Corrigé DM5 - Dominique Frin

CORRIGÉ
DEVOIR MAISON N° 5
PREMIÈRE ES 3
Exercice 1 : 1. On sait que le joueur a atteint la cible A. Donc la tangente au point P cherché passe par le point
1
A(1;0). La dérivée de la fonction f est f '(x) = 2 . L'équation de la tangente au point P d'abscisse a est
x
1
1
1
2
y = f '(a)(x – a) + f(a) = 2 (x – a) + 1 +
= 2 x+1+
. Cette tangente passe par A, donc si x = 1, y = 0,
a
a
a
a
2
1
2
1a 2a
= 0, soit
= 0, soit a2 + 2a – 1 = 0. Le discriminant = 22 – 4×1×( – 1) = 8 > 0,
soit
2 + 1 +
a
a
a2
donc il y a deux solutions : a1 =
2 8
2 2 2
=
= –1–
2
2
Le point P a une abscisse positive, donc la solution est xP = a2 =
1
21
= 1+
=1+
yP = f(xP) = 1 +
2 1 21
21
Le point P a pour coordonnées P( 2 – 1; 2 + 2 ).
2
2
et a2 =
2 8
= –1+
2
2 .
– 1. Et son ordonnée est
21 = 1 + 2 + 1 = 2 + 2 .
21
2. Si le joueur tire lorsque l'avion est en P(1; 2), alors l'équation de la tangente est
y = f '(1)(x – 1) + f(1) = – 1(x – 1) + 2 = – x + 3. Cette tangente coupe l'axe des abscisses lorsque y = 0, soit x = 3.
Donc le joueur atteint la cible C(3; 0).
3
Si le joueur tire lorsque l'avion est en Q(2; ), alors l'équation de la tangente est
2
y = f '(2)(x – 2) + f(2) =
soit
1
1
1
(x – 2) + 1 +
=
x + 2. Cette tangente coupe l'axe des abscisses lorsque y = 0,
4
2
4
1
x + 2 = 0, soit x = 8. Donc le joueur atteint la cible H(8; 0).
4
Exercice 2 : On considère une plaque de zinc rectangulaire de dimensions 32 cm par 5 m.
On souhaite plier cette plaque pour former une gouttière avec une section rectangulaire.
On note x cm la partie pliée. Le but est de trouver x pour que le volume de la gouttière soit maximal.
1. La partie pliée est au plus égale à la moitié de la largeur de la plaque, donc x [0; 16].
2. La section de la gouttière est un rectangle de dimensions x et 32 – 2x, donc l'aire est égale
à S(x) = x(32 – 2x) = – 2x2 + 32x.
3. La fonction dérivée de S est S'(x) = – 4x + 32. Elle s'annule lorsque x = 8. Elle est positive sur [0; 8] et négative
sur [8; 16].
4. Donc la fonction S est croissante sur [0; 8] et décroissante sur [8; 16].
5. La fonction S admet donc un maximum pour x = 8, qui vaut S(8) = – 2×82 + 32×8 = 128 cm². Donc la section
ne peut pas être égale à 130 cm² . Autre méthode : on veut résoudre l'équation S(x) = 130, soit – 2x2 + 32x = 130,
soit – 2x2 + 32x – 130 = 0. Le discriminant = 322 – 4×(– 2)×(– 130) = – 16 < 0, donc il n'y a pas de solutions.
6. La section maximale de la gouttière ; réponse donnée dans la question précédente.
7. Le volume maximal de la gouttière est alors égal à 128×500 = 64000 cm3 , soit 64 litres.
8. Le volume est égal à 50 litres = 50000 cm3 si l'aire de la section est égale 100 cm² (on divise par la longueur de
la gouttière égale à 5 m, soit 500 cm). Soit S(x) = 100, soit – 2x2 + 32x – 100 = 0.
Le discriminant = 322 – 4×(– 2)×(– 100) = 224 > 0, donc il y a deux solutions :
32 224
324 14
4 8 14 32 224
=
=
= 8 + 14 et x2 =
= 8 – 14 .
2×2
4
4
2×2
Le volume est égal à 50 litres, lorsque x = 8 + 14 11,74 cm ou x = 8 – 14 4,26 cm.
x1 =
9. Si x = 10 cm, alors le volume est égal à 500×S(10) = 500×(– 2×102 + 32×10) = 60000 cm3 , soit 60 litres.