Exercices d`application sur les équations différentielles - Poly

POLY-PREPAS ANNEE 2009/2010
Centre de Préparation aux Concours Paramédicaux
- Section : i-prépa Audioprothésiste (annuel) -
MATHEMATIQUES 8 :
EQUATIONS DIFFERENTIELLES
- COURS + ENONCE EXERCICE -
Olivier CAUDRELIER
[email protected]
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1. Introduction : qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
·
·
Les seules équations étudiées jusqu’à présent s’appellent des équations algébriques ;
exemple : ² + − 30 = 0 ⟹ les solutions des équations algébriques sont des nombres
réels (−6 5 ) ; la variable des nombres réels est notée x
Nous allons rencontrer à présent un nouveau type d’équations : les équations différentielles ;
exemple d’équation différentielle :
+ 3 ² = −5
⟹ les solutions sont des
fonctions ; la variable des fonctions est notée y. Une équation différentielle est donc une
équation dans laquelle se trouvent la fonction y et sa(ou ses) dérivée(s) y’, y’’, y’’’, etc…
En physique, on rencontre beaucoup de phénomènes modélisés par des équations
différentielles (ex de la chute d’une bille dans un fluide : l’application de la 2nde Loi de
dv
k
Newton aboutit à :
= − m v + g qui est une équation différentielle) il faut faire appel
dt
aux mathématiques pour pouvoir résoudre cette équation différentielle et déterminer la
fonction solution du phénomène (ici : v(t) =
(1 − e
) dont on peut tracer la courbe)
Il existe une infinité d’équations différentielles, nous n’étudierons ici uniquement l’équation
différentielle du type :
=
+ , et ses différentes applications
2. Equation différentielle
=
+ ,
Théorème : les solutions de l’équation différentielle
sont les fonctions : ( ) =
−
,
∈ℝ
=
∈ ℝ∗ :
+ ,
ℝ∗
∗
Remarque : l’équation différentielle ′ =
∈ ℝ est un cas particulier du théorème cidessus correspondant à b = 0 ; on obtient alors les solutions de la forme ( ) =
∈ℝ
Une équation différentielle admet une infinité de solutions sur un intervalle I, ces solutions étant toutes
définies à la constante k près.
Toutes les solutions d’une équation différentielle sont donc distinctes, leurs courbes représentatives
n’ont aucun point d’intersection les unes avec les autres.
Il faut et il suffit d’une condition (généralement initiale) pour fixer k et obtenir UNE (et une seule)
solution f de l’équation différentielle.
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=
Exemple : soit l’équation différentielle (E) :
a) Résoudre (E)
b) Quelle est la solution de (E) telle que (0) =
−
a) Par Théorème, les solutions de (E) sont de la forme : ( ) =
b) On a par hypothèse :
(0) =
Or, d’après la formule, on a aussi, en 0 : (0) =
+ =
Hypothèse et formule doivent coïncider, d’où :
(0) =
(0) =
4
3
+
∶
2
3
Conclusion : la solution de (E) telle que (0) =
4
=
3
+
2
3
−
(
)
=
+
+
⟹
est ( ) =
=
2
3
+ = (
+ )
3. Résolution d’une équation différentielle modélisant un cas concret
(physique, biologie, etc…) :
Méthode :
·
·
·
On résout l’équation différentielle
On utilise la condition initiale (à aller chercher dans l’énoncé), pour déterminer LA solution de
l’équation différentielle modélisant précisément le phénomène étudié
On utilise cette solution pour résoudre des questions concrètes : recherche d’une durée, d’un
nombre de noyaux radioactifs restants, d’une vitesse, d’une proportion d’habitants
contaminés…
Exemple-type :
A l’instant t = 0h, on place un corps à 100°C (casserole d’eau bouillante par exemple) dans une pièce
à 20°C. On désigne par q(t) la température du corps à l’instant t.
La loi de refroidissement de Newton est telle que la vitesse de refroidissement du corps q’(t) est
proportionnelle à la différence de température entre le corps et la pièce, soit :
q’(t) = -k [q(t) – 20]
(avec k : coefficient de refroidissement égal à 2,08 h-1)
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a) Déterminer LA solution de cette équation différentielle vérifiant la condition initiale
b) Quelle est la température du corps après 30 minutes ?
c) Après combien de temps la température tombera-t-elle à 30°C ?
