Millennium Bridge

PCSI Physique
Devoir Maison
Lycée Brizeux 2016-2017
Le Millenium Bridge.
Pour marquer le millénaire, une nouvelle passerelle a été construite
au-dessus de la Tamise à Londres pour un coût total de plus de 20
millions de Livres Sterling. Quand elle fut ouverte aux piétons on
remarqua très vite qu’elle se balançait latéralement et verticalement
en cas de forte affluence. Avec un grand nombre de piétons, son
mouvement oblique était tel que la plupart d’entre eux s’arrêtaient
et s’accrochaient aux rampes. Des images et des vidéos ont montré
que ces mouvements latéraux pouvaient avoir une amplitude
moyenne de 75 mm et qu’ils se produisaient avec des fréquences de
l’ordre du hertz. Le pont fut donc fermé deux jours après son
ouverture au public. Dix-huit mois de recherches furent nécessaires
pour résoudre le problème et faire les modifications préconisées par
les ingénieurs qui furent donc finalement consultés.
L’objectif de ce problème est une modélisation très simple d’une
passerelle piétonne et la compréhension de certains problèmes
posés par le Millennium Bridge de Londres.
Le vecteur est surmonté d’un chapeau s’il est unitaire 𝑢" ou d’une
flèche dans le cas général 𝑣. Un point sur une grandeur indique la
&"
dérivée par rapport au temps de cette grandeur : 𝑥 = .
&'
Un oscillateur est constitué d’une masse 𝑚 dont le centre d’inertie 𝐺 est repéré
par la position 𝑥 dans le référentiel galiléen 𝑂, 𝑢" – voir figure à droite.
L’origine 𝑂 se situe au niveau du sol. L’oscillateur est relié `a un support fixe
par l’intermédiaire d’un ressort linéaire de raideur 𝑘 et de longueur à vide 𝑙.
ainsi que d’un amortisseur linéaire de viscosité 𝛼, exerçant sur 𝑚 une force
de frottement 𝐹1 = −𝛼𝑥𝑢" , avec 𝛼 > 0. `A tout instant 𝑡, on assimile la distance
𝑂𝐺 à la longueur 𝑙 𝑡 du ressort. L’ensemble est soumis à l’accélération de la
pesanteur 𝑔 = −𝑔𝑢" avec 𝑔 = 9,81m.s >? .
1. En appliquant la relation fondamentale de la dynamique établir l’équation différentielle de
l’abscisse 𝑥 𝑡 de la masse 𝑚.
2. Quelle est la position d’équilibre 𝑥 de 𝑥(𝑡)? Déterminer la constante 𝑥 en fonction de 𝑔, 𝜔. et
𝑙. .
3. En déduire une équation satisfaite par 𝑋(𝑡) = 𝑥(𝑡) − 𝑥.
4. Exprimer la pulsation propre 𝜔. et le coefficient d’amortissement 𝜉 en fonction des données du
problème.
5. Dans le régime libre, le système est mis en vibration uniquement par des conditions initiales
non nulles 𝑋(0) = 𝑋. ≠ 0 et 𝑋(0) = 𝑉. ≠ 0. Déterminer la solution du régime libre (en fonction
de 𝜔. , 𝜉, 𝑋. , 𝑉. et 𝑡) pour le cas 𝜉 = 0. Préciser son comportement.
6. Même question pour le cas 0 < 𝜉 < 1 et préciser son comportement.
?I
7. Exprimer la pseudo-période 𝑇 en fonction de 𝑇. =
et de 𝜉.
JK
8. Montrer que le décrément logarithmique 𝛿 défini par 𝛿 = ln
O(')
O('PQ)
est indépendant du temps et
l’exprimer en fonction de 𝜉.
9. Dans certains cas, le vent peut induire sur le système une force proportionnelle au vecteur
vitesse que l’on écrit 𝐹R = 𝛽𝑥𝑢" , avec 𝛽 > 0. Quelle peut être la conséquence de ce phénomène ?
Différents cas peuvent être examinés pour l’excitation (ou forçage) 𝐹(𝑡) de l’oscillateur étudié lors
des deux premières questions. Nous nous placerons dans l’optique d’une passerelle piétonne.
L’action de la marche d’un piéton est caractérisée par un contact continu sur la surface du sol
puisque le second pied touche le sol avant que le premier ne le quitte. La force engendrée comprend
une composante verticale et une composante horizontale non prise en compte dans cette partie.
