Vecteurs de l`espace

Vecteurs de l’espace
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Vecteurs de l’espace
Exercice 1
ABCDEFGH est un parallélépidpède ; I est le centre du rectangle BCGF et J le centre du rectangle ADHE.
Complétez les égalités suivantes, en n’utilisant que les points de la figure.
# » # »
# » #»
1) AH = ...G
2) AJ = I...
# »
#»
# »
3) CD = −...I
4) IH = ......
# » # »
# » # » # »
5) BC + BE = ......
6) AH + ...B = AB
# » # »
# » # » #»
7) 2JD + DC = ......
8) IB + I... = 0
# » # »
# »
#» 1 # » # »
10) ||AB + AH|| = ||B...||
9) BI = (BC + B...)
2
Exercice 2
ABCD est un tétraèdre. I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD] et [DA].
1. Démontrez que le quadrilatère IJKL est un parallélogramme.
# » # »
# »
2. Démontrez que AD + BC = 2IK.
# » # » #» #»
3. On pose #»
u = AD + BC + IJ + IL.
# »
(a) Démontrez que les vecteurs #»
u et IK sont colinéaires.
# »
(b) Déterminez l’ensemble des points M de l’espace tels que AM et #»
u sont colinéaires.
2
Alignement dans l’espace
Exercice 3
# »
# »
#» 3# »
On considère un cube ABCDEFGH ; I et J sont les points définis par AI = AC et AJ = 3AE.
2
Démontrez que les points I, J et G sont colinéaires.
Exercice 4
On considère un cube ABCDEFGH.
Soit M, N, P les points tels que :
# »
# » 3# »
# » 2# » 1# » # » 3# » 3# » 3# »
AM = AC + CE, AN = AB + BD + AE et AP = 3AB + BH ;
3
3
2
4
4
2
# »
# »
# » # »
# »
1. (a) Exprimez chacun des vecteurs M N et M P en fonction des vecteurs AB, AD et AE.
(b) En déduire que les points M, N et P sont alignés.
# » # »
# »
# » # »
# »
2. (a) Exprimez chacun des vecteurs AM , AN et AP en fonction des vecteurs AB, AD et AE.
(b) En déduire que les points M, N et P appartiennent à la droite passant par A et de vecteur directeur
# »
AG.
3
Parallélisme dans l’espace
Exercice 5
On considère un tétraèdre ABCD ; on appelle E et F les points tels que
# » 3# »
# » 2# »
AE = AB et DF = DA.
5
5
Démontrez que les droites (EF) et (BD) sont parallèles.
Exercice 6
Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle ; soit I et J les centres respectifs des rectangles ABCD et
EFGH ;
# » #»
1. Démontrez que HJ = IB.
2. En déduire que la droite (IH) est parallèle à une droite du plan (BEG).
3. En déduire que la droite (IH) est parallèle au plan (BEG).
Exercice 7
ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle ; I, J, K et L sont les milieux respectifs des segments [BC],
[F G], [EH] et [AD] ;
# » #»
1. (a) Démontrez que HK = IB.
(b) En déduire que la droite (IH) est parallèle au plan (AJK).
2. Prouvez que les plans (AJK) et (IGH) sont parallèles.
4
Vecteurs coplanaires
Exercice 8
On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [BC]. Soit
K et L les points tels que :
# » 3# »
# » 2# »
CK = CD et DL = DA.
5
5
Les points I, J, K et L sont-ils coplanaires ?
Exercice 9
ABCDEFGH est un cube ; I est le milieu de [BF ] et J est le milieu de [F G].
# » # »
#»
# » # »
#»
Démontrez, en déterminant le vecteur CA − BE + 2IJ, que les vecteurs CA, BE et IJ sont coplanaires.
Exercice 10
# » # »
# » # »
On considère un tétraèdre ABCD et E le point tel que AE = AB + 2BD − BC.
1. Faites une figure.
2. Parmi les points A, B, C, D et E, quatre d’entre eux semblent coplanaires d’après la figure. Lesquels ?
3. Démontrez-le.