Étudier si une famille est une base
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Étudier si une famille est une base
Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise) Algèbre linéaire Méthodes et techniques des exercices Étudier si une famille est une base Soit E un K-espace vectoriel. Comment décider si une famille donnée de vecteurs de E est une base de E ? – La première question qu’il faut se poser c’est : Est-ce que la dimension de E est connue et finie ? – Si non, on doit revenir à la définition – Si oui, on commence par regarder le nombre d’éléments de la famille : – Si ce nombre est différent de la dimension, cette famille ne peut être une base ; – Si ce nombre est égal à la dimension, il suffit de vérifier que cette famille est libre ou génératrice. – Autre possibilité : utiliser une application linéaire bijective Nombre de vecteurs égal à la dimension : famille libre ou génératrice ? Pour cela, si les vecteurs sont donnés par leurs composantes dans une base connue on peut Se ramener à étudier un système linéaire ou Echelonner la famille de vecteurs ou si on sait le faire, calculer le déterminant de cette famille de vecteurs. Etudier un système linéaire Pour démontrer que la famille est libre dans le cas où E est de dimension finie n, on se ramène à un système linéaire, En effet, soit (e1 , . . . , en ) une base de E et une famille finie (u1 , . . . , un ) de vecteurs de E donnés par leurs coordonnées dans la base (e1 , . . . , en ) de E. Soientλ1 , . . . , λn des scalaires tels que X λj u j = 0 1≤j≤n Il s’agit de démontrer que les λi sont tous nuls. Cette équation vectorielle est équivalente à un système linéaire d’inconnues λ1 , . . . , λn . 1 Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise) Algèbre linéaire Dire que (u1 , . . . , up ) est une famille libre de E, c’est dire que la seule solution du système est pour tout i, λi = 0. Exemple. La famille (u, v, w) où u = (1, 2, 1), v = (2, 1, 2) et w = (1, −1, 2) est-elle une base de R3 ? Le nombre déléments de la famille est bien égal à la dimension. Démontrons que cette famille est libre. Soient λ1 , λ2 , λ3 tels que λ1 u1 + λ2 u2 + λ3 u3 = 0. On aboutit à la résolution du système linéaire : λ1 + 2λ2 + λ3 = 0 2λ1 + λ2 − λ3 = 0 λ1 + 2λ2 + 2λ3 = 0 La méthode du pivot de Gauss conduit au système équivalent suivant : λ1 + 2λ2 + λ3 = 0 − 3λ2 − 3λ3 = 0 λ3 = 0 Ce système triangulaire a pour unique solution λ1 = λ2 = λ3 = 0. Donc (u, v, w) est une famille libre donc une base de R3 . Retour au début Une autre méthode : échelonner la famille de vecteurs On peut échelonner la famille de vecteurs, dans le cas où E est de dimension finie égale à n et la famille (u1 , . . . , un ) est donnée par les coordonnées de chacun de ses vecteurs dans une base de E. En échelonnant la famille (u1 , . . . , un ), on obtient une famille de vecteurs plus simple à manipuler, engendrant aussi Vect(u1 , . . . , un ). Si cette nouvelle famille est échelonnée sans apparition de vecteurs nuls au cours de l’échelonnement, on peut conclure que la famille initiale est une base. (Exemple 1) Si cette nouvelle famille ne comporte pas assez de vecteurs, on peut conclure que la famille initiale n’est pas génératrice et ainsi ne peut être une base de E. (Exemple 2) 2 Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise) Algèbre linéaire Exemple 1 La famille (u, v, w) où u = (1, 2, 1), v = (2, 1, 2) et w = (1, −1, 2) est-elle une base de R3 ? On a u v w 1 2 1 2 1 −1 2 2 1 La méthode d’échelonnement conduit à considérer les deux vecteurs : v 0 = v − 2u et w0 = w − u. 0 0 u v w 1 0 0 2 −3 −3 1 0 1 A l’étape suivante, on termine l’échelonnement en calculant w” = w0 − v 0 . 0 u v w” 1 0 0 2 −3 0 1 0 1 Comme Vect(u, v, w) = Vect(u, v 0 , w”) et la famille (u, v 0 , w”) est échelonnée sans vecteurs nuls. C’est donc une famille libre de 3 vecteurs et de là une base de R3 . Ainsi (u, v, w) est une famille génératrice et, de là, une base de R3 . Retour au début Exemple 2 La famille (u, v, w) où u = (1, 2, 1), v = (2, 1, 2) et w = (1, −1, 1) est-elle une base de R3 ? On a u v w 1 2 1 2 1 −1 1 2 1 La méthode d’échelonnement conduit à considérer les deux vecteurs : v 0 = v − 2u et w0 = w − u. 0 0 u v w 1 0 0 2 −3 −3 1 0 0 3 Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise) Algèbre linéaire Comme on constate que w0 = v 0 , on a Vect(u, v, w) = Vect(u, v 0 , w0 ) = Vect(u, v 0 ). Puisque la famille (u, v 0 ) ne comporte que deux vecteurs, elle ne peut pas engendrer R3 qui est de dimension 3. Donc (u, v, w) n’est pas une base de R3 . Retour au début Revenir à la définition quand la dimension et la famille sont infinis. On doit alors vérifier que la famille est – libre : il faut s’assurer que pour toute combinaison linéaire (finie, bien sûr !) nulle d’éléments de la famille, tous les coefficients sont nuls. – génératrice : tout élément de E est combinaison linéaire (finie, bien sûr !) d’éléments de la famille. Retour au début 4 Base raisonnée d’exercices de mathématiques (Braise) Algèbre linéaire Utiliser une application linéaire bijective Si on connaı̂t une application linéaire f : V → E bijective, c’est-à-dire un isomorphisme, et si, pour i ∈ I, ui = f (vi ), où (vi )i∈I est une base de V (finie ou non), on en déduit que (ui )i∈I est une base de E. Retour au début 5