Résumé - Ecole doctorale des Sciences fondamentales, Université

Ecole Doctorale des Sciences Fondamentales
SUJET DE THESE
Titre de la thèse : Etude des variations des torsions de Reidemeister tordues
Directeur de thèse : Dubois, Jérôme
Unité de rattachement : Laboratoire de Mathématiques
Equipe : GAAO
Etablissement de rattachement : Univ. Blaise Pascal
Courriel et téléphone : [email protected] and 06.07.22.91.69
Co-encadrant éventuel :
Unité de rattachement :
Etablissement de rattachement :
Résume :
A une 3-variété hyperbolique M à bord torique est associé un invariant numérique connu
sous le nom de volume et la structure hyperbolique de M est liée à une représentation
discrète et fidèle de son groupe fondamental dans PSL(2,C) (bien définie à conjugaison
près). D'après le Théorème de rigidité de Mostow, il s'agit d'un invariant topologique. Même
plus, chaque représentation ρ du groupe fondamental de M à valeurs dans PSL(2,C)
possède en fait un volume Vol(ρ). Si maintenant on considère une famille à un paramètre de
telles représentations ρt, la variation du volume d/dt Vol(ρt) ne dépend que de la restriction
de ρt au bord torique. Ce résultat peut se voir comme conséquence du principe d'AtiyahPatodi-Singer. On peut alors se poser la question suivante : quelles sont les représentations
du groupe du bord torique dans PSL(2, C) qui s'étendent en une représentation du groupe
fondamental de M ? La réponse est donnée par une condition algébrique entre les valeurs
propres du méridien et de la longitude du bord de M : cette condition est l'annulation d'un
polynôme connu sous le nom de A-polynôme.
Un autre invariant des 3-variétés hyperboliques particulièrement intéressant et étudié sous
différents points de vue (combinatoire, analytique, L2) est sa torsion de Reidemeister. De la
même manière que pour le volume, il est possible d'associer à toute représentation (pas
nécessairement acyclique) ρ du groupe fondamental de M à valeurs dans SL(2,C) une
torsion de Reidemeister dite tordue par la représentation adjointe associée à ρ (après avoir
choisi une base convenable issue de la géométrie pour les groupes de cohomologie tordue).
Une question naturelle qui se pose est de comprendre les variations de cette fonction torsion
de Reidemeister tordue (dans le même sens que l’on comprend les variations de la fonction
volume), et notamment en termes de polynômes.
Ecole Doctorale Sciences Fondamentales – 24, avenue des Landais – BP 80026 - 63171 AUBIERE CEDEX
CHIMIE – MATHEMATIQUES – PHYSIQUE – SCIENCES DE L’UNIVERS
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