Électrocinétique I

X Séquence 3
Électrocinétique I
Plan du cours
Chapitre I - Réseaux linéaires en régime permanent
1 - Définitions
2 - Dipôles électrocinétiques
3 - Lois fondamentales
4 - Théorèmes fondamentaux
Chapitre II - Régimes transitoires
1 - Approximation des régimes quasi permanents (ARQP)
2 - Composants en régime variable
3 - Régime transitoire indiciel d’un premier ordre
4 - Régime transitoire indiciel d’un second ordre
Documents complémentaires
• Document d’introduction au cours : historique et définitions ;
• TD d’électrocinétique sur les dipôles linéaires en régime permanent ;
• TD d’électrocinétique sur les régimes transitoires ;
• Distribution du DM d’électrocinétique à rendre pour le jeudi 15 novembre ;
• L’essentiel à retenir en électrocinétique I ;
• Fiches de colle.
Un peu d’histoire ...
Volta (1800)
Pile Cuivre/Zinc
Ampère (1775-1836)
Notions de courant et tension dans un circuit
Ohm (1789-1854)
Analogie entre la conduction thermique (Fourier 1822)
et la conduction électrique
Ohm (1827)
Loi d'Ohm locale
Pouillet (1837)
Vérification de la loi d'Ohm dans des circuits
Kirchhoff (1824-1887)
Loi des réseaux et des nœuds
Contemporaine (1950)
Semi-conducteurs, transistors, début du numérique
et de la numérisation.
Quelques définitions ...
Conducteur : le caractère conducteur est dû aux porteurs de
charges qui sont les électrons dans les métaux et les ions dans les
électrolytes.
Circuit électrique : chaîne fermée de conducteurs parcourue par
des porteurs de charges.
Courant électrique : déplacement des porteurs de charges sous
l'action d'un champ électrique. La grandeur associée au courant est
l'intensité, en ampère : c'est la quantité de charges passant en un
point M en une seconde. On peut la définir à tout instant et en tout
point.
Potentiel électrique : grandeur permettant de caractériser la
« possibilité » et la « force d'un déplacement » des porteurs de
charges.
Dipôle : composant relié en deux points appelés bornes au reste du
circuit. On parle alors du courant traversant le dipôle et de la
différence de potentiel à ses bornes.
Réseau : ensemble de dipôles reliés entre eux par des fils de
résistances négligeables.
Nœud : point du circuit relié à au moins 3 dipôles.
Branche : ensemble de dipôles situé entre deux nœuds.
Maille : circuit fermé formé de branches ne passant qu'une fois par
un nœud donné.
TD Physique - Dipôles électrocinétiques et réseaux en régime permanent - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Dipôles électrocinétiques et réseaux en régime permanent
I - Équivalences de générateurs ⋆
1A
6A
6Ω
6V
Définir les générateurs équivalents aux
circuits suivants.
12 V
12 Ω
6V
12 Ω
3Ω
3Ω
II - Pont de Wheatstone - calculs ⋆
On se place en régime de tension continue, et on prend
U1 = 4 V, U2 = 6 V, U3 = 3 V, I0 = 7 mA, I1 = 3 mA
et I2 = 5 mA. Calculer tensions et intensités manquantes.
Le dipôle central reçoit-il ou fournit-il de l’énergie ? Si le
dipôle est une résistance, préciser sa valeur.
III - Caractéristique d’un moteur ⋆
On considère le moteur suivant, dont les conventions
sont précisées ci-contre. Le dipôle est-il récepteur ou
générateur ? Quelle est la puissance maximale reçue
par M, puis fournie par M ; quelle est la puissance
minimale reçue par M ? Donner les paramètres équivalents de Thévenin et Norton de ce dipôle.
IV - Ampèremètre réel ⋆
K
L’ampèremètre A donne la même indication lorsque
l’interrupteur K est ouvert avec R = R1 = 50 kΩ et
lorsque K est fermé avec R = R2 = 40 kΩ. Quelle
est la résistance interne r de l’ampèremètre ?