a)
( ) = −2,08[ ( ) − 20] = −2,08 ( ) + 41,6
Par Théorème, les solutions de cette équation différentielle sont de la forme :
,
( )=
−
Or, par hypothèse, ( = 0) = 100
41,6
=
−2,08
,
D’après la formule obtenue, on a aussi : ( = 0) =
+ 20
+ 20 =
+ 20
Hypothèse et formule doivent coïncider, d’où :
(0) = 100
(0) =
∶
+ 20
100 =
+ 20
Conclusion : la solution de (E) telle que (0) = 100 est
⟹
( )=
b) Attention t est en heure, donc 30 minutes correspondent à 0,5 h
,
( = 0,5) = 80
× ,
+ 20 = 48,3°
Au bout de 30 minutes, la température est de 48,3°C
c) On cherche t tel que ( ) = 30
Or
( ) = 80
,
,
+ 20, soit à résoudre : 80
80
,
,
[
= 10 ⟹
]=
,
1
[ ]
8
−2,08 = − 8
=
8
=1
2,08
Au bout d’1h, la température atteint 30°C
58
+ 20 = 30
=
1
8
= 80
,
+
4. Equations différentielles avec changement de variable :
On peut être amené au cours des exercices devant des équations différentielles à première vue
insolubles par le seul Théorème de ce cours ; exemple : = 0,022 (20 − )
La méthode (toujours guidée par l’exercice) repose alors sur :
·
·
un changement de variable, grâce auquel l’équation différentielle insoluble est ramenée à une
équation différentielle du type : ’ =
+ .
on résout cette équation différentielle, puis on revient à la variable initiale.
Exemple-type :
On note f(t) le nombre de ménages vivant en France équipés d’un ordinateur (t exprimé en années et
f(t) en millions de ménages)
On pose t = 0 en 1980, il y avait alors 10 000 ménages équipés d’un ordinateur.
Le modèle de Verhulst stipule que sur la période 1980-2020, f est solution de l’équation différentielle
( ): = 0,022 (20 − )
a) on pose
=
; démontrer que f est solution de ( ) si et seulement si u est solution de
l’équation différentielle ( ): = −0,44 + 0,022
b) résoudre ( ) puis en déduire l’ensemble des solutions de ( )
c) démontrer alors que la fonction f est définie sur [0; +∞[par :
1
( )=
99,95 , + 0,05
d) calculer la limite de f lorsque t tend vers +∞
a) f est solution de ( )
or
=
=
;
∶
d’où : f est solution de ( )
soit : f est solution de ( )
donc : f est solution de ( )
= 0,022 (20 − )
=−
∶ −
∶ −
∶ −
c’est-à-dire : f est solution de ( )
′
²
′
²
²
1
= 0,022
′
1
= 0,022 (20 − )
20
−
1
2
= 0,022
= 0,44 − 0,022
∶
on a donc : f est solution de ( )
′
= −0,44 + 0,022
( )
59
20
²
−
1
2
=
,
b) Par théorème, les solutions de ( ) sont de la forme : ( ) =
∶
= , on a : ( ) =
Or, comme
,
( )=
,
+ ,
,
,
,
De plus, par hypothèse on sait que : (0) = 0,01
( = 0) =
Or, d’après la formule obtenue,
−
,
=
,
Hypothèse et formule doivent coïncider, d’où :
(0) = 0,01
1
(0) =
+ 0,05
∶
ù∶
c) lim
→
Ainsi , lim
,
→
= 0,
( )=
ù: lim
,
→
= 20
⟹
+ 0,05 =
= 100 − 0,05 = 99,95
( )=
ù,
1
+ 0,05
0,01 =
99,95
,
,
,
1
= 100
0,01
+ ,
+ 0,05 = 0,05
Au bout d’un temps très long, le nombre de ménages équipés d’un ordinateur
stagnera à 20 millions
60
Exercices d’application sur les équations différentielles
exercice 1 :
Résoudre les équations différentielles suivantes :
a)
2y’ + 3y = -2
et f(0) = 2
b)
y = (5/2) y’ – 9
et f(-1) = e
c)
3y’ + 4y = 1
et f(1) = 3
exercice 2 :
A l’instant t = 0h, on injecte dans le sang 2 mg d’une substance médicamenteuse, qui sera supposée
passer dans le sang instantanément, et s’éliminer progressivement.
La quantité de substance Q(t) encore présente dans le sang à l’instant t suit une loi différentielle de
type : dQ/dt
= - l.Q(t)
(avec t en h et Q en mL)
a) sachant que 25% de la substance est éliminée au cours de la 1ère heure, calculer l en précisant
son unité ; en déduire la résolution de l’équation différentielle correspondante
b) au bout de combien de temps la quantité de substance dans le sang aura-t-elle diminué de 40%
c) quelle est la quantité de substance éliminée en 3 heures ?
exercice 3 : sans calculatrice
A t = 0, on injecte dans le sang d’un patient une certaine quantité d’une solution médicamenteuse.
Après 5 heures (h) il ne reste que 37% du médicament dans le sang.
Le processus d’élimination de ce médicament suit une loi différentielle de type :
dQ/dt = - l.Q(t).
On cherche le temps T nécessaire pour qu’il ne reste plus que 10% du médicament dans le sang.
(On pourra utiliser : 1/e = 0,37 ; avec e, exponentielle et ln 10 = 2,3)
Quelle est (ou quelles sont) la (les) réponse(s) exacte(s) ?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
l = 0,2 h
l = 0,12 h-1
l = 0,2 min-1
l = 0,5 h
T = 12,2 h
T = 11,5 h
T = 19,2 h
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exercice 4 :
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