et (n!) - Mathix.org
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Exposé 60 : Etude de suites de terme général an , np et n! Croissances comparées.Exemples de comparaison de suites aux suites précédentes.Calculatrice. Pré requis : - Suites réelles, convergentes,divergentes - Opérations algébriques et comparaison de suites - Fonctions logarithmes et exponentielles - Formule du binôme - Limite de composition de fonctions - Récurrence 1) Etudes des suites (an), (np)et (n!) a) Etude de un=an , a Є IR Propriété : 1. Si a = 1 la suite est constante et vaut 1. 2. Si a > 1 la suite est croissante et tend vers +∞. 3. Si -1< a < 1 la suite (un)n converge vers 0. 4. Si a = -1 la suite diverge et prend pour valeur 1 si n pair , -1 si n impair 5. Si a < -1 , (un)n diverge ((u2 k) diverge vers +∞ et (u2 k+1) diverge vers -∞) Démonstration 1 et 4 sont évidents. 2.Si a >1 , on pose a=1k k 0 a n=1k n1nk ∞ (l'inégalité découlant de la formule du binôme) donc lim a n ∞ 3.Si a=0 alors la suite est constante de valeur 0. u n1 =a1 donc la suite un=an est décroissante et minorée par 0 donc Si 0<a<1 , un elle converge vers L ≥0 , et L =a L => L(1-a)=0 => L =0 Si 0>a>-1 alors ∣u n∣ 0 et donc u n 0 Remarque : ∣u n∣ L => u n L vrai ssi L=0 pour le cas où un=an ! b) Etude de un=nb , b Є IR Propriété : Soit (un)n une suite de terme général nb , b Є IR 1. Si b < 0 ; (un)n est décroissante et tend vers 0. 2. Si b=0 ; (un)n est constante et est égale à 1. 3. Si b>0 , (un)n est croissante et tend vers +∞. Démonstration b=0 est évident. on pose sinon vn=ln(un)= ln(nb)=b.ln(n) , si b<0 (vn) est décroissante et lim v n=−∞ si b>0 (vn) est croissante et lim v n=∞ Avec le théorème de comparaison des limites par une application on en déduit : lim un = +∞ si b>0 , 0 si b<0 . ( en posant un=exp(vn) d'où la croissance et la décroissance suivant la valeur de b.) c) Etude de un=n! Propriété : Soit (un)n une suite de terme général n!, cette suite est strictement croissante et diverge vers +∞. u n1 n1 ! = =n11 => (un) strictement croissante. Pour tout n entier , un n! Pour tout n entier un=n!=n(n-1)!≥n or lim n =+∞ donc lim un=+∞. 2) Croissance comparée a) Définition Définition : Soit (un) et (vn) deux suites réelles , (vn) ne s'annulant pas à partir d'un certain un rang. Si lim 0 alors on dit que un est négligeable devant vn. On note un<<vn vn Théorème : Soit (un) une suite réelle non nulle( pour tout n un=0). 1. S'il existe k Є ]0,1[ et n0 entier tel que pour tout n≥n0 , ∣u n1∣k∣u n∣ alors lim u n 0 2. S'il existe k Є ]1,+∞[ et n0 entier tel que pour tout n≥n0 , ∣u n1∣≥k∣u n∣ alors lim u n ∞ Démonstration : 1.Par récurrence , on obtient : pour tout p entier ∣u n p∣k p∣u n∣ d'où le résultat par le th des gendarmes car 0<k<1) 2.Par récurrence pour tout entier p , ∣u n p∣≥k p∣u n∣ d'où le résultat par le théorème des comparaison des suites. Corollaire : Soit (un) une suite réelle dont les termes sont non nums à partir d'un certain rang , u n1 ∣ ) tend vers L réel non nul. et telle que ( ∣ un 1. Si L<1 alors lim(un)=0 2. Si L>1 alors lim( ∣u n∣ ) = +∞ b) Application Théorème : a≠0 et n≥1 : b n – Si |a|>1 alors n ≪a ≪ n ! avec b>0 1 n b ≪a ≪n avec b<0 – Si |a|<1 alors n! n b u n1 n1b nb a 1 1 1 = n1 . =1 . .Alors b n un a n a a n a u n1 L avec L1 => lim un=0 ie an>>nb On a bien si |a|<1 d'après le corollaire un nb an Et si |a|<1 même démonstration lim n =u n =∞ ie lim b =0 ie an<<nb a n Démonstration : Posons u n= u n1 a n! a an = . n= 0 donc d'après le corollaire on obtient u n1 ! n1 n! a n an lim u n=lim =0 ie n! >>an n! 1 n Enfin si |a|<1 , d'après ce qui précède. 1 a = 0 n n! n! a n1 Posons u n= Application: 1. lim a n . nb =∞ avec a>1 et b>0 2. lim n ! . nb =∞ avec b <0 3) Comparaison de suites aux précédentes Théorème : Soit α,β et b des réels strictement positifs et a Є IR a>1. Alors les suites de terme générale an, nb, n!, (ln n)α , e βn , nn divergent vers +∞. Et on a : – (ln n)α <<nb <<e βn <<an<<n!<<nn, si e β<a – (ln n)α <<nb <<an <<e βn <<n!<<nn, si e β>a Application : lim nb n avec b>0 etc....... n Démonstration du théorème : on a déjà n b ≪a n≪ n ! – e βn = (e β)n donc e βn <<an si e β<a et e βn >>an si e β>a b – – α b u n ln nα ln n α α ln n α α α α ln X =0 =[ b ] =[ . ] = . [ ln ] or lim n α =∞ et lim b b X b b u n n nα nα α b d'où (ln n) <<n n! nn n n n nn or lim n = +∞ ie lim =∞ ie lim n =0 ie nn>>n! = . .... . n ! n n−1 1 n n!