A
e
R
1
R′ = 200 Ω
TD Physique - Dipôles électrocinétiques et réseaux en régime permanent
V - Adaptation en puissance ⋆
Soit un générateur réel de f.é.m. e et de résistance interne r. On branche à ses bornes une résistance variable R.
Déterminer l’intensité du courant qui circule dans le circuit, puis la puissance dissipée dans la résistance variable
en fonction de e, r et R. Tracer la courbe P = f (R) et montrer qu’elle passe par un maximum P max pour une
valeur de R à déterminer.
VI - Composant non linéaire ⋆⋆
On alimente grâce à un générateur de f.é.m. e = 4 V et de résistance interne R = 1 kΩ un composant dont la loi
est I = gU + aU 3 , avec g = 2.10−3 S et a = 10−3 u.SI. Préciser l’unité de a, puis calculer l’intensité parcourant le
composant. Calculer la puissance dissipée dans ce composant puis dans la résistance, et comparer à la puissance
fournie.
VII - Étude d’un voltamètre ou électrolyseur ⋆ ⋆ ⋆
On considère le schéma suivant. Le composant situé en haut à gauche est un électrolyseur (ou voltamètre), dont
la caractéristique en convention récepteur est donnée ci-dessous 1 . Établir la loi i = f (E). En particulier, on
verra qu’il existe trois domaines, et on étudiera celui pour lequel −50 V 6 E 6 150 V.
(100 V, 50 Ω)
(50 V, r = 10 |i|)
i
(E, 50 Ω)
VIII - Transformations de Kennelly ⋆⋆
La transformation suivante est parfois très utile ! On va montrer l’équivalence entre les deux circuits suivants. Pour
cela, écrire une relation entre ia ,ib et ic , puis entre Uab , Ubc et Uca Exprimer alors Uab en fonction de a, b, ia et ib ;
puis ia et ib en fonction des tensions et de A, B et C. En donnant Uab de deux façons différentes utilisant Ubc , Uca
et les différentes résistances, montrer finalement que
Uab
Uab
ia
a
ib
BC
a=
A+B+C
CA
b=
A+B+C
ia
ib
C
b
B
AB
c=
A+B+C
Uca
c
Ubc
A
Ubc
Uca
ic
ic
Par un raisonnement similaire, montrer que
A=
ab + bc + ca
a
B=
ab + bc + ca
b
1. C’est la même caractéristique qu’un moteur
2
C=
ab + bc + ca
c
TD Physique - Dipôles électrocinétiques et réseaux en régime permanent - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
IX - Résistance itérative ⋆⋆
On considère les circuits ci-dessous où toutes les résistances ont la même valeur r. Déterminer dans chaque cas la
résistance équivalente entre les points A et B, que l’on notera R1 , R2 et R∞ . Comparer R2 et R∞ .
r
A
r
r
r
B
r
A
B
r
r
r
r
r
r
B
r
r
r
A
r
∞
r
r
r
r
X - Montages courte et longue dérivation ⋆⋆
La mesure d’une résistance R se fait en pratique souvent grâce à un ampèremètre et à un voltmètre. Néanmoins, ces
appareils sont eux-mêmes dotés de résistances internes (que l’on notera respectivement RA et RV , avec RV ≫ RA ),
ce qui est la cause d’erreurs systématiques de mesure. En effet, la résistance mesurée vaut Rm = U/I, où U
est la tension lue sur le voltmètre et I l’intensité lue sur l’ampèremètre. On se propose d’étudier deux montages
permettant la mesure de la valeur de la résistance R.
R
I
R
I
A
A
i
V
V
U
U
Montage ourte dérivation
Montage longue dérivation
1. Exprimez pour chaque montage la résistance Rm et l’erreur systématique relative (Rm − R)/R en fonction
des résistances R, RA et RV .
2. Discutez du choix du montage selon la valeur de R. Vous pourrez proposer pour cela une valeur critique de
R séparant les deux possibilités.
