Résumé par Philippe Biane. Séminaire de Combinatoire Énumérative et Analytique Institut Henri Poincaré. Année 2010-2011.
http://www-apr.lip6.fr/sem-comb-slides/synthesePC-biane.pdf
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