Dans le cadre d’un modèle simplifié, nous représenterons cette force, appelée charge, par un
vecteur : 𝐹(𝑡) = 𝐹. .
Le vecteur 𝐹. correspond à la force statique, c’est-à-dire au poids du piéton. Ce vecteur sera
supposé constant et orienté comme −𝑢" .
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On note 𝐹. = 𝐹.
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le module de la force statique, 𝑌 = 𝑋 +
VK
WJK X
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la réponse en
déplacement de l’oscillateur.
10. Que devient l’équation de l’oscillateur en 𝑌 sous le forçage piéton ?
11. Pour résoudre le problème concernant le Millennium Bridge, il a fallu installer
des amortisseurs harmoniques – figure à droite. Ecrire les deux nouvelles
valeurs possibles du coefficient d’amortissement ainsi que les deux nouvelles
valeurs de pulsation propre.
Tableau des analogies entre circuit RLC et oscillateur mécanique.
Système
Equation
différentielle
Grandeur
oscillante
Dérivée
Répugnance au
changement
Mise en oscillation
Facteur
d’amortissement
Electrique
𝑞
𝐿𝑞 + 𝑅𝑞 + = 0
𝐶
La charge 𝒒 du condensateur tend
vers 0, en oscillant si
l’amortissement n’est pas trop fort.
Les variations de la charge sont
données par l’intensité 𝒊 :
𝑑𝑞
𝑖=
𝑑𝑡
La bobine s’oppose aux variations
du courant. Cette répugnance au
changement est caractérisée par 𝑳.
Chargé, en circuit ouvert, le
condensateur est capable de
mettre le système en oscillation
lors de la fermeture du circuit. Il
est caractérisé par sa capacité 𝑪.
Le système s’amortit en raison de
la présence du résistor caractérisé
par sa résistance 𝑹.
Stockage d’énergie
Le condensateur dispose à tout
instant d’une énergie 𝑬𝑪 . Cette
énergie peut être stockée, si on
bloque le condensateur dans cet
état en ouvrant le circuit.
1
1 𝑞?
𝐸k = 𝐶𝑢k ? =
2
2𝐶
Energie de
fonctionnement
Lorsque le courant circule, la
bobine « contient » de l’énergie 𝑬𝑳 .
Cette énergie ne peut être stockée
indéfiniment car elle s’annule en
l’absence de courant.
1
𝐸o = 𝐿𝑖 ?
2
Energie dissipée
Echanges
énergétiques
Energie
susceptible d’être
conservée
En cas d’amortissement, la
résistance dissipe de l’énergie
sous forme de chaleur (effet Joule).
Les oscillations traduisent un
échange permanent entre 𝐸k et 𝐸o .
L’énergie électromagnétique 𝐸rW
reste constante si l’amortissement
est nul et décroît sinon :
𝐸rW = 𝐸k + 𝐸o .
Mécanique
𝑚𝑥 + 𝛼𝑥 + 𝑘𝑥 = 0
L’élongation 𝒙 du ressort tend vers
0, en oscillant si l’amortissement
n’est pas trop fort.
Les variations de l’élongation sont
données par la vitesse 𝒗 :
𝑑𝑥
𝑣=
𝑑𝑡
L’inertie s’oppose aux variations de
la vitesse. Cette répugnance au
changement est caractérisée par 𝒎.
Déformé et maintenu, le ressort est
capable de mettre le système en
oscillation lorsqu’on le lâchera. Il est
caractérisé par sa raideur 𝒌.
Le système s’amortit en raison de la
présence du frottement caractérisé
par le coefficient 𝜶.
Le ressort dispose à tout instant
d’une énergie potentielle 𝑬𝒑 . Cette
énergie peut être stockée si l’on
bloque le ressort en immobilisant le
système dans une position
quelconque.
1
𝐸n = 𝑘𝑥 ?
2
Lorsque le mobile se déplace, le
solide « contient » de l’énergie
cinétique 𝑬𝒄 . Cette énergie ne peut
être stockée indéfiniment car elle
s’annule en l’absence de
mouvement.
1
𝐸q = 𝑚𝑣 ?
2
En cas d’amortissement, les
frottements dissipent de l’énergie
sous forme de chaleur.
Les oscillations traduisent un
échange permanent entre 𝐸n et 𝐸q .
L’énergie mécanique 𝐸W reste
constante si l’amortissement est nul
et décroît sinon :
𝐸W = 𝐸n + 𝐸q