3. Application numérique : RA = 10 Ω et RV = 1 MΩ. On sait que R est de l’ordre de 5 kΩ. Quel montage est
le plus adapté à la mesure de cette résistance ?
XI - Calculs de résistances équivalentes ⋆ ⋆ ⋆⋆
Calculer la résistance équivalente pour chacune des configurations suivantes :
1. un cube est composé de 12 arêtes de même résistance R. Calculer la
résistance totale entre deux points quelconques (il y a 3 cas à distinguer) ;
2. pour 2 points quelconques d’un octaèdre régulier ;
3. entre A et O, C et O et entre deux angles opposés du carré ci-contre ;
4. entre deux coins opposés du rectangle ci-contre.
3
A
O
C
TD Physique - Électrocinétique II - Régimes transitoires - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Électrocinétique II - Régimes transitoires
I - Identification d’un premier ordre ⋆
Identifier les paramètres de la solution
à l’équation différentielle du premier
ordre représentée ci-dessous.
II - Identification d’un second ordre ⋆ ⋆ ⋆
Identifier les paramètres de la solution à
l’équation différentielle du second ordre
représentée ci-dessous.
III - Premier circuit transitoire ⋆
Sur le circuit ci-contre, on branche le générateur à
t = 0. En supposant qu’il n’y avait pas de courant
auparavant, déterminer u(t) et i(t) aux bornes de la
bobine.
Rg
E>0
R
L
IV - Allumage d’un moteur ⋆
L’allumage d’un moteur à essence est schématisé cicontre. A l’instant t = 0, on ouvre l’interrupteur.
Quel est le courant i dans la bobine avant et après cet
instant ? Quelle est la tension immédiatement après
l’ouverture de l’interrupteur ? Quel est l’ordre de
grandeur de la durée de ce pic de tension ? On prendra L = 0, 8 H, r = 8 Ω, R = 1000 Ω et E = 12 V.
E>0
1
L, r
R
u
TD Physique - Électrocinétique II - Régimes transitoires
V - Deuxième circuit transitoire ⋆⋆
On ferme l’interrupteur à t = 0. Déterminer les courants en t = 0+ et t = ∞, puis les expressions de
ig (t), i1 (t) et i2 (t).
E>0
Rg
L
R1
R2
VI - Encore un ... ⋆⋆
L
Á t = 0, le condensateur est déchargé et on ferme
l’interrupteur. Trouver i(t), et donner la condition
sur R1 , R2 , L et C pour que i(t) soit indépendant
du temps. Donner alors la valeur de cette intensité.
R1
R2
C
i
E>0
VII - Devinez ... ⋆⋆
R
Condensateur déchargé et fermeture de l’interrupteur à t = 0. Établir l’équation régissant q(t) et la
résoudre si R2 C = 16L.
E>0
C
R
L
VIII - Précaution expérimentale ⋆⋆
On veut étudier grâce à un oscilloscope la décharge d’un condensateur dans un dipôle RC. On prend comme
générateur de fem E = 15 V, un condensateur de capacité C et un résistor de résistance R. On prend en outre en
compte la non idéalité de l’oscilloscope : vu de l’extérieur, l’entrée de l’oscilloscope est équivalente à une résistance
Re = 1 MΩ en parallèle avec un condensateur Ce = 30 pF. Représenter le schéma du montage permettant de
suivre cette décharge. Quelles valeurs de la résistance R et de la capacité C faut-il choisir pour que l’erreur due à
l’oscilloscope soit inférieure à 1% ?
IX - Lampe au néon ⋆ ⋆ ⋆
Une lampe au néon N ne s’allume que si la tension u à ses bornes
atteint la tension Va dite potentiel d’allumage et reste allumée
tant que sa tension reste supérieure à la tension Ve dit potentiel
d’extinction. Allumée, la lampe a une résistance r, et éteinte cette
résistance est infinie. En supposant u(0) = 0, étudier la tension
u(t).
R
N
C
E>0
X - Circuit de Wien ⋆ ⋆ ⋆⋆
On réalise le montage ci-contre. On ferme l’interrupteur à t = 0,
C ′ étant chargé et C déchargé. On donne R = R′ = 10 kΩ et
C = C ′ = 0, 1 µF . Déterminer sans calcul les valeurs de v(0) et
v(∞). Établir l’équation différentielle vérifiée par v. Déterminer
v(t) sachant que u(0) = 3V . Déterminer le temps au bout duquel
v passe par un maximum. Tracer l’allure de v(t).
2
R′
C′
u
C
R
v
Devoir Maison - Électrocinétique - MPSI 1 Lycée Chaptal - 2012
Devoir Maison - Électrocinétique
On considère le circuit ci-contre où le condensateur est initialement déchargé. Á cet instant initial, on ferme
l’interrupteur.
L
R
i
R
C
E
1 Dresser un tableau donnant l’intensité i et les tensions uL et uC pour t = 0− , t = 0+ et t = +∞ en les justifiant.
2 Établir l’équation différentielle normalisée vérifiée par i. On la mettra sous la forme
di
E
d2 i
+ 2γ + ω0 2 i =
2
dt
dt
RLC
3 Avec la forme précédemment établie, que valent la pulsation propre ω0 , le degré d’amortissement γ et le facteur
de qualité Q ?
4 En posant RC = τ et avec RC = L/R, donnez les expressions de ω0 , γ et Q.
5 Combien faut-il de conditions initiales pour résoudre entièrement l’équation différentielle ? Justifier soigneusement la valeur de chacune d’entre elles.
6 Résoudre l’équation différentielle avec la condition RC = L/R.
7 Tracer l’allure de l’intensité.
8 Expliquer, sans calcul, comment on pourrait alors trouver les lois de uL , uR (où uR est la tension de la résistance
en série avec la bobine), et uC .
1
L'essentiel ... en électrocinétique I
Il faut connaître les définitions ...
•
•
•
•
des composants en série ou en parallèle ;
des conventions récepteur et générateur ;
d'une source et d'un générateur (qui est une source imparfaite, représenté comme une source et
une résistance rendant compte des imperfections) ;
d'une caractéristique, d'un point de fonctionnement.
Il faut retenir ...
•
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•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
que la puissance P vaut UI et savoir l'interprêter selon la convention choisie ;
que les tensions s'ajoutent en série et sont identiques en parallèle ;
que c'est l'inverse pour les intensités ;
les modèles de Thévenin et de Norton et comment passer de l'un à l'autre ;
les transformations de Thévenin et Norton ;
les lois fondamentales : noeuds et mailles ;
comment lire une tension ;
les lois d'associations de résistances en série et en parallèle ;
le pont diviseur ;
la loi des noeuds en terme de potentiels (théorème de Millman) ;
les lois des composants fondamentaux (résistors, condensateurs, bobines) en régime variable ;
les comportements de ces composants, afin de trouver les conditions initiales d'un circuit.
EN PARTICULIER
Un condensateur est équivalent à un interrupteur ouvert et une bobine à un fil en régime continu ;
L'intensité qui traverse une bobine et la tension aux bornes d'un condensateur sont continues.
Il faut savoir ...
•
•
•
•
•
•
•
lire une tension et l'écrire proprement en fonction d'autres tensions dans une maille ou sur
n'importe quelle portion de circuit ;
utiliser la méthodologie générale pour résoudre un réseau, ie. trouver toutes les intensités et
tensions de celui-ci ;
que RC et L/R sont deux grandeurs homogènes à des temps ;
trouver les conditions initiales dans des circuits à l'aide de raisonnements physiques ;
établir l'équation différentielle d'un circuit ;
savoir résoudre cette équation différentielle ;
tracer les réponses d'un premier ordre, d'un second ordre.
Feuille de compte-rendu de colles N°3
Trinôme N°
Thème de la quinzaine : Électrocinétique : réseaux en régime permanent
Questions de cours (10 à 15mn MAXI )
1 – Pont diviseur de tension expression, démonstration.
2 – Théorème de Millman : énoncé, démonstration. Principe généralisé.
3 – Caractéristique d'un dipôle. Définition, zones récepteur et générateur. Notion de dipôle linéaire, passif, actif. Point de
fonctionnement.
4 – Équivalents Thévenin-Norton. Passage d'un modèle à l'autre.
5 – Lois d'associations de résistances : énoncés, démonstrations.
6 – Pont diviseur d'intensité : expression avec les conductances.
7 – Conventions récepteur et générateur. Intérêt par rapport à l'interprétation de la puissance.
Nom :
Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) :
Très
insuffisant
Insuffisant
Moyen
Bien
Très bien
Rigueur
scientifique
□
□
□
□
□
Connaissance
du cours
□
□
□
□
□
Outils
mathématiques
□
□
□
□
□
Réflexion
□
□
□
□
□
Rapidité
□
□
□
□
□
Nom :
Question de cours N°
Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) :
Très
insuffisant
Insuffisant
Moyen
Bien
Très bien
Rigueur
scientifique
□
□
□
□
□
Connaissance
du cours
□
□
□
□
□
Outils
mathématiques
□
□
□
□
□
Réflexion
□
□
□
□
□
Rapidité
□
□
□
□
□
Nom :
Question de cours N°
Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) :
Très
insuffisant
Insuffisant
Moyen
Bien
Très bien
Rigueur
scientifique
□
□
□
□
□
Connaissance
du cours
□
□
□
□
□
Outils
mathématiques
□
□
□
□
□
Réflexion
□
□
□
□
□
Rapidité
□
□
□
□
□
Question de cours N°
Feuille de compte-rendu de colles N°4
Trinôme N°
Thème de la quinzaine : Régimes transitoires en électrocinétique
Questions de cours (10 à 15mn MAXI )
1 – Condensateur : symbole, grandeur caractéristique et unité, équation(s) fondamentales. Comportement de la tension,
comportement en régime permanent. Schéma du composant réel.
2 – Bobine : symbole, grandeur caractéristique et unité, équation(s) fondamentales. Comportement de l’intensité, comportement en
régime permanent. Schéma du composant réel.
3 – ARQP : définition, intérêt.
4 – Lois d’associations de condensateurs et bobines (série, parallèles).
5 – Circuit RL : tableau prévisionnel des comportements en 0-, 0+ et infini (fermeture du circuit à t=0). Établissement de la loi de
l’intensité.
6 – Circuit RC : tableau prévisionnel des comportements en 0-, 0+ et infini (fermeture du circuit à t=0). Établissement de la loi de la
tension (de R ou C, au choix du collé)
7 – Circuit RLC série : établissement de la loi de la tension du condensateur et de l’intensité. Résolution pour R/L = 1/LC = 1 S.I.
Nom :
Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) :
Très
insuffisant
Insuffisant
Moyen
Bien
Très bien
Rigueur
scientifique
□
□
□
□
□
Connaissance
du cours
□
□
□
□
□
Outils
mathématiques
□
□
□
□
□
Réflexion
□
□
□
□
□
Rapidité
□
□
□
□
□
Nom :
Question de cours N°
Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) :
Très
insuffisant
Insuffisant
Moyen
Bien
Très bien
Rigueur
scientifique
□
□
□
□
□
Connaissance
du cours
□
□
□
□
□
Outils
mathématiques
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□
□
Réflexion
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□
□
□
□
Rapidité
□
□
□
□
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Nom :
Question de cours N°
Note de cours (0, 2, 4 ou 6) Note d'exercice(s) (sur 14) :
Très
insuffisant
Insuffisant
Moyen
Bien
Très bien
Rigueur
scientifique
□
□
□
□
□
Connaissance
du cours
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□
□
□
□
Outils
mathématiques
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□
□
Réflexion
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□
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□
Rapidité
□
□
□
□
□
Question de cours N°